小学奥数举一反三(六年级)

1、六年级数学奥数培训资料第 10 讲 假设法解题(一)一、知识要点 假设法解体的思考方法是先通过假设 来改变题目的条件， 然后再和已知条件配合 推算。有些题目用假设法思考， 能找到巧妙 的解答思路。运用假设法时，可以假设数量增加或减 少，从而与已知条件产生联系； 也可以假设 某个量的分率与另一个量的分率一样， 再根 据乘法分配律求出这个分率对应的和， 最后 依据它与实际条件的矛盾求解。二、精讲精练【例题 1】甲、乙两数之和是 185，已知甲数的 1/4 与乙数的 1/5 的和是 42，求两数各是多少？【思路导航】 假设将题中“甲数的 1/4 ”、“乙数的 1/5 ”与“和为 42”同时扩 大 4

2、 倍，则变成了 “甲数与乙数的 4/5 的和 为168”，再用 185减去 168就是乙数的 1/5。解： 乙：(185 42X 4)-( 1 1/5X 4)= 85答：甲数是 100，乙数是 85。练习 1：1甲、乙两人共有钱 1 50元，甲的 1/2 与乙的 1/10 的钱数和是 35元，求甲、乙两 人各有多少元钱？2甲、乙两个消防队共有 338 人。抽 调甲队人数的 1/7，乙队人数的 1 /3 ，共抽 调 78 人，甲、乙两个消防队原来各有多少 人？3海洋化肥厂计划第二季度生产一批 化肥，已知四月份完成总数的 1/3 多 50 吨， 五月份完成总数的 2/5 少 70 吨，还有 420

3、 吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？【例题 2】 彩色电视机和黑白电视机共 250 台。如 果彩色电视机卖出 1 /9 ，则比黑白电视机多 5 台。问：两种电视机原来各有多少台？【思路导航】 从图中可以看出： 假设黑 白电视机增加 5 台，就和彩色电视机卖出 1/9 后剩下的一样多。黑白电视机增加 5 台后，相当于彩色电 视机的(1 1/9 )=8/9 。(250+5)-( 1+1 1/9 )= 135 (台) 250 125= 115(台)答：彩色电视机原有 135 台，黑白电视 机原有 115 台。练习 2：1 姐妹俩养兔 120 只，如果姐姐卖掉 1/7 ，还比妹妹多 10 只，姐姐和

4、妹妹各养了 多少只兔？2学校有篮球和足球共 21 个，篮球借 出 1/3 后，比足球少 1 个，原来篮球和足球 各有多少个？3小明甲养的鸡和鸭共有 100只，如 果将鸡卖掉 1 /20 ，还比鸭多 1 7只，小明家 原来养的鸡和鸭各有多少只？【例题 3】师傅与徒弟两人共加工零件 1 05个，已知师傅加工零件个数的 3/8 与徒 弟加工零件个数的 4/7 的和为 49个，师、 徒各加工零件多少个？【思路导航】 假设师、徒两人都完成了 4/7，一个能完成( 105X4/7)= 60个，和 实际相差( 60 49)= 11 个，这 11 个就是 师傅完成将零件的 3/8 与完成加工零件的 4/7 相

5、差的个数。 这样就可以求出师傅加工 了【11-(4/73/8)】=56个。即：师傅：(105X 4/7 49) - (4/7 3/8 )=56 (个)徒弟：105-56 = 49 (个)答：师傅加工了 56个，徒弟加工了 49 个。练习 3：1 某商店有彩色电视机和黑白电视机 共 136 台，卖出彩色电视机的 2/5 和黑白电 视机的 3/7 ，共卖出 57 台。问：原来彩色 电视机和黑白电视机各有多少台？2甲、乙两个消防队共有 336 人，抽 调甲队人数的 5/7 、乙队人数的 3/7 ，共抽 调 188 人参加灭火。 问：甲、乙两个消防队 原来各有多少人？3学校买来足球和排球共 64 个，

6、从中 借出排球个数的 1/4 和足球个数的 1/3 后， 还剩下 46 个，买来排球和足球各是多少 个？【例题 4】 甲、乙两数的和是 300，甲 数的 2/5 比乙数的 1/4 多 55，甲、乙两数 各是多少？【思路导航】 甲数的 2/5 与乙数的 2/5 的和就是甲、乙两数的2/5,是300X2/5 =120，因为甲数的 2/5 比乙数的 1/4 多 55， 所以从 120中减去 55 所得的差就可以看成 是乙数的 1/4 与乙数的 2/5 的和。乙：(300 X 2/5 55)-( 2/5+1/4 )=100甲： 300 100= 200答：甲数是 200,乙数是 100。练习 4：1

7、畜牧场有绵羊、山羊共 800 只,山 羊的 2/5 比绵羊的 1/2 多 50 只,这个畜牧 场有山羊、绵羊各多少只？2师傅和徒弟共加工零件 840 个,师傅加工零件的个数的 5/8 比徒弟加工零件 个数的 2/3 多 60个,师傅和徒弟各加工零 件多少个？3某校六年级甲、乙两个班共种 100 棵树, 乙班种的 1/10 比甲班种的 1/3 少 16 棵,两个班各种多少棵？【例题 5】 育红小学上学期共有学生 750 人,本学期男学生增加 1/6 ,女学生减 少 1/5 ,共有 710 人,本学期男、女学生各 有多少人？【思路导航】假设本学期女学生不是减 少 1/5 ,而是增加 1/6 ,半学

8、期应该有 750 X( 1+1/6)= 875 人,比实际多 875 710 = 165人,这 1 65人是假设女学生也增加 1/6 多出的人数, 而实际女学生减少 1/5 ,所以, 这 1 65人对应着女学生的( 1/5+1/6 )= 11/30 。上学期女生：【750 X( 1+1/6) 710】 -( 1/5+1/6 )= 450(人)本学期女生： 450X( 11/5 )= 360(人)本学期男生： 710360=350(人)答：本学期男学生有 350 人,女学生有360 人。练习 5：1 金放在水里称,重量减轻 1/19 ,银 放在水里称,重量减少 1/10,一块重 770 克的金银

9、合金, 放在水里称是 720 克,这块 合金含金、银各多少克？2某中学去年共招新生 475人,今年 共招新生 640人,其中初中招的新生比去年 增加 48,高中招的新生比去年增加 20, 今年初、高中各招收新生多少人？3袋子里原有红球和黄球共 119个。将红球增加 3/8 ，黄球减少 2/5 后，红球与 黄球的总数变为 121 个。原来袋子里有红球 和黄球各多少个？第 11 讲 假设法解题（二）一、知识要点 已知甲是乙的几分之几， 又知甲与乙各 改变一定的数量后两者之间新的倍数关系， 要求甲、乙两个数是多少， 这样的应用题称 为变倍问题。应用题中的变倍问题， 有两数同增、 两 数同减、一增一减

10、等各种情况。 虽然其中的 数量关系比较复杂， 但解答时的关键仍是确 定哪个量为单位 “ 1”，然后通过假设， 找出 变化前后的相差数相当于单位“ 1”的几分 之几，从而求出单位“ 1”的量，其他要求 的量就迎刃而解了。二、精讲精练【例题 1】两根铁丝，第一根长度是第 二根的 3 倍，两根各用去 6米，第一根剩下 的长度是第二根剩下的长度的 5 倍，第二根 原来有多少米？【思路导航】 假设第一根用去6X3二18 米，那么第一根剩下的长度仍是第二根 剩下长度的 3 倍，而事实上第一根比假设的 少用去（6X 3-6）= 12米，也就多剩下第 二根剩下的长度的（5-3）= 2倍。（6X 3-3）-（

11、5- 3） +6= 12 （米） 答：第二根原来有 12 米。练习 1：1 丁晓原有书的本数是王阳的 5 倍， 若两人同时各借出 5 本给其他同学，则丁晓 书的本数是王阳的 10倍，两人原来各有书 多少本？2在植树劳动中，光明中学植树的棵 数是光明小学的 3 倍，如果中学增加 450 棵，小学增加 400 棵，则中学是小学的 2 倍。求中、小学原来各植树多少棵？ 3两堆煤，第一堆是第二堆的 2 倍， 第一堆用去 8吨，第二堆用去 11 吨，第一 堆剩下的重量是第二堆的 4倍。求第二堆煤 原来是多少吨？【例题 2】王明平时积蓄下来的零花钱 比陈刚的 3 倍多 6.40 元，若两个人各买了 一本

12、4.40 元的故事书后，王明的钱就是陈 刚的 8 倍，陈刚原来有零花钱多少元？【思路导航】假设仍然保持王明的钱比 陈刚的 3 倍多 6.40 元，则王明要相应地花 去 4.40 X 3 =13.20 元，但王明只花去了 4.40 元，比 13.20 元少 13.20 - 4.40 = 8.80 元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱 的 3 倍多 6.40+8.80 = 15.20 元，而题中已 告诉：买书后王明的钱是陈刚的 8倍，所以， 15.20 元就对应着陈刚花钱后剩下钱的 8- 3= 5 倍。【 6.40+ （ 4.40 X 3 - 4.40 】 - （ 8 - 3 ）+4.40 =

13、7.44 （元） 答：陈刚原来有零花钱 7.44 元。练习 2：1 甲书架上的书比乙书架上的 3 倍多 50本，若甲、乙两个书架上各增加 150本， 则甲书架上的书是乙书架上的 2倍，甲、乙 两个书架原来各有多少本书？2上学年，马村中学的学生比牛庄小 学的学生的 2倍多 54人，本学年马村中学 增加了 20 人，牛庄小学减少了 8 人，则马 村中学的学生比牛庄小学的学生的 4 倍少 26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学 生多少人？3箱子里有红、白两种玻璃球，红球 比白球的 3 倍多 2 粒，每次从箱子里取出 7 粒白球和 15 粒红球，若干次后，箱子里剩 下 3 粒白球和 53 粒红球，那么

14、，箱子里白 球原有多少粒？【例题 3】小红的彩笔枝数是小刚的 1/2 ，两人各买 5 枝后，小红的彩笔枝数是 小刚的 2/3 ，两人原来各有彩笔多少枝？【思路导航】假设小刚买了 5 枝后，小 红的彩笔仍为小刚的 1/2 ，则小红只需买(5 X 1/2 ) = 2又1/2枝，但实际上小红买了 5 枝，多买了 5-2又1/2 = 2又1/2枝。将 小刚买了 5 枝后的枝数看作 “1 ”，小红多买 了 2 又 1/2，相当于(2/3 1/2 )= 1/6。小刚原来：(5 5X 1/2 ) - (2/3 1/2 )5=10 (枝)小红原来：10X 1/2 = 5 (枝) 答：小刚原来有彩笔 10 枝，

15、小红原来 有彩笔 5 枝。练习 3：1 小华今年的年龄是爸爸年龄的 1/6 ， 四年后小华的年龄是爸爸的 1/4 ，求小华和 爸爸今年的年龄各是多少岁？2小红今年的年龄是妈妈的 3/8， 10 年后小红的年龄是妈妈的 1/2 ，小红今年多 少岁？3甲书架上的书是乙书架上的 5/7 ， 甲、乙两个书架上各增加 90 本后，甲书架 上的书是乙书架上的 4/5 ，甲、乙两各书架 原来各有多少本书？【例题 4】王芳原有的图书本数是李卫 的 4/5 ，两人各捐给“希望工程” 10 本后， 则王芳的图书的本数是李卫的 7/10 ，两人 原来各有图书多少本？【思路导航】 假设李卫捐了 10 本后， 王芳的图

16、书仍是李卫的 4/5 ，则王芳只需捐 10X 4/5 =8 本，实际王芳捐了 10 本，多捐 了 10 8= 2 本，将李卫捐书后剩下的图书 看作“1”，着 2 本书相当于 4/5 7/10= 1/10 。(10 10X 4/5) - (4/5 710)=30(本)30X 4/5 = 24(本)答：李卫原有图书 30本，王芳原有图 书 24 本。练习 4：1 甲书架上的书是乙书架上的 4/5 ， 从这两个书架上各借出 112本后，甲书架上 的书是乙书架上的 4/7 ，原来甲、乙两个书 架上各有多少本书？2小明今年的年龄是爸爸的 6/11 ， 10 年前小明的年龄是爸爸的 4/9 ，小明和爸爸

17、今年各多少岁？3甲车间的工人是乙车间的 1/4 ，从 甲、乙两个车间各抽出 30人后，甲车间的 工人只占乙车间的 1/6 ，甲、乙两个车间原 来各有多少名工人？【例题 5】某校六年级男生人数是女生 的 23，后来转进 2 名男生，转走 3 名女生， 这时男生人数是女生的 3/4 ，现在男、女生 各有多少人？【思路导航】 假设转走 3 名女生后，男 生人数仍是女生的 2/3 ，则男生应转走 3X 2/3 = 2 人，实际上男生却转进 2 人，与应 转走 2 人相差 2+2=4 人。将转走 3 名女生 后的女生人数看作 “1”，则相差的 4 人相当 于现在女生的 3/4 2/3 。(2+3X 2/

18、3 ) - (3/4 2/3 ) = 48(人)48X 3/4 = 36(人)答：现在男生有 36 人，女生有 48 人。 练习 5： 1甲车间的工人是乙车间的 2/5 ，后 来甲车间增加 20 人，乙车间减少 35人，这 样甲车间的人数是乙车间的 7/9 ，现在甲、 乙两个车间各有多少人？2有一堆棋子，黑子是白子的 2/3 ， 现在取走 12 粒黑子，添上 18 粒白子后，黑 子是白子的 5/12 ，现在白子、黑子各有多 少粒？3爱华小学和曙光小学的同学参加小 学数学竞赛，去年的比赛中， 爱华小学得一 等奖的人数是曙光小学的 2.5 倍。今年的比 赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了 1 人，

19、曙光小学增加了 6 人，这时曙光小学得 一等奖的人数是爱华小学的 2 倍。两校去年 的一等奖的同学各有多少人？ 第 12 讲 倒推法解题一、知识要点 有些应用题如果按照一般方法， 顺着题 目的条件一步一步地列出算式求解， 过程比 较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的 结果出发， 运用加与减、 乘与除之间的互逆 关系，从后到前一步一步地推算， 这种思考 问题的方法叫倒推法。二、精讲精练【例题 1】一本文艺书，小明第一天看 了全书的 1/3 ，第二天看了余下的 3/5 ，还 剩下 48 页，这本书共有多少页？【思路导航】 从“剩下 48 页”入手倒 着往前推，它占余下的1 3/5 = 2/5。第

20、一 天看后还剩下48 - 2/5 = 120页，这120页 占全书的1 1/3 = 2/3，这本书共有120十 2/3 = 180 页。即48- (1 3/5 ) - (1 1/3 ) = 180(页)答：这本书共有 180页。练习 1：1 某班少先队员参加劳动，其中3/7 的人打扫礼堂，剩下队员中的 5/8 打扫操 场，还剩 12 人打扫教室，这个班共有多少 名少先队员？2. 辆汽车从甲地出发，第一天走了 全程的 3/8 ，第二天走了余下的 2/3 ，第三 天走了 250 千米到达乙地。 甲、乙两地间的 路程是多少千米？3. 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了 其中的 1/6，乙拿走了余下的 2

21、/5，丙拿走 这时所剩的 3/4，丁拿走最后剩下的 15个， 这堆苹果共有多少个？【例题 2】筑路队修一段路，第一天修 了全长的 1/5 又 100 米，第二天修了余下的 2/7 ，还剩 500米，这段公路全长多少米？【思路导航】 从“还剩 500米”入手倒 着往前推，它占余下的1 2/7 = 5/7,第一 天修后还剩500-5/7 = 700米，如果第一天 正好修全长的1/5,还余下700+100= 800 米，这800米占全长的1 1/5 = 4/5,这段 路全长800-4/5 = 1000米。列式为：【500-(1 2/7 ) +1001-(1 1/5 ) =1000米答：这段公路全长

22、1000 米。练习 2：1. 一堆煤，上午运走 2/7 ，下午运的 比余下的 1/3 还多 6 吨，最后剩下 14 吨还 没有运走，这堆煤原有多少吨？2. 用拖拉机耕一块地， 第一天耕了这 块地的 1/3 又 2 公顷，第二天耕的比余下的 1/2 多 3 公顷，还剩下 35 公顷，这块地共- 5 -六年级数学奥数培训资料 有多少公顷？3 批水泥，第一天用去了 1/2多1 吨，第二天用去了余下 1/3 少 2 吨，还剩下 16 吨，原来这批水泥有多少吨？【例题 3】有甲、乙两桶油，从甲桶中 倒出 1/3 给乙桶后，又从乙桶中倒出 1/5 给甲桶，这时两桶油各有 24 千克，原来甲、 乙两个桶中各

23、有多少千克油？【思路导航】 从最后的结果出发倒推， 甲、乙两桶共有(24X 2)= 48千克，当乙 桶没有倒出 1/5 给甲桶时，乙桶内有油 24 *( 1 1/5 )= 30千克，这时甲桶内只有 48-30= 18千克，而甲桶已倒出1/3给了 乙桶，可见甲桶原有的油为18*( 1 1/3 ) =27 千克，乙桶原有的油为 4827=21 千 克。甲：【 24X 2 24*( 1 1/5 )】*( 1 1/3 )= 27(千克)乙：24 X 2 27 = 21 (千克)答：甲桶原有油 27千克，乙桶原有油 21 千克。练习 3：1 .小华拿出自己的画片的1/5给小 强，小强再从自己现有的画片中

24、拿出 1/4 给小华，这时两人各有画片 12 张，原来两 人各有画片多少张？2 .甲、乙两人各有人民币若干元，甲 拿出 1/5 给乙后， 乙又拿出 1/4 给甲，这时 他们各有 90 元，他们原来各有多少元？3. 一瓶酒精，第一次倒出 1/3 ，然后 倒回瓶中 40 克，第二次再倒出瓶中酒精的 5/9 ，第三次倒出 180克，瓶中好剩下 60 克，原来瓶中有多少克酒精？【例题 4】甲、乙、丙三人共有人民币姓名： 168 元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给 乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙； 第 三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这 样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比 乙多多少元钱？【思路导

25、航】 根据题意，由最后甲钱数 是 168* 3= 56 元可推出：第一次甲拿出与 乙同样的钱数给乙后， 甲剩下的钱是 56* 2 = 28元，这 28元就是原来甲比乙多的钱数。168* 3* 2= 28 元答：原来甲比乙多 28 元。练习 4：1. 甲、乙、丙三个班共有学生 144 人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙 班，再从乙班调出与丙班相同的人数到丙 班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给 甲班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。 原来甲班比乙班多多少人？2. 甲、乙、丙三个盒子各有若干个小 球，从甲盒拿出 4 个放入乙盒， 再从乙盒拿 出 8 个放入丙盒后， 三个盒子内的小球个数 相等。

26、原来乙盒比丙盒多几个球？3 .甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比 是 6： 9： 5，如果从乙仓库拿出 400袋平均 分给甲、 丙两仓库， 则甲、乙两个仓库的数 量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？【例题 5】甲、乙两个仓库各有粮食若 干吨，从甲仓库运出 1/4 到乙仓库后， 又从 乙仓库运出 1/4 到甲仓库， 这时甲、乙两仓 库的粮食储量相等。 原来甲仓库的粮食是乙 仓库的几分之几？【思路导航】解题关键是把两个仓库粮 食的和看作 “1”，由题意可知， 从乙仓库运 出 1/4 到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的- # -六年级数学奥数培训资料1/2。 当乙仓库没有往甲仓库运时， 乙仓库 占两仓库和的

27、几分之几？1/2 -(1 1/4 )= 2/3 甲仓库占两仓库和的几分之几？1 2/3 = 1/3 甲仓库原来占两仓库和的几分之 几？1/3 -(1 1/4 )= 4/9 原来甲仓库时乙仓库的几分之几？4-( 9 4)= 4/5 答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的 4/5 。练习 5：1 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨， 从甲仓库运出 1/3 到乙仓库后，又从乙仓库 运出 1/3 到甲仓库， 这时甲、乙两仓库的粮 食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的 几分之几？2甲、乙两个仓库各有粮食若干吨， 从甲仓库运出 1/5 到乙仓库后，又从乙仓库 运出 1/4 到甲仓库， 这时甲、 乙两仓库的粮 食储量相

28、等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的 几分之几？3甲、乙两个仓库各有粮食若干吨， 从甲仓库运出 1/3 到乙仓库后，又从乙仓库 运出 2/5 到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲 仓库的 9/10 。原来甲仓库的粮食是乙仓库 的几分之几？ 第 13 讲 代数法解题一、知识要点 有一些数量关系比较复杂的分数应用 题，用算术方法解答比较繁、 难，甚至无法 列式算式，这时我们可根据题中的等量关系 列方程解答。二、精讲精练【例题 1】某车间生产甲、 乙两种零件， 生产的甲种零件比乙种零件多 12 个，乙种 零件全部合格， 甲种零件只有 4/5 合格，两 种零件合格的共有 42 个，两种零件个生产 了多少个？【思路

29、导航】本体用算术方法解有一定 难度，可以根据两种零件合格的一共有 42 个，列方程求解。解：设生产乙种零件 x 个，则生产甲种 零件(x+12)个。(x+12)X 4/5+x = 424/5x+9+x = 429/5x = 42 9 又 3/5x= 1818+12= 30 (个)答：甲种零件生产了 30 个，乙种零件 生产了 18 个。练习 1：1 某校参加数学竞赛的女生比男生多 28 人，男生全部得优，女生的 3/4 得优， 男、女生得优的一共有 42 人，男、女生参 赛的各有多少人？2有两盒球，第一盒比第二盒多 15 个，第二盒中全部是红球，第一盒中的 2/5 是红球，已知红球一共有 69

30、 个，两盒球共 有多少个？3六年级甲班比乙班少 4 人，甲班有 1/3 的人、乙班有 1/4 的人参加课外数学组， 两个班参加课外数学组的共有 29 人，甲、 乙两班共有多少人？【例题 2】阅览室看书的学生中，男生 比女生多 10 人，后来男生减少 1/4 ，女生 减少 1/6 ，剩下的男、女生人数相等，原来 一共有多少名学生在阅览室看书？【思路导航】根据剩下的男、 女人数相 等的题意来列方程求解。解：设女生有 x 人，则男生有( x+10) 人(1 1/6) x=( x+10)x( 1 1/4 )x = 9090+90+10= 190 人答：原来一共有 190 名学生在阅览室看 书。练习 2

31、：1 某小学去年参加无线电小组的同学 比参加航模小组的同学多 5 人。今年参加无 线电小组的同学减少 1 /5 ，参加航模小组的 人数减少 1/10 ，这样，两个组的同学一样 多。去年两个小组各有多少人？2原来甲、乙两个书架上共有图书 900 本，将甲书架上的书增加 5/8 ，乙书架上的 书增加 3/10 ，这样，两个书架上的书就一 样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少 本？3某车间昨天生产的甲种零件比乙种 零件多 700个。今天生产的甲种零件比昨天 少 1/10 ，生产的乙种零件比昨天增加 3/20 ， 两种零件共生产了 2065 个。昨天两种零件 共生产了多少个？【例题 3】 甲、乙两校共

32、有 22 人参加 竞赛，甲校参加人数的 1/5 比乙校参加人数 的1/4 少1人，甲、乙两校各有多少人参加？【思路导航】 这题中的等量关系是： 甲X 1/5 =乙乂 1/4 1解：设甲校有 x 人参加，则乙校有( 22 x )人参加。1/5x =( 22 x)X 1/4 1x = 1022 10= 12(人)答：甲校有 1 0人参加，乙校有 12人参 加。练习 3：1 学校图书馆买来文艺书和连环画共 126 本，文艺书的比连环画的少 7 本，图书 馆买来的文艺书和连环画各是多少本？2某小有学生 465人，其中女生的比 男生的少 20 人，男、女生各有多少人？3王师傅和李师傅共加工零件 62 个

33、， 王师傅加工零件个数的比李师傅的少 2 个， 两人各加工了多少个？【例题 4】甲书架上的书是乙书架上的 5/6 ，两个书架上各借出 1 54本后，甲书架 上的书是乙书架上的 4/7 ，甲、乙两书架上 原有书各多少本？【思路导航】 这道题的等量关系是； 甲 书架上剩下的书等于乙书架上剩下的 4/7 。解：设乙书架上原有 x 本，则甲书架上 原有 5/6x 本。(x154)X 4/7 =5/6x 154x = 252252X 5/6 = 210(本)答：甲书架上原有 21 0本，乙书架上原 有 252 本。练习 4：1 儿子今年的年龄是父亲的 1/6 ， 4 年后儿子的年龄是父亲的 1/4 ，父

34、亲今年多 少岁？2某校六年级男生是女生人数的 2/3 ， 后来转进 2名男生，转走 3名女生，这时男 生人数是女生的 3/4 。原来男、女生各有多少人？3第一车间人数的 3/5 等于第二车间 人数的 9/10 ，第一车间比第二车间多 50 人。 两个车间各有多少人？【例题 5】一个班女同学比男同学的 2/3 多 4 人，如果男生减少 3 人，女生增加 4人，男、女生人数正好相等。这个班男、 女生各有多少人？【思路导航】 抓住“如果男生减少 3 人，女生增加 4 人，男、女生人数正好相等” 这个等量关系列方程。解：设男生有x人，则女生有(2/3X+4 ) 人。X 3= 2/3x+4+4x= 33

35、2/3 X 33+4= 26 (人)答：这个班男生有 33 人，女生有 26 人。练习 5： 1某学校的男教师比女教师的 3/8 多 8 人。如果女教师减少 4 人，男教师增加 8 人，男、女教师人数正好相等。 这个学校男、 女教师各有多少人？2某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存 的电视机是第二仓库的 3 倍。如果从第一仓 库取出 30 台，存入第二仓库，则第二仓库 就是第一仓库的 4/9 。两个仓库原来各有电 视机多少台？3某工厂第一车间的人数比第二车间 的人数的 4/5 少 30 人。如果从第二车间调10 人到第一车间，则第一车间的人数就是 第二车间的 3/4 。求原来每个车间的人数。第

36、14 讲 比的应用(一) 一、知识要点 我们已经学过比的知识， 都知道比和分 数、除法其实是一回事， 所有比与分数能互 相转化。运用这种方法解决一些实际问题可 以化难为易，化繁为简。二、精讲精练【例题 1】甲数是乙数的 2/3 ，乙数是 丙数的 4/5 ，甲、乙、丙三数的比是( )：)：( )。【思路导航】甲、乙两数的比2： 3乙、丙两数的比4： 5甲、乙、丙三数的比8 ： 12： 15答：甲、乙、丙三数的比是 8 ： 12： 15练习 1：1甲数是乙数的 4/5 ，乙数是丙数的 5/8 ，甲、乙、丙三数的比是( )：( )：( )。2甲数是乙数的 4/5 ，甲数是丙数的 4/9 ，甲、乙、丙

37、三数的比是( )：( )：( )。3甲数是丙数的 3/7 ，乙数是丙数的 2 又 1/2 ，甲、乙、丙三数的比是( )：( )：( )。【例题 2】光明小学将五年级的 140 名 学生，分成三个小组进行植树活动， 已知第 一小组和第二小组人数的比是 2： 3，第二 小组和第三小组人数的比是 4： 5。这三个小组各有多少人？【思路导航】先求出三个小组人数的连 比，再按求出的连比进行分配。 一、二两组人数的比2: 3二、三两组人数的比 4： 5一、二、三组人数的比 8 : 12: 15 总份数：8+12+15= 35 第一组：140X 8/35 = 32 (人) 第二组：140X 12/35 =

38、48 (人) 第三组： 140X 15/35 = 60(人)答：第一小组有 32人，第二小组有 48 人，第三小组有 60 人。练习 2：1某农场把 6 1 600公亩耕地划归为粮 田与棉田，它们之间的比是 7： 2，棉田与 其他作物面积的比 6： 1。每种作物各是多 少公亩？比是 7： 5，如果甲校给乙校 650本，甲、 乙两校图书本数的比就是 3： 4。原来甲校 有图书多少本？【思路导航】 由甲、乙两校原有图书本 数的比是 7： 5可知，原来甲校图书的本数 是两校图书总数的 7/( 7+5)，由于甲校给 了乙校 650本，这时甲校的图书占两校图书 总数的 3/ (3+4)，甲校给乙校的 6

39、50本图 书，相当于两校图书总数的 7/(7+5)3/( 3+4)= 13/84 。650-( 7/ (7+5) 3/ (3+4) X 7/( 7+5)= 2450(本)答：原来甲校有图书 2450本。练习 3：1小明读一本书，已读的和未读的页 数比是 1： 5。如果再读 30页，则已读和未 读的页数之比为 3： 5。这本书共有多少页？- 9 -2黄山小学六年级的同学分三组参加 植树。第一组与第二组的人数的比是 5： 4， 第二组与第三组人数的比是 3： 2。已知第 一组的人数比二、 三组人数的总和少 15人。 六年级参加植树的共有多少人？3科技组与作文组人数的比是 9： 10， 作文组与数学

40、组人数的比是 5： 7。已知数 学组与科技组共有 69 人。数学组比作文组 多多少人？例题 3】甲、乙两校原有图书本数的2甲、乙两包糖的重量比是 4： 1。从 甲包取出 1 30克放入乙包后， 甲、乙两包糖 的重量比为 7： 5。原来甲包有多少克糖？3五年级三个班举行数学竞赛。一班 参加比赛的占全年级参赛总人数的 1/3，二 班与三班参加比赛人数的比是 11： 13，二 班比三班少 8人。一班有多少人参加了数学 竞赛？【例题 4】从前有个农民，临死前留下 遗言，要把 1 7头牛分给三个儿子，其中大 儿子分得 1/2 ，二儿子分得 1/3 ，小儿子分 得 1/9 ，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子

41、 按照老人的要求怎么也不好分。 后来一位邻 六年级数学奥数培训资料姓名： 居顺利地把 17 头牛分完了，你知道这到底 是怎么回事吗？【思路导航】因为1/2+1/3+1/9 = 17/18 , 17/18 1,就是说三兄弟并未将全 部牛分完，所以我们求出三个儿子分牛头数 的连比,最后再按比例分配。 三个儿子分牛头数的连比： 1/2：1/3 : 1/9 = 9: 6: 2 总份数：9+6+2= 17 三个儿子各分得牛的头数：17X 9/17 = 9 (头)17X6/17 = 6 (头)17X2/17 = 2(头)答:大儿子分得 9 头,二儿子分得 6 头,小儿子分得 2 头。练习 4:1 图书室取

42、出一批书,按照一年级得 1/2 ,二年级得 1/3 ,三年级得 1/7 ,正好是 41 本,各年级各得多少本？2古罗马富豪约翰逊再临终前,对怀 孕的妻子写下这样一份遗嘱: 如果生下来是 个男孩,就把遗产的三分之二给儿子, 母亲 拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产 的三分之一给女儿, 三分之二给母亲。 结果 他的妻子生了双胞胎, 一男一女, 这是他没 有预料到的。 求出接近于遗嘱条件, 把遗产 分给三个继承人的比。(1)从儿子、母亲、女儿所得的比例 来看,他们三人所得的遗产的比是 ():( ): ( )。( 2)从母亲至少得遗产的 1/3 来看, 儿子、母亲、女儿所得遗产的比是( ):( )

43、: ( )。3甲、乙、丙三人共做零件 900 个。 甲做总数的 30,乙比丙多做 1/3。三人各 做多少个？【例题 5】两个相同的瓶子装满酒精溶 液。一个瓶中酒精与水的体积之比是 3: 1, 另一个瓶中酒精与水的体积之比是 4: 1。 若把两瓶酒精溶液混合, 混合液中酒精与水 的体积之比是多少？【思路导航】 抓住两个瓶子相同的关 系,分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的 几分之几再解答。 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3/(1+3)= 3/4 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4/(1+4)= 4/5 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 3/4+4/5= 31/20 水占一个瓶子容积的比 2 31/20

44、 = 9/20 混合液中酒精与水的比 31/20 : 9/20=31: 9答:混合液中酒精与水的比是 31: 9。 练习 5:1 两块一样重的合金,一块合金中铜 与锌的比是 2: 5,另一块合金中铜与锌的 比是 1 : 3。现将两块合金合成一块,求出 锌合金中铜与锌的比。2将一条公路平均分给甲、乙两个工 程队修筑。甲队已修的与剩下的比是 2: 1, 乙队已修的与剩下的比是 5: 2。这条公路 已修了全长的几分之几？第 15 讲 比的应用(二)一、知识要点比是反映数量关系的一种常见形式， 也 是解数学题的一种重要工具， 有了它，我们 处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活 得多。在这一讲， 我们

45、讲探讨稍复杂的比是 应用题。二、精讲精练【例题 1】甲、乙两个学生放学回家， 甲要比乙多走 1/5 的路，而乙走的时间比甲 少 1/11 ，求甲、乙两人速度的比。【思路导航】因为 速度二路程宁时间， 所以，甲、乙速度的比二甲路程/甲时间： 乙路程/乙时间( 1)甲、乙路程的比：( 1+1/5)：1 = 6：5( 2)甲、乙时间的比：1：（ 11/11 )=11： 10( 3)甲、乙速度的比：6/11 ： 5/10=12：11答：甲、乙速度的比是 12： 11。练习 1： 1小明和小芳各走一段路。小明走的 路程比小芳多 1/5 ，小芳用的时间比小明多 1/8 。求小明和小芳速度的比。2甲走的路程

46、比乙多 1/3 ，乙用的时 间比甲多 1/4 。求甲、乙的速度比。3一个人步行每小时走 5 千米，如果 骑自行车每 1千米比步行少用 8 分钟。这个 人骑自行车的速度和步行速度的比是多 少？【例题 2】制造一个零件，甲需 6 分钟， 乙需 5 分钟，丙需 4.5 分钟。现在有 1590 个零件的制造任务分配给他们三个人， 要求 在相同的时间内完成， 每人应该分配到多少个零件？【思路导航】 先求出工作效率的比， 然后根据同一时间内， 工作总量的比等于工作 效率的比进行解答。甲、乙、丙工作效率的比： 1/6 ： 1/5 ：1/1.5 = 15: 18: 20总份数：15+18+20= 53甲 ：1

47、590X 15/53 = 450 （个） 乙 ：1590X 18/53 = 540 （个） 丙 ： 1590X 20/53 = 600（个） 答：甲、乙、丙分配到的零件分别是 450 个、 540 个、 600 个。练习 2：1 加工一个零件，甲需 3 分钟，乙需 3.5 分钟，丙需 4 分钟。现在有 1825 个零 件需要甲、 乙、丙三人加工。 如果规定用同 样的时间完成任务， 那么各应加工多少个？2甲、乙、丙三人在同一时间里共制 造 940个零件。甲制造一个零件需 5 分钟， 比乙制造一个零件所用的时间多 25，丙 制造一个零件所用的时间比甲少 2/5 。甲、 乙、丙各制造了多少个零件？3

48、加工某种零件要三道工序，专做第 一、二、三道工序的工人每小时分别能完成 零件 48 个， 32 个， 28 个，现有 118名工人， 要使每天三道工序完成的零件个数相同， 每 道工序应安排多少工人？【例题 3】两个服装厂一个月内生产服 装的数量是 6： 5，两厂西服价格的比是 11： 10。已知两厂这个月内总产值为 6960万元。 两厂的产值各是多少万元？【思路导航】因为产值二价格X产量， 所以甲产值：乙产值二（甲价格X甲产量）：- # -六年级数学奥数培训资料（乙价格X乙产量）两厂的产值比为：（11 X 6）: （10X 5）=66: 50甲厂产值为：6960 X 66/（ 66+50） =

49、 3960（元）乙厂产值为：6960X 50（66+50）= 3000 （元）答：两厂的产值分别是 3960万元和 3000 万元。练习 3：1甲、乙两个长方形长的比是 4： 5， 宽的比是 3： 2，面积的和是 242 平方厘米。 求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方 厘米？2苹果和梨的单价的比是 6： 5，王大 妈买的苹果和梨的重量的比是 2： 3，共花 去 18 元。王大妈买苹果和梨各花了多少 元？3大、小两种苹果， 其单价比是 5： 4， 重量比是 2： 3。把两种苹果混合， 成为 100 千克的混合苹果，单价为每千克 4.40 元。 大、小两种苹果原来每千克各是多少元？【例题4】A

50、、B两种商品的价格比是7: 3。如果它们的价格分别上涨 70元，它们的 价格比就是 7： 4，这两种商品原来的价格 各是多少元？【思路导航】解法一：因为A、B两种商品涨价的数 值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。 由于价格差不变，所以价格差对应的份数也 应该相同。原价格比= 7： 3=21： 9现价格比= 7： 4= 28： 16【这样前后项的差都是 12，价格涨了（2821）= 7份，是 70元】70-（28-21）= 10 元 A : 10X21 = 210 （元）B : 10X 9= 90 /元）解法二：由于两种商品的价格不变， 选 两种商品的价格差做单位“ 1“进行解答。/1）原来A

51、商品的几个是价格差的几 倍7-（ 7- 3）= 7/4/2）后来A商品的价格是价格差的几 倍7-（ 7- 4）= 7/3/3） A B两种商品的价格差是70-（ 7/3 - 7/4 ）= 120（元）（ 4）原来 A 商品的价格是120-（ 7- 3）X 7= 210（元）/5）原来B商品的价格是120-（ 7- 3）X 3= 90（元）答：A、B两种商品原来的价格分别是 210元和 90元。练习 4：用两种思路解答下列应用题：1甲、乙两个建筑队原有水泥重量的 比是 4： 3。甲队给乙队 54吨水泥后，甲、 乙两队水泥重量的比是 3： 4。原来甲队有 水泥多少吨？2甲书架上的书是乙书架上的 4

52、/7， 两书架上各增加 154 本后，甲书架上的书是 乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少 本书？3兄弟两人，每年收入的比是 4： 3， 每年支出的比是 18： 13。从年初到年底， 他们都结余 720 元。他们每年的收入各是多 少元？【例题 5】如图是甲、乙、丙三地的线 路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地 的路程比是1： 2。王刚以每小时4千米的 速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时 10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他 比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距 多少千米？【思路导航】解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。王刚

53、和李华所用时间的比1/4 :2/10=5: 4王刚所用的时间1 -（ 5-4）X 5 = 5（小时）甲地到丙地的路程 4 X 5 = 20 （千 米）甲、乙两地的路程 20 X（ 1+2） =60 （千米）解法二：如果李华每小时行 4X 2 = 8 千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每 小时多行10- 8= 2千米。在王刚从甲地到 丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行 了 10X 1 = 10千米。据此，可求出王刚从甲 地到丙地的时间。王刚从甲地到丙地的时间10 X 1十（10- 4X 2）= 5 （小时）甲、乙两地的路程4 X 5X（ 1+2）= 60（千米）解法三：如果王刚每小时行 1

54、0-3 = 5 千米，就能和李华同时到达。由此可见，王 刚走完甲地到丙地的路程，用每小时4千米 的速度和每小时5千米的速度相比，所用的 时间相差1小时。再根据1千米的路程，两 种速度所用的时间相差1/4 1/5 = 1/20小时。最后求出甲地到丙地的路程。甲地到丙地的路程1-（ 1/4 1/ （10 -2）= 20 （千米）甲、乙两地的路程20 X （1+2） = 60（千 米）答：甲、乙两地相距60千米。练习5：1. 一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往 返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。 汽车去时每小时行45千米，返回时每小时 行30千米。甲、乙两地相距多少千米？2. 甲做3000个零件比

55、乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是 6：5。甲、乙每小时各做多少个？3. 下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路 程的比是2: 3。一辆货车以每小时40千米 的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每 小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车 比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的 路程？I|甲丙乙第 16 讲 用“组合法”解工程问题一、知识要点 在解答工程问题时，如果对题目提供的 条件孤立、 分散、静止地看， 则难以找到明 确的解题途径， 若用“组合法” 把具有相依 关系的数学信息进行恰当组合， 使之成为一 个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立 刻明朗

56、化，从而顺利找到解题途径。二、精讲精练【例题 1】一项工程，甲、乙两队合作 15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天， 只能完成工程的 7/30 ，乙队单独完成全部 工程需要几天？【思路导航】 此题已知甲、 乙两队的工 作效率和是 1/15 ，只要求出甲队货乙队的 工作效率， 则问题可解， 然而这正是本题的 难点，用“组合法”将甲队独做 5 天，乙队 独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后， 甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲队 2 天的工作量7/30 1/15 X 3= 1/30,从而求 出甲队的工作效率。所以1- 1/15 (7/30 1/15 X 3)-( 5 3)】= 20(天)答：乙队单独完成全部工程需要 20 天。 练习 1：1 师、徒二人合做一批零件, 12 天可 以完成。 师傅先做了 3 天,因事外出, 由徒 弟接着做 1 天,共完成任务的 3/20 。如果 这批零件由师傅单独做, 多少天可以完成？天,再由