在实际应用中柯西积分公式的用途正文

1、在实际应用中柯西积分公式的用途1前言复变函数论是高师院校数学与应用数学专业的必修课，同时也是综合性大学理工科的基础课程，是实变函数微积分的推广和发展，其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的.柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系.柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述.但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面.有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不

2、便；柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积 分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够.考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义.通过阅读大量的专著，期刊还有网上的资料，本文将对复变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论， 并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去.2预备知识2.1柯西积分定理设函数f(z

3、)在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则f (z)dz = 0 .c2.2推广的柯西积分定理设C是一条周线，D为C之内部，函数f (z)在闭域D二D，C上解析，则f (z)dz =0 .c2.3复周线柯西积分定理设D是有复周线C = Co cr C -C 所围成的有界n 1连通区域，函数f证：设C表示圆周匚一z0 =R，则匚=Re,0兰兰2兀，由此右7f(Q 石 czo而数学归纳法在D内解析，在D = D C上连续，则 J (z)dz二0 .2.4柯西积分公式设区域D的边界是周线(或复周线)C，函数f(z)在D内解析，在D二D C上连续，则有f (z) = 1.；)d=(z D

4、).2川 c z3柯西积分公式的推论3.1解析函数平均值定理如果函数f(z)在匚-Zo R内解析，在闭圆匚-Zo ER上连续，则1 2二f (Zo)=匸 J f (Zo +Re亀d砕，2兀0即f (z)在圆心Zo的值等于它在圆周上的值的算术平均数.=z() Rei,d 二 iRei d ,根据柯西积分公式=丄 f(zo Rei )d :3.2高阶导数公式设区域D的边界是周线(或复周线)C，函数f (z)在D内解析，在D = D，C上连续,则函数f (z)在区域D内有各阶导数，并且有(fd (z D)(n =1,2/ )这是一个用解析函数 f (z)的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式.现行

5、教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式一一高阶导数公式,知识改变命运1m(-z)1 1 1 m()7mm _kkJ(-a)- - z _ak*(z) ( - a). 1 1珂za)( -z)m( -a) (-z)m( -a)2(-z)( -a)(1)所以Fmf( )mf( )md_时)十)1 (- -z)化-a)1mz-a . f ( ) a1m-zVd因为f (z)在丨上连续，所以存在某个常数M 0 ,使得对于f G)| r-zr -.于是有(2 )得2Fm(z)Fm(a) v|zaMm()m I ,其中丨为曲线-的长.比较繁琐下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证

6、明.引理 设是一条可求长的曲线，f(z)是上的连续函数，对于每个自然数 m及复平面C上的每个点z，定义函数Fm(zr .(z)md那么每个Fm(z)在区域D =C -丨上解析，且Fm(z) =mFm 1(Z)证明：首先证明Fm(z)是区域G上的连续函数，即要证明，对于G内的任意点a，不论E 0多么小，总存在6 0，只要z_a c6( z在G内的点)，就有Fm(z) _ Fm(a)因为、=min(m- ；1 rMm2m 1lFm - Fm (a)z af (z)( -a)(-z)mf(z)( -a)t-zf(z)1 f()2二i -zFm(z)fm(z)m! f()2 二(-z)m1那么，当 z

7、-ab，就有 Fm(z) Fm(a) 名其次证明Fm(z)在区域G上解析，且满足Fm (z)二mFm ,(z)，在G内任取一点a，设因为a三厂，所以对于满足不等式1 k空m的每个k， f (z)- z)上在上连续.根 据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在G上定义了一个变量z的连续函数，因此，当z a时的极限存在，即XAFm(a)f(、)m 1 dYLrd 丄 mFm.1(a).i(a)U z)对于G内的一切a均成立.下面使用这个引理证明高阶导数公式：证明：由柯西积分公式，对于 G内的任意点z，有记f(z)二F1(z)根据引理,f (z)二 F(z)二 F2(z)f (z) = F2(z)

8、= 2! F3(Z)f (z) = 2! F3(Z)=3!F4 (z)f (m)(zm! Fm 1 (z)3.3 柯西不等式设函数f(z)在区域D内解析，a为D内一点，以a为心作圆周r:匚a=R，只要rMm2m1|知识改变命运n!叫)唱cfUn! M (R)2 二 Rn 12R注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式,说明解析函数在解析点 a的各阶导及其内部K均含于D，则有f(n) (a)兰M R) , M (R) = max f (z), n= 1,2,.、Rn|z-a 占证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式应用上面得到的定理，则有n!M(

9、R)数的估计与它的解析区域的大小密切相关.3.4 刘维尔定理有界整函数f(z)必为常数证：设f (z)的上界为M ,则在柯西不等式中，对无论什么样的R ,均有M (R) MM .于是命n -1时有f(aMR ,上式对一切R均成立，让Rr計-，,即知f(a)=O,而a是z平面上任一点，故f (z)在z平面上的导数为零，所以，f (z)必为常数3.5 摩勒拉定理若函数f(z)在单连通区域D内连续，且对D内任一周线C，有f (z)dz = O ,则f (z)在D内解析.证：在假设条件下，即知zF(z)二.f( )d(zo D)zo在D内解析，且F(z) = f(z)(zD).但解析函数 F(z)的导

10、函数F(z)还是解析的.即是说f (z)在D内解析.f沿C的柯西主值积分，记为cz - Zo1=lim 一 -o 2 二 i,Z2定理1设C施光滑曲线，取正向，若Hz)z Zodzf满足Holder条件，即证:f(z)CZ-Z。1dZ 丁(Z0),(Z0 C) f (z) f (Zo)* 十 f (Zo)c7,z2z - z02二ic -Z1, Z2dzdzz 一 Zo1Z Zo4奇点在积分路径C上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要就被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能直接用柯西积分公式了，此

11、时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果下面结合 Holder条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点 在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式.定义1设C是复平面内的简单逐段光滑曲线，C，函数f（z）在C-z。上连续，在Zo附近无界，在 C上Zo的两边各取一点Zi,Z2，若limf （z）dz存在，则称此极限值是f沿C的奇异积分，记为f（z）dz= lim z f（z）dzCzi，z.zo c -Zi ,z2定义2设c是复平面内的简单逐段光滑曲线，z0C，函数f（z）在c-zo上连续，在Zo附近无界，以Zo为心、充分小的正数 ；为半径做圆周，使它与 C的交点

12、恰为Zi,Z2 ,若极限lim -应dz存在，则称此极限值是：._02 二i CZ2Z Zof （乙）一f（Z2）兰 K 乙一Z2 1 （0 兰 a 1）（其中K,a都是实常数，Z1,z2是C上任意两点）则称柯西主值积分存在，且有dz=log(z - Zo) Tog(Z2 - Zo)= iarg(乙-Zo) - argZ -z。) i二心 一 0)(其中log(z-z。)为c-Zi,Z2上任意连续分支,zi _ z0 = z2 _ z0f (z) f(Z。)Z_ZKZ-Zf (z) - f (z。)Z -氏dz 1 f (Z0)2arg(zi -乙)-arg(Z2 -Zo)为当z从Z2沿c-乙

13、冋2变动到z时z-z的幅角改变量，当ET 0即z1,z2 -s z0时，它的极限值为兀.又因为f (z)满足Holder条件，即而0乞a ： 1，则积分f (z) - f (Z。)z Z存在.于是，得丄 JMdz=lim丄f一 f(Z0)dz 週 旦2二i cz Z0；：2二i J，Z2 z Z02二i CN，Z2Z Z0定理2若C是简单逐段光滑曲线，D是以C为边界的有界单连通区域，f (z)在D内解析，在D -z。上连续 C)，在Z0的邻域有Kf(z) 0,(： ； 0).f(z)Z zo,(Zo C)那么由定理1 知:f - f(Z。)Z_zZ Z0百，(0 2 ：1)cf(z)dz =1

14、叫 心 f(z)dz 1叫 L f(z)dz =0定理3设区域D的边界是周线(或复周线) C , f (z)在D内解析，在D二D C上连续，且在C上f (z)满足Holder条件，则有此式称为z0在边界C上的柯西积分公式.证：f (z)满足Holder条件，则有f(zj f(Z2)兰 KziZ2 ,(0 兰 a0R-be . sin x:R .sinx1 dx limx 2：亠Rcosx isinxdxix（其中经过定积分的计算可以得到积分设f (z) = e , f (z)满足Holder条件，且匸的奇点Z二0在积分路径上，由定理 3z1 1 1)dz, (2)()dzz= z 4 z 3(

15、1)的结果很好求，符解（1）直接用柯西积分定理得be .sinx , dx0 x分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化为复数,利用定理3求解就简单多了.R ixR ix=-lim 乞 dx 二一 limdx2RRix 2i RxRcosx , c、 dx=0)xR ixizeedxdz = 2i眾 xR z2（其中-R是连接-R和 R的一段弧，则CRR是闭曲线）iz由约当引理知所以-be - sinx, dxo x1.二i =2i 2例4求积分兀sin z_4_z2 -1dz (1)C：；(2)C:zG解：(1)C : z+1|1，贝U D由于2nsin z4z

16、2 -1sin z4 z-()JI si n匕选取f ( )4丿 t -1f ()在D内解析,C上连续，故由柯西积分公式有:31 sin z _4_2 /dzc z2 -1二七dW 2JIsin431 sin4-1选取f()31 sin_,f()在D内解析，在D C上连续，故由1JIsin z42 dz z -1= 2兀f ()唱=兰珀c -12C: z-1 =丄,可见z=1 D ,而-1童D因此将被积函数做如下变形：2柯西积分公式有:(3) C : z =2，则z =： 1 D这样D内有两个点依柯西积分公式将积分化成两个复积分求之，有：JI31JE31sin zsin. si n z. si

17、n z严 dz4dz -J dz -4 dzc z2 -1c(z-1)(z 1)2 c z-12 c z1 - (2 二is in2 二isi n(244例5计算积分I = 空字dz 沪(z-1)2解：有高阶导数公式可得:I =2：i (2z2解：被积函数z(z 1)3在区域z2内有-1,0两个奇点，运用挖奇点法，分别以-1,0当n 1时,由高阶导数公式知:2例6计算积分I为圆心作互不相交的小圆 C1,C2且C1,C2包含在z=2内.由柯西积分公式和高阶导数公式ze3.zdz+ (邑)1 +2Mc2z2! z-5 r：i 2ie5= (2i)ee解：当时，飞在z =1上及其内部解析，由柯西积分

18、定理得jJndz=0lz由柯西积分公式得z护評如)2二iJ *dz= 2 I (e)z |z=o= 川 z (n 1)!(n1)!参考文献1钟玉泉复变函数论M.北京：高等教育出版社,20092孙清华，孙昊.复变函数内容、方法和技巧M.武汉:华中科技大学出版社，2003z例7求积分，步dz,其中n为整数.3西安交大.复变函数第四版M.西安：高等教育出版社,20074杨丽，张伟伟.柯西积分公式的应用J.沧州师范专科学校学报.2006,22(3):65-675 易才凤，潘恒毅.柯西积分公式及其在积分中的应用 J.江西师范大学学报.2010,34(1):5-7,126邱双月.复积分的计算J.邯郸学院学报.2009,19 (3):57-607朱茱，刘敏 Z。在积分路径 C上的柯西积分公式J.阜阳师范学院学报.2004,21:60-638 完巧玲.周线上复积分的几种算法J.陇东学院学报.2010,21 (2):7-99张庆.Cauchy积分公式及其应用J.唐山师专学报.2000,22 (2):27-2810崔冬玲复积分的计算方法淮南师范学院学报.2006, (3):31-3211李敏，王昭海.巧用