(完整版)椭圆双曲线的经典结论

1、第1页，共8页椭圆双曲线的经典结论一、椭圆点 P 处的切线 PT 平分 PFF2在点 P 处的外角.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径 PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若Po(xo,yo)在椭圆2椭圆笃aF1PF22椭圆笃a| MF1| ax2.2ab22xy12abXoXyoy2.2ab若Po(xo,yo)在椭圆弦 P1P2的直线方程是22，则过Po的椭圆的切线方程是竽a外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为1.1(a b 0)的左右焦点分别

2、为则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2ycy1孑1.P1、P2,则切点F1, F2，点P为椭圆上任意一点b2tan22y_ b2ex0,|MF2| a e F, c,0),F2(c,0)1(a b 0)的焦半径公式:M (xo, yo).设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝 U MFLNF.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A、A 为椭圆长轴上的顶点，AP 和 A2Q交于点 M A2P 和 A1Q 交于点 N 贝yMFLNF.2 2AB 是椭圆务笃a bb2a2，b2

3、x-2。a y。1的不平行于对称轴的弦，M(X, y)为 AB 的中点，koMkAB即KAB若P(x, y)在椭xxyy2ab22x2a2x2a2y_b21内，则被 Po 所平分的中点弦的方程2y。b2若P(x0, y)在椭圆2x2ay2b21内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.第2页，共8页第3页，共8页2y_b2xxyy2ab2二、双曲线点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角.PT 平分 PFF2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦 PQ 为

4、直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径 PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆P 在左支)若Po(xo, yo)在双曲线1.若Po(Xo, yo)在双曲线线切点为 P1、Pa,双曲线22xy72ab相切.(内切：P 在右支；外切:x22.2ab22Xy2.2ab1(a 0,b 0)则切点弦-一占八、 、F1PF22y1(a0,b 0)上，则过Po的双曲线的切线方程外，则过 Po 作双曲线的两条切PP2的直线方程是xxyoya(a 0,b o)的左右焦点分别为则双曲线的焦点角形的面积为Sb2F1,F1PF21.F2,点 P 为双曲线上任意b2co t.22 2x y72a b当M(xo,yo)在右支

5、上时，MF, exoa,| MF2| exoa.当M(xo,yo)在左支上时，IMF1I exoa,| MF21 exo双曲线(a0,b o)的焦半径公式：(FC,0)F2(C,0)设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M N 两点，则 MFLNF.过双曲线一个焦点AP 和 A2Q 交于点2xAB 是双曲线冷a的中点，贝U KOMF 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A、A 为双曲线实轴上的顶点,M A2P 和 AQ 交于点 N,贝 U MFL NF.b2KAB1(a0,b 0)的不平行于对

6、称轴的弦，M(Xo,y)为 AB右Po(xo, yo)在双曲线a22a方程是彎ayoyb2b2Xo2a yo2 2X芯1(ao,b 0)内，则被 Po 所平分的中点弦的b2yo2了.,即KABb2Xo20a yo1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.第4页，共8页第5页，共8页13.若P(X0, y)在双曲线(a0,b 0)内，则过 Po 的弦中点的轨迹方1.2.3.4.5.6.7.2y_b2椭圆与双曲线的对偶性质椭xxa(会推导的经典结论)圆2yb2线交椭圆于2过椭圆冷a线交椭圆于1( a b o)的两个顶点为A(a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直Pl、P2时 AR

7、 与 A2P2交点的轨迹方程是2每1(a 0, b 0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直bb2xB,C 两点，则直线 BC 有定向且kBC (常数).若 P 为椭圆PF1F2任意一点,2a y。2x-2a2yb2sinsin sin2若椭圆冷a例中项PF2F1(a b0)上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点，a ctan cot2 2，则a c1(ab0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上PF1F2中，记2y21(a b 0)b2F1PF2PF1F2F1F2P，则有的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 01时，可在椭圆上求一点2xP 为椭

8、圆丐a(a b0)P,使得 PR 是 P 到对应准线距离 d 与 PF的比上任一点，F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点,则2a | AF2| | PA|IPF1I2a| AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成椭圆(x X0)22aJ, 2B by)22(yb(AxBy1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是C)2.第6页，共8页第7页，共8页8.2已知椭圆笃a(1)|OP |2的最小值是9.2过椭圆笃ay2牙(a b 0),0 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ.b1IOQI2a2b22 r2 .a b2y21(a b 0 )的右焦点b2114a2b2-2 -

9、2；( 2) |0P|2+|0QI2的最大值为r2；( 3)SOPQaba b作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦10.11.12.13.14.15.16.MN 的垂直平分线交x 轴于 P,则!匚!| MN |2已知椭圆务a2y_b2线与 x 轴相交于点2设 P 点是椭圆x2a记F1PF2PAB(1)|PA|1( a b 0) ,A、B、a2b2P(x0,0),贝 V -y2b2，则(1)2是椭圆仔a,PBA2ab2|cos2已知椭圆务a是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分a2b2X。1( a b0)上异于长轴端点的任一点,Fi F2为其焦点I PF1| PF2122-.(2)c cos丄S

10、1 cosPRF2b2tan2(a b 0 )的长轴两端点，P 是椭圆上的一点,BPA, c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有r2. 22a b丄22cotb a2tan tan 1 e.(3)SPAB2b21( ab0)的右准线l与x轴相交于点的直线与椭圆相交于 A B 两点，点C在右准线I上，且BC过线段 EF 的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交,焦点的连线必与切线垂直过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,半径互相垂直.E，过椭圆右焦点FX轴，则直线 AC 经则相应交点与相应则该点与焦点的连线必与焦椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的

11、焦半径之比为常数第8页，共8页第9页，共8页e(离心率).(注 :在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)双曲线2 2X V1.双曲线一221(a 0,b 0)的两个顶点为Ai( a,0),A2(a,0),与 y轴a b2 2平行的直线交双曲线于 Pi、P2时 APi与 A2P2交点的轨迹方程是 冷厶1.a2b22 2X y2.过双曲线 21(a0,b 0)上任一点A(Xo, Vo)任意作两条倾斜角互a b补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBC聖(常数).a y2 2X y3.若 P 为双曲线 21(a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外

12、的任一点,F1,a bc a亠,贝Utan cot(或c a 22tan cot)2 2则当 1vew1时，可在双曲线上求一点P,使得 PR 是 P 到对应准线距离d 与 PR 的比例中项.2 26.P为双曲线 务 占1(a0,b 0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线a b17.椭圆焦三角形中内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项F2是焦点，PF1F2PF2F14.2X设双曲线ab21(a 0,b 0)的两个焦点为F1、 F2,P(异于为双曲线上任意一点，在 PF1F2中F1PF2PF1F2sincFF2P，则有e.(si

13、nsin ) a5.2X若双曲线冷ab21(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,第10页，共8页内一定点，贝V IAF2I 2a |PA| IPFJ,当且仅当 代F2,P三点共线且P和第11页，共8页代F2在 y 轴同侧时，等号成立27.双曲线冷a2件是A2a28.已知双曲线2y21(a 0,b 0)与直线Ax By C 0有公共点的充要条b2B2b22xaC2.2y_1b21(b a 0), O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点,且0POQ.12 2;(2) |OP| +|OQ|的最小值为b21POOF2-2a b,2-.b a22过双曲线笃爲a2b2的最小值是9

14、.10.11.12.13.12a黔；(3)SOPQ1(a 0,b 0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则|PF | e| MN |22 2x y已知双曲线 21(a 0,b 0) ,A、B 是双曲线上的两点,a b线段 AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P(x0,0),则x02P 点是双曲线一-a其焦点记PF1F2b COt2A B 是双曲线笃a一点，PAB离心率，则有(1)(2)tan tan2x已知双曲线ab2F1PF22X-1b21PBA|PA|2 , 2a b卡或X。aa2b2(a0,b 0) 上异于实轴端点的任一点尸、F22b

15、2，则(1)叭叭p.(a0,b 0)的长轴两端点，P 是双曲线上的BPA, c、e 分别是双曲线的半焦距22ab |cos | |.2a2b2一 22cotb a|a2c2co s2/ 21 e.(3)SPAB2与1(a0,b 0)b的右准线I与 x 轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B 两点，点C在右准线I上，且BC x轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直第12页，共8页第13页，共8页15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线

16、必与焦半径互相垂直16.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e（离心率）.（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、夕卜点）.17.双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB |x-|x2J1 | y1y2|2、 直线的一般式方程：任何直线均可写成宀? （A,B 不同时为 0）的形式。3、 知直线横截距：，常设其方程为*.（它不适用于斜率为 0 的直线）与直线-垂直的直线可表示为。4、 两平行线；.间的距离为。5、若直线I _，L _ - 与直线二 1 _ J i 二 I 平行贝 y 4 宀（斜率）且-厂（在 F 轴上截距）（充要条件）6、 圆的一般方程和一1-,特别提醒：只有当=时，方程： wi 才表示圆心为-，半径为第14页，共8页的圆。二元二次方程 1 I r F小 宁 L -条件是- 1且三 7 且