IIR滤波器实现方法研究

1、济南大学毕业设计毕业论文题 目 IIR滤波器的实现方法研究 学 院 专 业 班 级 学 生 学 号 指导教师 二一二 年 六 月 八 日- 1 -济南大学毕业论文摘 要随着信息技术的发展，数字信号的处理逐步发展成一门主流技术。数字化时代已经到来，滤波技术的发展，对信息处理技术的发展又具有其重要的作用，和模拟滤波器相比，数字滤波器它具有能够处理低频率信号，没有漂移等特点，数字滤波器的频率响应特性能够做成接近于理想特性并且精度很高，特别好集成等优点，这些特点在近代电信设备和各类控制系统中，数字滤波器得到了广泛的应用，同时数字 信号处理器的出现反过来也促进了数字滤波器的发展。常用的数字滤波器有IIR

2、滤波器和FIR滤波器。其中IIR滤波器因具有结构简单、占用存储空间少、运算速度快、较高的计算精度和能够用较低的阶数实现、较好的选频特性等优点。IIR滤波器的结构有直接型、级联型和并联型。IIR滤波器的设计流程是先根据一定规则，将给定的数字 滤波器指标转化为相应的模拟滤波器指标。然后根据转化后的技术指标，设计模拟低通滤波器G(s)。最后根据一定规则将G(s)转化为H(z)。常用转化方法有冲激响应不变法和双线性变化法。如果需要设计高通、带通或带阻滤波器，则应首先将其技术指标转为低通模拟滤波器的技术指标，然后按新指标设计G(s)，再将G(s)转化为H(z)。本 论 文 论 述 了 I I R 数 字

3、 滤 波 器 的 设 计 原 理 以 及 其 在 D S P 上 的 实 现 思 路 ， 并 对 用 D S P 实 现 I I R 滤 波 器 的 方 法 进 行 了 分 析 。 用 M A T L A B 计 算 出 I I R 数 字 滤 波 器 的 系 数 ， 产 生 输 入 数 据 ， 应 用 C C S 软 件 调 试 C 和 汇 编 程 序 ， 并 用 T M S 3 2 0 C 5 4 对 I I R 进 行 了 仿 真 。 关键词：数字信号处理；滤波器；IIRABSTRACT Along with the development of information technolo

4、gy, the digital age has arrived, digital signal processing gradually developed into a door mainstream technology. Filtering technology development, the development of information technology and its important role, with relative to the analog filter, digital filters no drift, able to handle the low-f

5、requency signals, frequency response but make it very close to ideal characteristics, and the precision can reach high, easy integration etc, these advantages decided the digital filters used more widely, and DSP (digital signal processor) presence also promoted the development of digital filter. Co

6、mmonly used in digital filter IIR filters and FIR filters. The IIR filter has a simple structure, take up less storage space, computing speed, high accuracy and lower order, better frequency selection characteristics, etc. IIR filter structure of the direct, cascade and shunt types. IIR filter desig

7、n process is the first, according to certain rules, the digital filter given index into the corresponding analog filter indicators. Then after the transformation of technical indicators, design of analog low-pass filter G(s). Finally, according to certain rules G(s) will be converted into H(z). Comm

8、only used in transformation of impulse response invariance and bilinear change. If you need to design high-pass, band-pass or band stop filter, it should first of its technical indicators to the technical specifications of the low-pass analog filter, then the design of new indicators G(s), and then

9、G(s) converted to H(z). This paper discusses on the DSP IIR digital filter, and the implementation ideas to its realization methods are analyzed. This paper discusses the design principle of IIR digital filter and the implementation approach and DSP and IIR filter with DSP realize the methods are an

10、alyzed. MATLAB calculate IIR digital filter coefficients, produce the input data, applied CCS software debugging C and assembler of TMS320C54 IIR, and simulated. Key words：Digital signal processing ;Filter ; IIR- 34 -目 录摘要IABSTRACTII1 前言11.1 数字信号发展的背景和发展意义11.2 数字信号国内外发展状况11.3 主要研究内容22 数字滤波器的简介32.1 数

11、字滤波器概述32.2 数字滤波器的分类32.3 数字滤波器的特性32.4 数字滤波器的优点及应用32.5 数字滤波器的设计过程43 Matlab介绍53.1 MATLAB语言53.2 利用MATLAB设计IIR滤波器63.2.1 根据频域指标设计63.2.2 经典法设计DF63.2.3 各种数字滤波器性能比较84 IIR数字滤波器的设计104.1 IIR数字滤波器的基本概念104.2 IIR滤波器的结构104.2.1 直接型114.2.2 级联型124.2.3 并联型124.3 IIR滤波器的设计方法134.4 模拟滤波器的离散化134.4.1脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器134.4.2

12、双线性变换法设计IIR数字滤波器164.5 模拟低通滤波器的设计174.5.1 巴特沃斯低通滤波器的设计184.5.2 切比雪夫低通滤波器的设计194.5.3 椭圆滤波器的设计224.6 设计低通IIR滤波器234.6.1 设计方法步骤234.6.2 matlab 仿真程序245 数字滤波器的DSP实现265.1 CCS简介265.2 TMS320C5416 简介265.3 IIR滤波器在ccs中的仿真27参考文献31总结32致谢331 前言1.1 数字信号发展的背景和发展意义 当今，数字信号处理(DSP：Digtal Signal Processing)技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更

13、是以不同形式影响和渗透到其他学科：它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。数字滤波器在数字信号处理以及应用中发挥着十分突出的作用，用数字滤波器设计始终是重要研究的课题。数字滤波器可以分为IIR滤波器和FIR滤波器两种，其中IIR滤波器因具有一下特点，它结构很简单、占用的存储空间也十分少、运算速度十分快，有较高的计算精度另外它能够使用较低的阶数就可以实现较好的选频特性等优点，因此得到了广泛应用1。滤波是信号处理中一种最基本但十分重要的技术。利用滤波，可以从复杂的信号中提取所需的信号，抑制不需要的信号，在数字信号处理中，滤波占有极其重要

14、的地位。数字 滤波是通过数值运算的方法对输入信号进行滤波的数字信号处理过程，是语音和图象处理、模式识别、谱分析等应用中的一个基本的处理技术。与模拟滤波相比，数字滤波器是通过数值运算来实现滤波的，具有处理精度高、稳定可靠、集成度高、不存在阻抗匹配等优势，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。DSP由于运算速度快，具有可编程特性和接口灵活的特点，使得它在许多电子产品的研制、开发和应用中，发挥着重要的作用，采用DSP来实现信号处理系统是当前发展的趋势。通过数字信号处理设计平台，实现比较重要的 IIR滤波器系统的成滤波功能的系统。通过这次课题论文的不断学习与研究，学习滤波器设计的各种方法技术，为各

15、种滤波器设计提供技术准备。本次课题的学习研究，为将来设计以数字信号处理为核心部件嵌入式系统集成提供技术准备，具有十分重要的理论意义，同时也具有客观实际意义。在信号处理过程中，所处理的信号往往混有噪音，从接收到的信号中消除或减弱噪音是信号传输和处理中十分重要的问题。根据有用信号和噪音的不同特性，提取有用信号的过程称为滤波，实现滤波功能的系统称为滤波器。在近代电信设备和各类控制系统中，数字 滤波器应用极为广泛，这里只列举部分应用最成功的领域。(1) 语音处理 (2) 图像处理 (3) 通信(4) 电视(5) 雷达（6）声纳（7）地球物理学（8）生物医学信号处理 (9) 其他领域2。1.2 数字信号

16、国内外发展状况 自20世纪70年代末80年代初DSP芯片诞生来DSP芯片得到飞速的发展。在20多年的时间里DSP芯片已在信号处理、通信、自动空竹、仪表技术、信息家电等许多领域得到比较广的应用。1978年AMI公司生产了世界上的第一片DSP芯片S2811。1979年美国Intel公司发布了可编程器2920是DSP芯片的重要里程碑。目前DSP芯片的性价比日益提高，已经有了巨大的应用潜力和发展前景。经过多年的发展，DSP芯片在低功耗、高速、可编程、小型化等方面都有了长劲的发展，生产DSP芯片和器件的公司也不断壮大3。1.3 主要研究内容(1) 对无限冲击响应数字滤波器的基础理论进行详细的分析与研究。

17、(2) 模拟滤波器原理（巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器、贝塞尔滤波器）及具体的设计方法。(3) 数字滤波器设计过程中系数的确定方法。(4) 根据要求设计低通FIR 滤波器。要求：低通巴特沃斯滤波器在其通带边缘1kHz 处的增益为-3dB，12kHz 处的阻带衰减为30dB，采样频率25kHz(5) 根据设计的滤波器、进行信号处理实验，验证示波器的功能。2 数字滤波器的简介2.1 数字滤波器概述数字滤波器(digital filter)是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。它工作在数字信号域，它处理的对象是经由采样器件

18、将模拟信号转换而得到的数字信号。数字滤波器一般由寄存器、延时器、加法器和乘法器等基本数字电路实现。数字滤波器一词出现在60年代中期。由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。作为一种电子滤波器，数字滤波器与完全工作在模拟信号域的模拟滤波器不同。数字滤波器应用在数字信号区域，它所处理的对象是经由采样将模拟信号转换成数字信号4。 2.2 数字滤波器的分类 按功能分：带通、高通、低通、全通、带阻滤波器按实现的网络结构或单位抽样响应分：无限长脉冲响应滤波器（IIR滤波器）、有限长脉冲响应滤波器（FIR滤波器）。此外，数字滤波器还可分为因

19、果与非因果、线性与非线性等滤波器。线性时不变DF是最基础类型。因为数字系统可以利用延时器，所以它可以引入一定非因果性；对应于IIR滤波器，FIR型滤波器有系统绝对稳定与易于实现的优势，从而得到了大量的应用2。2.3 数字滤波器的特性 数字滤波器具有比模拟滤波器更高的精度，甚至能够实现后者在理论上也无法达到的性能。例如，对于数字滤波器来说很容易就能够做到一个1000Hz 的低通滤波器允许999Hz 信号通过并且完全阻止1001Hz 的信号，模拟滤波器无法区分如此接近的信号。由于奈奎斯特采样定理，数字滤波器的处理能力受到系统采样频率的限制。如果输入信号的频率分量包含超过滤波器1/2采样频率的分量时

20、，数字滤波器因为数字系统的“混叠”而不能正常工作。如果超出1/2采样频率的频率分量不占主要地位，通常的解决办法是在模数转换电路之前放置一个低通滤波器（即抗混叠滤波器）将超过的高频成分滤除。否则就必须用模拟滤波器实现要求的功能。2.4 数字滤波器的优点及应用 数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了大量应用。2.5 数字滤波器的设计过程(1) 按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标；(2) 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标；(3) 利用有限精度算法实现

21、此系统函数：如运算结构、字长的选择等；(4) 实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法。3 Matlab介绍 MATLAB是MATrix LABoratory的缩写，是一款由美国MathWorks公司出品的商业数学软件。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。MATLAB作为高性能、交互式的科学计算工具，具有非常友好的图形界面，这使得MATLAB的应用非常广泛；同时MATLAB也提供了强大的绘图功能。 MATLAB语言是一种交互性的数学脚本语言，其语法与C/C+类似。它支持包括数值（numeric）、函数柄（function handl

22、e）、文本（text）、逻辑（boolen）和异质数据容器（heterogeneous container）等数据类型，每一种类型都定义为矩阵或阵列的形式（0维至任意高维）4。3.1 MATLAB语言(1) MATLAB语言特点1)具有强大的矩阵运算能力：Matrix Laboratory（矩阵实验室），使得矩阵运算非常简单。2)它是演算式语言的一种。3) Matlab的基本数据单元是不但不要指定维数，也不要说明数据类型，并且运算规则和数学表达式与正常的应用习惯相同。4) MATLAB编程简单，使用方便。 (2) MATLAB操作桌面 Matlab操作桌面包括5个窗口(浏览器)：1)命令窗口(

23、Command Window)；2)工作空间窗口(Workspace)；3)当前目录浏览器(Current Directory)；4)命令历史窗口(Command history)；5)启动平台(Launch Pad)。 (3) MATLAB优势1)工作平台编程环境十分友好；2)编程语言简单易用；3)数据的计算处理能力十分强大；4)图像处理能力强大；5)模块集合工具箱应用广泛；6)程序的接口和发布平台很实用；7)可以开发用户界面。3.2 利用MATLAB设计IIR滤波器3.2.1 根据频域指标设计对于不同的滤波器采用不同的MATLAB函数及调用格式（1） 巴特沃思滤波器 n,Wn=buttor

24、d(Wp,Ws,Rp,Rs,s)（2） 切比雪夫I型滤波器 n,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)（3） 切比雪夫II型滤波器 n,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)（4） 椭圆滤波器 n,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 系数说明Rp：通带最大衰减系数Rs：阻带最小衰减系数Wp：通带截止频率（归一化）Ws：阻带截止频率（归一化） s：设计模拟滤波器 (缺省则设计数字滤波器)n：滤波器阶数Wn：实际频率与奈奎斯特频率(fs/2)的比值b，a：系统函数的分子和分母的系数向量z，p，k：滤波器的零点、极点和增益3.2.2 经典法设计DF 不同

25、的滤波器采用不同的MATLAB函数及调用格式（1）贝塞尔滤波器 b,a=besself（n,Wn,ftype）（2）切比雪夫I型滤波器 b,a=cheby1(n,Rp,Wn,ftype,s) （3）切比雪夫II型滤波器 b,a=cheby2(n,Rs,Wn,ftype,s)（4） 椭圆滤波器 b,a=ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype,s)（5） 巴特沃斯滤波器 b,a=butter（n,Wn,ftype,s） 设计步骤： （1）根据已知模拟滤波器系数求出Wn与n；（2）根据Wn和n求出数字滤波器系统函数的系数b,a；（3）画出幅频和相频曲线，观察实际效果设计实例：设计低通数字滤波器

26、，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到rad之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。(T=1s)程序：wp=0.2*pi/pi;rp=1;ws=0.3*pi/pi;rs=15;n,Wn=buttord(wp,ws,rp,rs);b,a=butter(n,Wn);H,W=freqz(b,a);plot(W/pi,abs(H)Grid运行结果为图3.1 巴特沃斯低通滤波器n = 6；Wn=0.2329；b=0.0007 0.0044 0.0111 0.0148 0.0111 0.0044 0.0007；a=1.0000 -3.183

27、6 4.6222 -3.7795 1.8136 -0.4800 0.0544； 递归数字滤波器滤波器采用不同的MATLAB函数及调用格式 b,a=yulewalk（n,f,m）矩阵f和m是已知的频率响应，n是滤波器的阶数 设计实例： 理想的响应：在频率在 0 - 0.6之间，幅值为1 ；在频率在0.6 - 1之间的幅值为0 。 程序：n=10;f=0 0.6 0.6 1;m=1 1 0 0;b,a=yulewalk(n,f,m);h,w=freqz(b,a);plot(f,m,-.,w/pi,abs(h),-);text(0.7,1.2,-.:理想频率响应);text(0.7,1.1,- :实

28、际频率响应);运行结果为图3.2 经典法设计滤波器3.2.3 各种数字滤波器性能比较设计实例设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到rad之间的阻带衰减大于15dB。分别设计巴特沃思滤波器、切比雪夫I型、切比雪夫II型、椭圆滤波器，并分析其特点。(T=1s)MATLAB程序：wp=0.1;ws=0.15;rp=1;rs=15;Fs=1;n1,Wn1=buttord(wp/(Fs/2),ws/(Fs/2),rp,rs);num1,den1=butter(n1,Wn1);H1,W1=freqz(num1,den1);n2,Wn2=cheb1o

29、rd(wp/(Fs/2),ws/(Fs/2),rp,rs);num2,den2=cheby1(n2,rp,Wn2);H2,W2=freqz(num2,den2);n3,Wn3=cheb2ord(wp/(Fs/2),ws/(Fs/2),rp,rs);num3,den3=cheby2(n3,rs,Wn3);H3,W3=freqz(num3,den3);n4,Wn4=ellipord(wp/(Fs/2),ws/(Fs/2),rp,rs);num4,den4=ellip(n4,rp,rs,Wn4);H4,W4=freqz(num4,den4);subplot(2,2,1)plot(W1*2/(2*pi

30、),abs(H1);title(Buttorworh低通滤波器);subplot(2,2,2)plot(W2*2/(2*pi),abs(H2);title(Chebshev I低通滤波器);subplot(2,2,3)plot(W3*2/(2*pi),abs(H3);title(Chebshev II低通滤波器);subplot(2,2,4)plot(W4*2/(2*pi),abs(H4);title(椭圆低通滤波器);运行结果为图3.3 各种滤波器的比较4 IIR数字滤波器的设计 4.1 IIR数字滤波器的基本概念无限脉冲响应滤波器是数字滤波器的一种，简称IIR数字滤波器(infinite

31、impulse response filter)。由于无限脉冲响应滤波器中存在反馈回路，因此对于脉冲输入信号的响应是无限延续的5。IIR数字滤波器具有如下特点 : （1）IIR滤波器系统的函数是能够写成具有封闭函数的形式。 （2）IIR滤波器它采用了递归型的结构，也就是说在结构上它有反馈型环路。IIR滤波器的运算结构一般由相加、延时和乘以系数等基本的运算构成，有多种结构形式，可分为直接型、正准型、级联型、并联型等四种结构形式，它们都有反馈回路。由于在运算中有舍入处理的使用，能够使误差慢慢累积，不时会产生细微的寄生振荡。（3）IIR滤波器在设计上能够借助之前比较成熟的模拟滤波器的现成成果，如巴特

32、沃斯滤波器、契比雪夫滤波器以及椭圆滤波器等各种滤波器的的设计数据还有图表。在设计IIR数字滤波器时，我们一般会根据数字滤波器的指标先计算出模拟滤波器的公式，然后再通过特定的变换，就可以将模拟滤波器的设计转换成数字滤波器的设计。 （4）IIR数字滤波器的相位特性不容易控制，在对相位要求较高时，一般都需加相位校准网以应对较高的相位要求。（5）IIR单位响应为无限脉冲序列FIR单位响应为有限的 。 （6）IIR幅频特性要求达到精度很高，可以应用于对相位信息不敏感的各种音频信号上； FIR幅频特性精度相对于IIR会比较低，但是线性相位，就 是 不 同 频 率 分 量 的 信 号 经 过 F I R 滤

33、 波 器 后 他 们 的 时 间 差 不 变 。这是很好的性质。 IIR滤波器的缺点：（1）脉冲响应为无限长，会造成当输入数位讯号为有限长时，输出数位讯号会变成无限长的情况。（2）和FIR滤波器比较它不易最佳化。（3）IIR滤波器不一定是很稳定的，因为Z转换后所有的极点不一定会都在单位圆内部。4.2 IIR滤波器的结构 IIR数字 滤波器的单位脉冲响应h(n)是无限长的，结构上有输出到输入的反馈（频率采样结构除外），是递归型。滤波器的系统函数为： （4.1）由传递函数可知，用两个向量就可以对一个IIR滤波器进行表征。实现IIR滤波器可以采用直接形式、级联形式和并联形式3种结构。4.2.1 直接

34、型（1）直接型: IIR滤波器的系统函数 （4. 2） 对应的差分方程为 （4. 3）从上式可以看出， 是有两部分相加构成的:第一部分是一个对输入信号的节延时结构，每节的延时抽头后再加权相加，这是一个实现零点的横向结构网络；第二部分是一个对的延时结构，每级延时抽头后加权相加，因此是一个反馈型网络。（2）直接型： IIR滤波器的系统函数又可写为 （4. 4）可以看成分子的多项式 和分母的多项式 的倒数所组成的两子系统函数的相乘，这与子系统级联相对应。第一个子系统可以实现零点，第二个子系统可以实现极点，而且已知一个线性时不变系统，假如交换子系统的顺序，系统函数它不会发生改变。具有这种性质的结构形式

35、称为直接型。4.2.2 级联型将IIR滤波器系统函数的分子分母写成因子的形式，为 （4.5）由于系数都是实系数，故零点和极点会有两种情况：一种是实根，另外一种是共轭复根。将式中的A称为归一化常数， , ,表示实零点，表示实极点， 和表示复共轭零点，和表示复共轭极点。将每对共轭因子联接起来，就可以得到一个实系数二阶的因子。这样，任意系统均可由一阶子系统和二阶子系统级联来表达。级联结构的一个重要的优点是存储单元比较少，用硬件实现时，可以用一个二阶进行分时复用。级联结构的另一个特点是，其每一个基本节都关系到滤波器的一对极点和一对零点7。4.2.3 并联型将IIR滤波器的系统函数展成部分分式之和，即

36、（4.6）式中,由于系统函数的系数都是实系数，故,如果MN,则上式不包括项；如果M=N，则项变为。一般IIR系统皆满足MN的条件。当M=N时，上式变为 （4.7）当总系统函数是各部分悉数函数的和时，就表示其为各相应子系统并联。所以上式可以认为是一阶的系统和二阶的系统的级联组合而成。可以看出，并联结构速度很快，还能够单独调整极点的位置，但它不能和级联型一样直接去调整零极点，因为说并联型的各二阶网络的零点，并非是整个系统函数零点。所以，当要求准确传输零点时，我们一般会以采用级联型。此外，并联型结构的各基本节的误差不会相互影响。4.3 IIR滤波器的设计方法IIR与FIR滤波器不论是在性能，还是在设

37、计方法上都有很大区别。FIR滤波器可以根据给定的频率特性直接设计，而IIR 滤波器则需要使用模拟滤波器设计方法进行设计。IIR滤波器的设计需要借助于模拟原型滤波器，再将模拟滤波器转化为数字 滤波器，实现这一过程已有成熟完整的程序。进行模拟滤波器设计时，已有完整的设计公式和较为完整的图表可供选用，因此，设计IIR滤波器可以充分利用这些已有的资源2。IIR滤波器的设计流程如下：（1）根据特定的规则，先将给定的数字滤波器指标转化为相应的模拟滤波器指标。（2）根据技术指标，设计模拟低通滤波器。（3）根据规则将转为。一般的转化方法有两种即：冲激响应不变法和双线性变化法。4.4 模拟滤波器的离散化从模拟滤

38、波器设计IIR数字 滤波器就是要由列出的系统函数 进一步得到。归根结底是一个由S平面到Z平面的交换，即模拟滤波器的离散化。这个交换要遵循两个基本目标： （1）的频率响应必须要模仿的频率响应，也就是S平面的虚轴应该映射到Z平面的单位圆上； （2）的因果稳定性，通过映射后仍应在多得到的中保持。工程上常用的只有脉冲响应不变法和双线性变换法两种。下面就对这两种方法进行介绍5。4.4.1 脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器脉冲响应不变变换法，又称标准z变换法，它能保证从模拟滤波器变换所得的数字 滤波器的单位取样响应，就是以T为采样周期对相应的模拟滤波器的单位脉冲响应的等间隔采样，也就是 的拉氏变换为 （

39、4.8）的Z变换即为数字 滤波器的系统函数 （4.9）的Z变换和的拉氏变换之间的关系为 （4.10） 即时域的采样，使连续信号的拉氏变化在s平面上沿虚轴周期延拓，然后再经过的映射关系，将映射到z平面上，即得。这样，就实现了从S平面到Z平面的变换，模拟滤波器实现了离散化。 将模拟滤波器的系统函数表达为如下部分分式形式 （4.11）则相应的单位脉冲响应是 （4.12）式中为单位脉冲响应。根据脉冲响应不变变换法的意义，数字滤波器的单位脉冲响应为 （4.13）所以，可得到数字滤波器的系统函数为 （4.14）由此可见，从间的变换关系为 （4.15）利用模拟滤波器的设计方法来设计数字 滤波器，也就是说数字

40、 滤波器的设计可以模仿模拟滤波器的特性。脉冲响应不变法它是从考虑滤波器的脉冲响应的出发点出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是将进行等间隔取样，让的数字正好等于ha(t)的采样值，即满足条件： 式中,T表示采样周期。 如果令是的拉氏变换，是的Z变换，再通过采样序列的变换与模拟信号的拉氏变换就可以得到 （4.16） 从中可以知道，脉冲响应不变法是通过将模拟滤波器的平面转换成数字 滤波器的平面，可以看出从到的变换式是将平面变换到平面的标准变换关系式。 图4.1 脉冲不变法映射关系 数字 滤波器频率响应与模拟滤 波器的频率响应之间的关系可以表示为 （4.17） 即，数字

41、滤波器频率响应可以看成是对应模拟滤波器频率响应的一个周期延拓。就像采样定理所介绍的，只有在当模拟滤波器的频率响应是限带的情况下，且满足带限于折叠频率以内时，即 ， （4.18） 才能使数字 滤 波 器 的 频 率 响 应 在 折 叠 频 率 以 内 重 现 模 的 拟 滤 波 器 的 频 率 响 应 ，而不产生混叠失真，即 ， （4.19）但是，任何一个现实的模拟型滤波器不严格限带其频率响应，也就是说变换后就会出现周期性延拓分量的频率谱交叠现象，也就是会产生频率响应的混叠失真现象。这时数字型滤波器的频响就与原模拟型滤波器的频响不同，而带有一定数量的失真。在模拟型滤波器的频响应处于折叠频率以上衰

42、减很大、很快时，得到变换后的频响的混叠失真就会越小。此时，如果采用一种脉响不变法来设计数字型滤波器才会得到很好的效果。 图4.2 脉冲响应不变法中的频响混叠现象 对某一模拟型滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。脉冲响应不变变换法主要用于设计某些要求在时域上能模仿模拟滤波器功能的数字 滤波器。这种变换法的主要特点是：(1) 频率坐标的变换时现行的，即(2) 具有频谱的周期延拓效应，只能用于限带的频响特性。4.4.2 双线性变换法设计IIR数字滤波器脉冲响

43、应不变法使得数字 滤波器在时域上能够较好地模仿模拟滤波器，但是由于从s平面到z平面的映射具有多值性，使得设计出来的数字 滤波器不可避免的出现频谱混叠现象。为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应的特点，使用一种新的有效的变换，这就是双线性变换。双线性变换法可以认为是基于对微分方程的积分，利用对积分的数值逼近得到的4。模拟滤波器的传递函数为 （4. 20） 将展开为部分分式的形式，并假设无重点极点，则 （4.21）那么，对该函数所表达的系统来讲，其模拟输入和模拟输出有如下关系 利用差分方程来代替导数，即 同时令 这样，即便将上面微分方程写为对应的差分方程形式 （4.22）两边分别去变换Z，可

44、得 （4.23）这样，通过上述过程，就可得到双线性变换中的基本关系，如下所示： （4.24） 所谓的“双线性”变换，仅是指变换公式中的s与z的关系无论是分子部分还是分母部分都是“线性”的。双线性变换法的主要特点是：（1）优点是消除了脉冲响应不变法所固有的频谱混叠现象。（2）缺点是模拟频率和数字 频率之间是非线性关系。4.5 模拟低通滤波器的设计模拟低通滤波器的设计是其他滤波器设计的基本，其他几种滤波器的设计都可以通过频率交换的方法，转换为低通滤波器的设计。为了使用模拟滤波器来设计IIR数字 滤波器，应该首先设计一个满足技术性能指标的模拟原型滤波器。模拟低通滤波器的设计，主要包括巴特沃斯、切比雪

45、夫和椭圆滤波器的设计。4.5.1 巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯低通滤波器，又被称为“最平”的幅频响应滤波器。这是因为，该滤波器在通带内具有最大平坦的幅度特性，而且随着频率升高呈现出单调减小的特点。N阶低通滤波器巴特沃斯滤波器的特性函数为 （4.25）其中，为通带宽度，即截至频率。当阶次N增大时，滤波器的特性曲线变得更加陡峭，其特性就越接近于理想的矩形幅频特性。巴特沃斯滤波器属于全极点设计，它的极点由下式来决定。 （4.26）式中，.所以，在s平面上有2N个极点等间隔地分布在半径为的圆周上，并且极点都是成复共轭对出现，极点位置与虚轴对称，但不在虚轴上9。应用说明设计一个性能指标为：通带的截

46、止频率，通带的最大衰减，阻带的截止频率，阻带的最小衰减的巴特沃斯滤波器。（1） 求相关参数 （2） 确定参数N （3） 取N=31根据 得到 所以，的极点形式可表示为 即满足系统性能指标的函数 4.5.2 切比雪夫低通滤波器的设计 切比雪夫低通滤波器的振幅特性就具有等波纹特性。它有两种形式：切比雪夫型滤波器，即振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的；切比雪夫型滤波器，即振幅特性在阻带内是等波纹的，在通带内是单调的。下面主要介绍切比雪夫型滤波器的设计原理。 切比雪夫滤波器由、和等3个参数确定。在通带内，切比雪夫I型滤波器的幅度响应在1和之间起伏变化，而在阻带内是单调下降的。当为奇数是，滤波

47、器在处的幅度响应为1；当为偶数时，滤波器在处的幅度响应为；切比雪夫I型滤波器有极点，而零点在处1。 切比雪夫型滤波器的幅度平方函数为 （4.27）其中，称为纹波函数，表示通带内振幅波动的程度它与通带内幅度响应的纹波有关，它为一个小于1的正数，其值愈大，波动愈大。为通带宽度，也是有效通带截至频率，它与巴特沃斯滤波器的有些不同，巴特沃斯滤波器的幅度响应在处衰减为3dB，而切比雪夫I型滤波器只有当时，其幅度响应在处的衰减才为3dB。是滤波器的阶数。现在来确定模拟切比雪夫I型滤波器的极点分布。 （4.28）于是可以得 令，则上式为 由上式和切比雪夫多项式的复三角函数定义，可以求得切比雪夫多项式的反函数

48、为 （4.29）把和代入上式得 （4.30）由此得到计算切比雪夫滤波器极点的公式 k=0，1,2，2N-1 （4.31）式中，k=0，1,2，N-1时，对应于s平面左半平面的极点。上式是一个复数椭圆方程，椭圆的长半轴为。切比雪夫共有2N个极点，他们关于虚轴对称地分布在一个椭圆上，虚轴上无极点，极点的纵坐标和横坐标分别由长轴圆（大圆）和短轴圆（小圆）上等角距为的点所确定。为偶数时实轴上无极点，为奇数是实轴上有两个极点。（1）的确定 由允许的通带波纹确定。如果在处允许的通带衰减为dB，那么可以这样确定：而由于 1 所以可得到 即， （4.32）（2）的确定是切比雪夫有效通带截止频率，在有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，常常是给定的。当为1时， 就是通带的3dB截止频率，这与巴特沃斯滤波器的3dB截止频率相对应。（3）N的确定 阶数N等于通带内最大和最小个数的总和。如果N是奇数，则在