曲边梯形面积与定积分

1、1.4.1曲边梯形的面积与定积分曲边梯形的面积与定积分.,?.,.,;,定积分定积分学知识学知识我们需要学习新的数我们需要学习新的数为此为此直线运动的问题直线运动的问题速速解决变解决变的知识的知识能否利用匀速直线运动能否利用匀速直线运动积积面面直边图形直边图形转化为求转化为求面积面积曲边图形曲边图形把求把求能否能否呢呢如何解决这些问题如何解决这些问题变力做功的问题变力做功的问题物体位移、物体位移、的面积、变速直线运动的面积、变速直线运动曲边图形曲边图形的平面的平面遇到计算平面曲线围成遇到计算平面曲线围成我们还经常会我们还经常会在数学和物理中在数学和物理中等等等等间、速度与路程的关系间、速度与路

2、程的关系运动的时运动的时我们知道了匀速直线我们知道了匀速直线物理中物理中面积面积的的直边图形直边图形等平面等平面形、平行四边形、梯形形、平行四边形、梯形三角三角我们已经知道正方形、我们已经知道正方形、在过去的学习中在过去的学习中 .,.I,Ixfy,.I)xy,xy, xy(,2数数下面研究的都是连续函下面研究的都是连续函如不加说明如不加说明的连续函数的连续函数上上间间那么我们就把它称为区那么我们就把它称为区不断的曲线不断的曲线上的图象是一条连续上的图象是一条连续在某个区间在某个区间如果函数如果函数一般地一般地的一条连续不断的曲线的一条连续不断的曲线上上的图形都是某个区间的图形都是某个区间等等

3、例如例如许多函数许多函数在学习过的函数中在学习过的函数中 微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方如何求曲线下方“曲线梯形曲线梯形”的面积。的面积。xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？1.4.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形（曲边三所围成的图形（曲边三角形）面积角形）面积S是多少？是多少？x yO1方案方案1方案方案2方案方案3为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多

4、小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲边”（即（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲以直代曲” 。 y = f(x)bax yO A1 A1 A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的

5、面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A近似为近似为A1AiAn分割越细，面积的近似值就越精确。当分分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积S。下面用第一种方案下面用第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体

6、操作过程abxy xfy o af bf15.1 图图 ?,xfy0y,babx, ax,xfy,15.1的面积呢的面积呢如何计算这个曲边梯形如何计算这个曲边梯形梯形梯形所围成的图形称为曲边所围成的图形称为曲边和曲线和曲线我们把由直线我们把由直线的一段的一段边是曲线边是曲线但有一但有一形形阴影部分类似于一个梯阴影部分类似于一个梯中中图图思考思考?)25 . 1(0, 1:2Syxxy的面积阴影部分中图所围所的平面图形与直线如何求抛物线形下面先研究一个特殊情.xy0y, 1x,0 x25.12成的曲边梯形成的曲边梯形所围所围和曲线和曲线看成是直线看成是直线中的图形可以中的图形可以图图?S?25.

7、1面积问题面积问题直边图形直边图形的问题转化为求的问题转化为求面积面积能否将求这个曲边梯形能否将求这个曲边梯形的主要区别是什么的主要区别是什么图形图形直边直边悉的悉的中的曲边梯形与我们熟中的曲边梯形与我们熟图图思考思考25.1图图ox1y2xy S.,25.1,直线段直线段的所有边都是的所有边都是直边图形直边图形而而前者有一边是曲线段前者有一边是曲线段别是别是的主要区的主要区直边图形直边图形梯形与梯形与中的曲边中的曲边图图可以发现可以发现?25.1,)(,.,中阴影部分面积呢中阴影部分面积呢求图求图逼近曲边梯形的方法逼近曲边梯形的方法比如矩形比如矩形能用直边形能用直边形是否也是否也的思想启发我

8、们的思想启发我们以直代曲以直代曲这种这种的面积的面积利用多边形面积求出圆利用多边形面积求出圆用多边形逼近圆的方法用多边形逼近圆的方法我们曾经我们曾经在过去的学习中在过去的学习中25.1图图ox1y2xy S.:.,.,.,1 , 0, 35.1实施这种方法们通过下面步骤来具体我法求出曲边梯形的面积形面积和逼近的思想方用化归为计算矩也即近似程度就会越来越好细随着拆分越来越可以想象曲边梯形面积的近似值得到每个小曲边梯形的面积小替代近似的面积即用矩形以直代曲一个小曲边梯形对每拆分为一些小曲边梯形进而把曲边梯形许多小区间分成把区间如图35.1图图ox1y2xy n1ini35.1图图ox1y2xy n

9、1ini ,1 ,n1n,n2,n1,n1, 0:n,1n1 , 01 个小区间分成将它等个点隔地插入上间在区间分割.n1n1inix,n, 2 , 1ini,n1ii 其长度为个区间为记第轴的个点作分别过上述x1n.SS,.S,S,s,35.1n,n1iin21 显然它们的面积记作图个小曲边梯形把曲边梯形分成垂线35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo 轴的直线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,.n1ifn1i,xxf,ni,n1i,x,n,35

10、.1.xxf222 35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo.n, 2 , 1in1n1ixn1ifSS, ,SS,ni,n1i,.45.12iiii 则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲 n1n1ixn1ifSSS45.1,232n1in1in1iinn 为中阴影部分的面积图由求和n1n1n102n1n1n2 22231n21n1 61n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得 .61n2n1n1n21222 可以证明可以证明 .31n211n1131limn1if

11、n1limSlimS,Sn211n1131S,0 x,n,55.1,20,8 , 41 , 04nn1innnn 从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限.,55.1也可以用几何画板演示也可以用几何画板演示的演变过程的演变过程图图 55.1图图oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1 , 0的等分数的等分数区间区间nSS的近似值的近似值 512256128643216842 33235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.

12、027343750.021875000.012500000.0 ?,fni,n1i?31,?S,nifnin, 2 , 1ini,n1ixxf,ii2情况又怎样情况又怎样作为近似值作为近似值的函数值的函数值处处取任意取任意吗吗这个值也是这个值也是若能求出若能求出的值吗的值吗用这种方法能求出用这种方法能求出处的函数值处的函数值点点上的值近似地等于右端上的值近似地等于右端区间区间在在如果认为函数如果认为函数中中近似代替近似代替在在探究探究 .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明.,15.1,值的方法求出其面积值的方法

13、求出其面积似代替、求和、取极似代替、求和、取极也可以采用分割、近也可以采用分割、近我们我们所示的曲边梯形所示的曲边梯形对如图对如图一般地一般地abxy xfy o af bf15.1 图图例例2弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力正比，即力F(x)=kx（k是常数，是常数，x是伸长是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。所作的功。解：将物体用常力解：将物体用常力F沿力的方向移动距离沿力的方向移动距离x,则所做的功则所做的功W=Fx，本题，本题F是克服弹簧拉力是克服弹簧拉力的变力，是移动距离的变力，是移动距离x的函数，的函数，F

14、(x)=kx，将将0，b n等分，记等分，记x= ， bn分点依次为分点依次为x0=0，x1= ，x2= ,，xn1= ，xn=b，bn2bn(1)nbn当当n很大时，在分段很大时，在分段xi，xi+1所用的力约所用的力约为为kxi，所做的功，所做的功Wkxix=ibkxn则从则从0到到b所做的总功所做的总功W近似地等于近似地等于2112000 12(1)nniiiib bkbWknn nn 222(1)1(1)22kbn nkbnn当当n+时，上式右端趋近于时，上式右端趋近于 22kb于是得到弹簧从平衡位置拉长于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功所做的功为为 210lim2ninikbWW

15、以上两个实际问题，一个是求曲边梯形以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题闭区间上的和式的极限问题.1. 曲边三角形或梯形的面积曲边三角形或梯形的面积 S= 10lim( )ninif xx2.克服弹簧拉力的变力所做的功克服弹簧拉力的变力所做的功 W= 10lim( )ninif xx 类似地问题还很多，它们都可以归结为类似地问题还很多，它们都可以归结为求这种求这

16、种和式的极限和式的极限，牛顿等数学家经过苦，牛顿等数学家经过苦心研究，得到了解决这类问题的一般方法。心研究，得到了解决这类问题的一般方法。求函数的定积分求函数的定积分。一般函数定积分的定义一般函数定积分的定义 设设f(x)是定义在区间是定义在区间a，b上的一个函数，上的一个函数，在闭区间在闭区间a，b上任取上任取n1个分点个分点011iinaxxxxxb 把把a，b分成分成 n个小闭区间，其长度依次个小闭区间，其长度依次为为x=xi+1xi，i=0，1，2，n1，记，记为这些小区间长度的最大者，当为这些小区间长度的最大者，当趋近于趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个，在每个小区间内各取一点小区间内各取一点 ，,iiixx1作和式作和式In=10( )niiifx 当当0时，如果和式的极限存在，我们时，如果和式的极限存在，我们把和式把和式In的极限叫做函数的极限叫做函数f(x)在区间在区间a，b上的定积分，上的定积分，记作记作()bafx dx 其中其中f(x)称为被积函数，称为被积函数，x称为积分变量，称为积分变量，a，b称为积分区间，称为积分区间，a, b分别称为积分的上限和分别称为积分的上限和下限，下限，f(x)dx叫做被积式，此时称叫做被积式，此时称f(x)在区间在区间