2019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题课件 理

1、9.8 圆锥曲线的综合问题高考理数高考理数考点一定值、定点、最值及范围问题考点一定值、定点、最值及范围问题1.定值问题(1)解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法.证明过程可总结为“变量函数定值”,具体操作步骤如下:(i)变量选择适当的量为变量;(ii)函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数;(iii)定值把得到的函数解析式化简,消去变量得到定值.(2)求定值问题常见的方法(i)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(ii)直接推理、计算,并在推理、计算的过程中消去变量,从而得到定值.知识清单2.定点问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立

2、b,k的等量关系进行消元,借助直线系方程的特点找出定点;(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况.3.求最值问题常见的方法(1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象、性质来解决.(2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值.求函数的最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等.4.求定值、最值等圆锥曲线综合问题要四重视:(1)重视定义在解题中的作用;(2)重视平面几何知识在解题中的作用;(3)重视根与系数的关系在解题中的作用;(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.5.求参数的取值范

3、围:根据已知条件建立函数或不等式,再求参数的范围.考点二存在性问题考点二存在性问题有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般是先假设存在满足题意的元素,经过推理、论证,如果得到可以成立的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理等相矛盾的结果,则说明假设不成立.与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题有以下两种解法:(1)代数法:将圆锥曲线中的最值或取值范围问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),再求这个函数的最值或取值范围,常从以下五个方面考虑:利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在每个参数之间建立

4、等量关系;利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法与圆锥曲线相关的最值、范围问题的解题方法方法1方法技巧(2)几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线的几何特征,则利用图形的性质和数形结合思想来解决最值或取值范围问题.例1若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则的最小值为.29x28yOPFP解题导引解析点P为椭圆+=1上的任意一点,设P(x,y)(-3x3,-2y2),依题意得左焦点F的坐标为(-1,0),=(x,y

5、),=(x+1,y),=x(x+1)+y2=x2+x+=+.-3x3,x+,6+12,即612.29x28y22OPFPOPFP27289x19292x234329215294292x22541419292x25419292x234OPFP故所求最小值为6.答案6评析本题在平面向量与解析几何的交汇点处设题,考查了椭圆的方程、向量的坐标运算以及利用不等式和函数求最值的基本方法.(1)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值或定点.(2)从特殊入手,求出定值或定点,再证明这个值或点的坐标与变量无关.例2(2017课标全国,20,12分)已知椭圆C:+=1(ab0),四点P1(1,

6、1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.22xa22yb31,231,2圆锥曲线中的定值、定点问题的解题方法圆锥曲线中的定值、定点问题的解题方法方法2解题导引解析(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则

7、x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=,由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)+(m-1)=0.24x2841kmk 224441mk111yx221yx111kxmx221kxmx1212122(1)()kx xmxxx x224441mk2841kmk解得k=-.当且仅当m-1时,0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).12m12m12m方法总结求解轨迹方程的步骤:建系、设点列式(列出动点所满足的几何等量关系式)坐标化(选用合适的公式表示几何等量关系)化简(注意化简前后的等价性)检验(去伪

8、存真).1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.2.反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.例3(2017湘中名校联考,20,12分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值;22ya22xb32存在性问题的解题策略存在性问题的解题策略方法3(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B)

9、,是否存在直线l,使得以PQ为直径的圆恰好过点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解题导引解析(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.由e=及a2-c2=b2=1可得a=2,a=2,b=1.(4分)(2)存在.由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y0).由题易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k0).代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(xP,yP),直线l过点B,x=1是方程(*)的一个根.ca3224y由求根公式,得xP=,从而yP=,点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).(8分)=(k,-4),=-k(1,k+2).连接AP、AQ,依题意可知APA