《线性代数》题库及答案

1、A 6DB 12D2.设A为n阶方阵，R (A)二rvn,那么：A. A的解不可逆中所有r阶子式全不为零3.设n阶方阵A与B相似,那么：A.存在可逆矩阵P,PAP=BC 24DD 36DB. |A|=0DA中没有不等于零的r阶子式B.存在对角阵D,使A与B都相似于D线性代数题库及答案一.选择题aa2ai3a22 旳31.如果D二2ICl22 “23,则行列式2d 2i 4a22 65的值应为:31 32 心3。31 632933c. A-AE = B-AEA6B-9C-3D65.设矩阵 A =(佝)IX , mn,且 R (A) =r,那么：A rmB rn(ECA中r阶子式不为零DA的标准型

2、为， 其中E为r阶单位阵。2丿6. A为n阶可逆矩阵，久是A的一个特征根，则A的伴随矩阵4的特征根之一是:B. AA3x + ky+z = 07.如果 4y + z = 0 有非零解，贝以应为：_。kx-5y- z = 0A k 二0B k 二1C k=2D A =-2&设A是n阶方阵，且/?() = 2, A是A的伴随阵，那么：_A. HOB. R(A)= OC. A* = |A|M_, D. /?(A*)6. A、B为n阶方阵，若存在可逆矩P,使_则称A与B相似。已知a = (l, 2, 3), 0 = (3,2,1）,且Q与ka七P正交，则比=则行列式I3A 1=（(00、310213.

3、矩阵q =120,B =1-1 2-1-13丿1344 -0014.设人=A2M3M4XB = （AI,A2M34）其中 九码比人也 都是四元列向量,已知|A| = -1,|B| = 2 侧行列式卜 + 2B|=(117已知矩阵/=卩0,其中P= 2 ,Q=(2, -1, 2),则矩阵A100 =()15 12)52 4 1)18 设 A =0 32,B =2 4 8 2，则秩(AB)=()1 -b3 6 2 0,三.证明题12.设A是3阶方阵，且IAI= -3,，则43的秩是（1 0 0、1.设A是三阶方阵，/T是A的伴随矩阵，A的行列式为|A| = 1,求证：|（2A）A| = |A2.已

4、知A为n阶方阵，KA2-3A-4E = 0,试证A可逆，并求A-1 3.已知A, B均为n阶正交矩阵,且|A| = -|B|,证明：|A + B| = 0o4向量组“0 =/0,71 =/0 +儿，2 =% +了2,=/） + 7n-r是方程组（*）的线性无关解向量。n-r5耳估、小、MT的一切线性组合心）0+斤2”2其中工匕=1，是方程组（*）的全部解J-0四.计算题1.已知n阶方阵A.B,其中 A = (al9a2 匕),B =(As弘),|A| = l,|B| = -3,求 |A + 3B|o1 22.矩阵A= 321 -2 -112.设4= -“ a -a若A不能与对角矩阵相似，求参数

5、。-1 2 11313计算n n阶行列式2111 31D.=：:”.:11 n1414计算题0111求齐次线性方程组X _ x2 + 2兀3 _ 兀4 = 04旺 一 2X2 + 6 + 3X4 一 4X5 = 02%j + 4X2 一 2心 + 4X4 一 7xs = 0的基础解系及通解。15.计算n阶行列式“ a2 心D = ?2.，其中 xr H dj ,1 / n16.计算题11-11-1 1求矩阵X,使得X022=11 01 一10 _21 1线性代数作业参考答案4. D5 B6 C10. C11. D12. B2- W；3. n个线性无关的特征向量:4不变X选择题1D2B3A7B8

6、B9A、填空题1.相等712. q +4 +a3 +a4 = 01313. .1414. .1-401-40 3 3 O O 0 0 2 2 0 0 1-1- O O 0 0 1-21-2 O O O O 1 1 o o O OA-A-15.15.3 32 -1216. 81： 17. 24-24(2X-1218.2：弓命G)T皓I 3即A可逆，且A=-A-o445. t=-36.PAP=B7-4& k = 19兄H 1且兄H 2iO 2, -2三.证明题1.证：由题设A是三阶方阵，卜| =扌，(2AY1-A=-A-A-A1 22证：由 A2-3A-4E = O,即：A2-3A = 4E13A

7、(A 一 3E) = 4EA(-A-E) = E443证：由题设：AA7 =ATA = E BBT = BB = E所以A + B = BBTA + BA1 A = B(BT + Ar)A| = |B|- |(B + A)T |A| = -|A|2 |A + B即:(1 + |A|2)|A + B| = O 只有A + B = O 证毕。4.因A/o =b,A7i =0,/ = l,2,-,-r,则A=b,因此久，仏，是方程组(*)的线性无关解。设 A)o +人7 +切2 +入日=，则(A)+人+人一)0 +人儿+人乙+ -rYn-r =。,两边左 乘A得，(2。+人 -An_r )b = 0

8、,有 20 + A, + + A，n_r = 0,于 是 人+儿22 + + AiYnr = 0可 得mwhEwh线性无关。A14413.解：（1）令 0、=0由题设AB = 0,既有5显然如7o +W7 +匕2 +归是解;另一方面,设为任一帀=% + 冏幷 + 上2了2 + + K-rYn-r = 1 一伙】+ + _）（）+ 也 + 饥2 + + n-rHn-r四、计算题1.解：|A + 3B|=p+3久4&2, .4yJ=4肉+ 30|,他，% | = 4_，(创,勺，%| +耳A，勺% |)= 4n_,(l-9) = -2n+,-1 2 -32.解：国=3 2 -4=1.A的代数余子式

9、：2-10A1 = ，人12 = &A3 = 7*2 = 3, A22 =6, A23 =乂人32 = 5, A33 = -41-4 3 -2、=-A* = A* =A】2人22 4?2=-8 6 -5lAlU13心绻丿1一7 5 4,202 = 1 ,则 8 = (0,02)，0丿AQ=O,A02=O,这表示肉,02是A的属于特征值0的特征向量。取d =（1丄1）7；由题设A的每行元素之和为3,则403 = 303即03是A的特征值为3的特征向量，又1 2 10 1 1=-1工0,故Q, 02, 03线性无关。这表示3阶方阵有3个线性无关的特征向量,-2 0 1所以A能与对角矩阵相似。0 0

10、 0、（2）由（1）令P=（A，02，03），P可逆，且000、0 o 3,P 0 0、 1 2 rP 0 0、r-i 2 -rr-6 12 -3、A = P0 0 0P=0 1 10 0 02 -3 1=-6 12 -30 0 3,2 0 b、0 0 3,-2 4 -i,H 12 3,4.解：D = d+（l）”S （按第一列展开）AAw=(-1)A2-1 -a/(2) = plE A|= 1 A -4-1 233= (2 - 2)(A2 -8A + 10 + )A-5由题设f(A)= 0有重根，故分两种情况：(1) 2 = 2是重根,则g(2) =才8几+ 10 + 含有(2-2)因子,g

11、(2) = 0/(刃=(几一 2)2“-6)得 a=2,此时可得出 R(2E 一 A) = 1,所以属于(2 - 2)的特征向量的重数3-1=2,加之特征根2 = 6的特征向量， A有3个线性无关的特征向量，故此时A能与对角矩阵相似。(2) 2 = 2不是重根，则/I2-82 + 10 + 6/是完全平方项，由此得a=6, 此时/(2)=(几- 2X2 -4)2即对应2 = 4的无关向量个数为3-2=1,故此时，A不能与对角矩阵相似。111解：D =00-10-1 0011-10111 =-412 18.解:|A|= 211 -1-10 =3,求A的伴随矩阵A的元素。1A2 = -2人21 =

12、0A22 =3人23 =32235.解：|A|= 1-10=-1一1 2 1求伴随矩阵AA的代数余子式：A】 =_l,Af =_1,A3 = IA21 = 4, A22 =5,A23 = -6, A31 = 3, A32 = 3, A33 = -4-4 -3、-5 -36 6.解：计算A的特征多项式:7. 0!=-11119. (1)证：令P = (apa2,a3)则 AP = (0(0 2 -Pfo= (aa2A 0 1 3记3= 01。0 -bIo两边同时左乘Pi有PAP=Brl0r02 -P(2) A = PBP =11001 301L -1 10172d + Q,ai+ 3a、一 Q3

13、)2 -r13既有AP=PB 而P可逆2-L即43。而相似矩阵有相同的特征值可看出三阶方阵A有3个相异的特征值2, = 0,厶=1,兄3 =-1所以A可与对角矩阵相似。210.由已知得:A + -E =0, |A-| = 0, A-2E = 0,32x 一2从而AE-A= 2E - B = 0 A-10 01-21-21-21-2-2-2可以看出三阶方阵A的三个特征值为：人=一二，儿=1,=2,故A与对角矩阵相似，且|A| = 2,713 =-11.解：令A = (a1,a2,a3,a4)可求出R(A) = 3可知最大线性无关组的向量个数为3,因陆,仪2，1 H 0所以qs，巾即为一个最大线性

14、无关组。正交化：取A =匕；1、卩、=a、一和叫.屈=0 A，A | 1一1丿恥-214i238、7274万丿4、19T1 2111)22X 18J丿1402 714上9丿(2)当d = o时01，02,03两量正交12.解：A的特征多项式为：几121/(A) = a A a a = 2(2 2)(A )1-2 A-l所以A的特征值为：人=0説2 = 2,几3 =(1)当“工0且3工2时，与题设矛盾2 r0 0 0,R (0E-A) = l ,特征值2 = 0所含无关特征向量的个数为3-1=2加上特征根2 = 2的特征向量，则A可与对角阵相似，与题设矛盾。(3)当a = 2时，R(2E-A) = 2则属于二重根久=2的线性无关特征向量，个数为3-2=1 故此时A不能与对角矩阵相似，符合题意，即0 = 2。13721(2 + 丄+ 丄 +23+-) n14计算题103-P1-12