地图学地图的数学基础

1、地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体铅垂线 水准面 水平面大地水准面 重力（离心力和地球引力的合力）的方向线，是测量工作的基准线 静止的海水面向陆地延伸，形成的封闭曲面，处处与重力方向垂直 与水准面相切的平面 通过平均海水面的水准面 ，是测绘工作的基准面 大地体大地水准面所包围的地球实体，代表了地球的形状和大小 水水平平面面大地水准面的意义大地水准面的意义大地水准面是地球形体的一级逼近，与地球形状很近似，其面上高出与面下缺少的质量相当大地水准面的起伏波动对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体大地水准面实际上

2、是重力等位面，因此可使用仪器测得相对于大地水准面的海拔高程参考椭球 用大小与大地体很接近的旋转椭球作为地球的参考形状和大小，是对地球形体的二级逼近。它的表面称为参考椭球面，是测量计算的基准面Equatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatorab椭球体三要素长轴 a（赤道半径）短轴 b（极半径）椭球的扁率 f世界大地测量坐标系WGS84a = 6 378 137mb = 6 356 752.3m ab 6378137 6356752.3f = = = a 6378137 1 298.257在普通测量中，可视椭球为圆球，其半径为6371km参考

3、椭球定位 将参考椭球定位到与局部地区大地水准面最贴近的位置上，是对地球形体的三级逼近中国1952年前采用海福特椭球体19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联普尔科沃天文台），称为“北京54坐标系”自1980年开始采用GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点大地原点大地原点地理坐标球面球面大地坐标天文坐标地心坐标经纬度经纬度 地球自转轴延长线与天球相交的两个点，分别称为南、北天极天球天极天顶过观测点作铅垂线的反相延长线与天球相交的点天文子午面过天顶、南、北天极的平面

4、与天球相交所成的大圆以地心（或观测者等）为球心，以任意长为半径的假想的球面天文经度过观测点的天顶子午面与过格林尼治天文台的天顶子午面间的二面角天文纬度某点天顶方向（铅垂线）和天球赤道平面的夹角 在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标 天赤道经过地心并同地球自转轴垂直的平面为赤道面，这个赤道面延伸与天球相交的大圆就是天赤道法线法线大地子午面大地子午面在参考椭球面上过某一个点作一个与椭球体相切的平面，在参考椭球面上过某一个点作一个与椭球体相切的平面，再通过这个点所作的垂直于这个平面的直线再通过这个点所作的垂直于这个平面的直线地面某点的法线同参考椭球体旋转轴构成的平面地面某点的法线同参考椭球体旋

5、转轴构成的平面 赤道面赤道面 通过椭球中心且垂直于旋转轴的平面通过椭球中心且垂直于旋转轴的平面 大地经度大地经度参考椭球面上过某点的子午面与起始子午面间的二面角参考椭球面上过某点的子午面与起始子午面间的二面角 大地纬度大地纬度参考椭球面上某点的法线与赤道平面的夹角参考椭球面上某点的法线与赤道平面的夹角 地心经度参考椭球面上过某点的子午面与起始子午面间的二面角 地心纬度参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度 经线都是等长的大圆线，收敛于两极点，纬差相等的经线长度相经线都是等长的大圆线，收敛于两极点，纬差相等的

6、经线长度相等等地球仪上经纬网的特性地球仪上经纬网的特性纬线都是垂直于经线的圆，周长以赤道最大，向高纬逐渐缩小，纬线都是垂直于经线的圆，周长以赤道最大，向高纬逐渐缩小，至两极缩为一点。纬圈相互平行，同一纬圈上，经差相等的纬线至两极缩为一点。纬圈相互平行，同一纬圈上，经差相等的纬线长度相等。长度相等。经纬线相互正交。每两条纬线间等经差的球面梯形，形状相同，经纬线相互正交。每两条纬线间等经差的球面梯形，形状相同，面积相等。每两条经线间等纬差的球面梯形，由低纬向高纬缩小。面积相等。每两条经线间等纬差的球面梯形，由低纬向高纬缩小。地图投影按照一定的数学法则，将参考椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面点位

7、的地理坐标与地图上相对应点位的平面直角坐标或平面极坐标间，建立起一一对应的函数关系x = f1(j , l ) y = f2(j , l )地图投影过程中出现的问题地图投影过程中出现的问题1. 地图比例尺的含义地图比例尺地图上一直线段长度与地面相应直线垂直投影长度之比1dDM主比例尺在投影面上没有变形的点或线上的比例尺局部比例尺在投影面上有变形处的比例尺按地图投影变形情况分2. 地图比例尺的表示数字式比例尺文字式比例尺图解式比例尺特殊比例尺如 1:10000如 百万分之一直线比例尺斜分比例尺复式比例尺变比例尺无级别比例尺 地图投影变形长度变形面积变形角度变形X2Y2122221XYmn证明:

8、球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆XXmYYnmXXnYY设地面上微分圆r11.长度比和长度变形长度比投影面上一微小线段（变形椭圆的半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆的半径）之比。dssd 长度变形长度比与1的差值。1V10V无变形10V变长10V变短经线长度比m纬线长度比n最大长度比a最小长度比b经线方向纬线方向长轴方向短轴方向主方向解析几何中的阿波隆尼定理：椭圆共轭半径的平方和为一常数，并等于长、短半轴的平方和。以椭圆两共轭半径为边所构成的三角形面积为常数，并等于以椭圆长、短半轴为边构成的三角形的面积。2222QPLKPQKL21sin21nrLmrK，brParQ，将将带入阿波隆

9、尼的公式中得：2222brarnrmr2222banmabrmnr2221sin21abmnsin222222sin2bababamnnm222222sin2bababamnnmsin222mnnmbasin222mnnmba2.面积比和面积变形面积比投影平面上微小面积（变形椭圆面积）与球面上相应的微小面积（微分圆面积）之比。dFFdP面积变形面积比与1的差值。1 PVPabrbrardFFdP290mnabP90sinmnabP1P0PV无变形1P0PV变大1P0PV变小3.角度变形投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。角度变形以表示角度最大变形。 xyt

10、anxytanaxxbyytantanabaxbyabab1tantantantantan上式两边各用tan加和减，得：abab1tantantantantan根据三角函数公式：coscossintantancoscossin1tanabcoscossin1tanab上面两式相除得：sinsinbabasinsinbaba当 + =90时，sin( + )=1， 的差值最大，则 ：babasin 2218021802baba2sinBBsin2sin22sin2222mnnmmnnm投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等无角度变形，=0 90mnbaba2sinsin2si

11、n22sin2222mnnmmnnm由ab或者90mnabP根据公式面积变形大适用于对方向精度要求高的交通图、洋流图、风向图等投影面与椭球面上相应区域的面积相等无面积变形，Vp0P1ba1适用于对面积精度要求高的自然地图和社会经济地图投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积等距投影在主方向之一上没有长度变形的任意投影a1或b1角度变形小于等积投影，面积变形小于等角投影用于要求面积和角度变形都不大的地图，如教学用图面积不变特定方向距离不变形状不变在任何投影图上，均存在着长度变形，长度变形是影响面积变形和角度变形的因素。在等积投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等积特性，在任

12、意投影上不能保持等积和等角的特性。等积投影的形状变化比其它投影大，等角投影的面积变形比其它投影大。1、几何投影几何投影将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。以平面作投影面的投影以圆柱面作投影面的投影（1）、）、按辅助投影面的类型分按辅助投影面的类型分以圆锥面作投影面的投影辅助投影平面与地轴垂直，或者圆柱、圆锥面的轴与地轴重合的投影辅助投影平面与地轴平行，或者圆柱、圆锥面的轴与地轴垂直的投影（2）、）、按辅助投影面和地球体的位置关系分按辅助投影面和地球体的位置关系分辅助投影平面的中心法线或圆柱、圆锥面的轴与地轴斜交的投影辅助投影面与地球面相切的投影辅助投影面与地球面相割的投影

13、（3）、）、按辅助投影面和地球面的相切或相割位置关系分按辅助投影面和地球面的相切或相割位置关系分2、非、非几何投影几何投影根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系在正轴方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，纬线为同心圆，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线，且相交于纬线的共同圆心。在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，纬线为平行直线，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线 在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线设想有很多圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪

14、开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成900j00j9000j正轴方位投影的经线为从一点向外放射的直线束，夹角相等，而且等于相应的经度差。纬线是以经线的交点为圆心的同心圆。正轴方位投影的公式 jlfsincosyxzdaRBCRdzABsinzRzdaRdBCCBnRdzdABBAmsinsindCBdBAzdzRdmnabPsin2dzzddzzdbabasinsin2sinEquatorial AxisPolar AxisNorth PoleSout

15、h PoleEquatorab椭球体三要素长轴 a（赤道半径）短轴 b（极半径）椭球的扁率 f世界大地测量坐标系WGS84a = 6 378 137mb = 6 356 752.3m ab 6378137 6356752.3f = = = a 6378137 1 298.257在普通测量中，可视椭球为圆球，其半径为6371kmEquatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatorab椭球体三要素长轴 a（赤道半径）短轴 b（极半径）椭球的扁率 f世界大地测量坐标系WGS84a = 6 378 137mb = 6 356 752.3m ab 6378137 6356752.3f = = = a 6378137 1 298.257在普通测量中，可视椭球为圆球，其半径为6371km1P0PV无变形1P0PV变大1P0PV变小3.角度变形投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。角度变形以表示角度最大变形。 babasin 2218021802baba2sinBBsin2