ARIMA模型建立与应用

1、实验一 ARIMA 模型建立与应用 一、实验项目： ARIMA 模型建立与预测。 二、实验目的 1、准确掌握 ARIMA（p,d,q） 模型各种形式和基本原理； 2、熟练识别 ARIMA（p,d,q） 模型中的阶数 p,d,q 的方法； 3、学会建立及检验 ARIMA（p,d,q） 模型的方法； 4、熟练掌握运用 ARIMA（p,d,q） 模型对样本序列进行拟合和预测； 三、预备知识 （一）模型 1、AR（p）（p 阶自回归模型） xt1xt 1 2 xt 2pxt p ut 其中 ut 白噪声序列， 是常数（表示序列数据没有 0 均值化） AR（p）等价于 （1 1L 2L2p Lp）xtu

2、t AR（p）的特征方程是： （L） 1 1L 2L2p Lp 0 AR（p）平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。 2、MA （q）（q 阶移动平均模型） xtut1ut 1 2ut2 qutq xt（11L2 L2 qLq）ut （L）ut 其中ut 是白噪声过程。 MA （q）平稳性 MA （q）是由 ut本身和 q个 ut的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平 稳的。 MA （q）可逆性（用自回归序列表示 ut） ut （L） 1xt 可逆条件：即 （L） 1 收敛的条件。即 （L）每个特征根绝对值大于 1，即 全部特征根在单位圆之外。 3、ARMA （p，q）（自回归移动平均过程）

3、xt1xt 12 xt2pxtput1ut 12ut2qutq （L）xt （1 1L 2L2pLp ）xt （1 1L 2L2qLq ）ut（L）ut （L）xt（L）ut ARMA （p，q）平稳性的条件是方程 （L）=0 的根都在单位圆外；可逆性 条件是方程 （L）=0 的根全部在单位圆外。 4、ARIMA ( p，d，q)(单整自回归移动平均模型) 差分算子： xt xt xt 1 xt Lxt (1 L)xt 22 xtxt xt 1 (1 L)xt (1 L)xt 1 (1 L) xt d xt (1 L)d xt 对 d 阶单整序列 xtI(d) wtdxt (1 L)d xt

4、则 wt 是平稳序列，于是可对 wt 建立 ARMA ( p， q)模型，所得到的模型 称为 xtARIMA ( p，d，q)，模型形式是 wt1wt 12wt2pwtput1ut 12ut 2qut q (L) d xt(L)ut 由此可转化为 ARMA 模型。 (二) 模型识别 要建立模型 ARIMA ( p， d， q)，首先要确定 p，d，q，步骤是：一是用单 位根检验法， 确定 xtI(d)的 d；二是确定 xt AR( p)中的 p；三是确定 xt MA ( q)中的 q。平稳序列自相关函数 cov(xt,xt k)cov(x0,xk )rk var(xt ) var(xt k )

5、var(x0 ) var(x0 ) r0 0=1，-k = k(对称) 1、平稳 AR(p) 的自相关系数和偏自相关系数 (1)平稳 AR(p) 的自相关系数 xt 1xt 1 2 xt 2pxt p ut i0 k0 平稳 AR(p) 的自相关系数是 k 1 k 1 2 k 2 p k p，k0 2)k 阶平稳自回归过程 AR(k)的偏自相关系数 xt k1xt 1k2xt 2 kk xt k ut xt xt j k1xt 1xt j kk xt k xt j ut xt j k1 j 1 k2 j 2 k2xt 2xt j 两边同除以 0 j k1 j 1 k2 j 2 kk j k 对

6、任意 j0 都成立。根据 0 1和对称性 jj ，得到 Yule-Walker 方程组 1 k1 k2 1kk k 1 2 k1 1 k 2kk k 2 k k1 k 1 k 2 k 2 kk 对于给定的 k，1, 2,k 已知，每个方程组最后一个解就是相应的偏 自相关系数： 11， 22 的,kk。 3 是 k=3 的自相关系数，意义：度量平稳序列 xt 与 xt-3 的相关系数，至 于中间 xt-1，xt-2 起什么作用无法顾及。 33 的 k=3 的偏自相关系数。意义：剔除中间变量 xt-1，xt-2 的影响后，度 量 xt 与 xt-3 的相关程度。 2、平稳 MA（q） 的自相关系数

7、和偏自相关系数 （1）MA（q） 自相关系数 xtut 1ut 1 2ut 2qut q 2(1 1222q2),k 0 k E(xtxt k)2( k 1 k1 k q q),0 k q 0,k q rk r0 1,k 0 k q q)/(1 1222 0,k q q2),0 k q 当 kq 时， k=0，xt 与 xt+k 不相关，这种现象称为截尾，因此可根据自相 关系数是否从某一点开始一直为 0来判断 MA（q） 模型的阶数 q。 （2）MA（q） 偏自相关系数 MA（q） 模型对应一个 AR（），通过 AR（）来解决 3、ARMA （p，q）有拖尾特征， p 和 q 的识别通过从低阶

8、逐步试探直到合 适的模型为止。 （三）模型估计 用 Eviews 软件进行估计 （四）模型检验 1、用 t 统计量检验模型参数显著性； 2、为保证 ARMA （p，q）的平稳性和可逆性，模型特征根皆应在单位圆以 外，或倒数在单位圆内； 3、用 Q 统计量对残差进行白噪声检验。 原假设和备择假设 H1 : 1 2 K 0 （序列不存在自相关，是白噪声） H0 : 1, 2, , K 不全为 0(序列存在自相关，不是白噪声) 统计量 TK 2(K) K Q T(T 1) k1 其中上述 r是样本相关系数， T 是样本容量，分布是极限分布。 K 是自相关 系数的个数，即最大滞后期。若样本较大，则 K

9、=T/10 或 T 的平方根；若样本 较小，则 K=T/4 。 判别规则是： Q2(K) 接受原假设， Q2 (K) 拒绝原假设。 (五) 模型外推预测 已有 ARMA (p，q)模型 xt1xt 1 2 xt 2pxt p ut1ut 1 2ut 2qut q 和观察值 Xt ，Xt-1 ，Xt-2 ， X1。把观察值代入，在 t+1 时刻有 Xt 1 1Xt 2Xt 1p Xt p 1 ut 1 1ut2ut 1qut q 1 上式中，观察值已知，只有误差处理问题。 下标大于 t 的误差项，由于未来的误差未知，因此用期望值 0 代替未来的误 差。下标从 1到 t 的误差项，可用残差估计值(

10、要建模时可找到)代替。于是 1 步预测公式： Xt(1) 1Xt 2Xt 1pXt p 1 0 1ut 2ut 1 qut q 1 类似地， 2步预测公式和 l 步预测公式分别是： Xt(2) 1 Xt(1) 2Xt 2pXt p 2 0 0 2ut 3ut 1qut q 2 其中， h-p0时， ut q h 0 四、实验内容 1、ARIMA(p ，d， q)模型阶数识别； 2、ARIMA(p ，d， q)模型估计与检验； 3、ARIMA(p ，d， q)模型外推预测。 五、实验软件环景： Eviews 软件。 六、实验步骤：按、以美元对欧元汇率 1993.1到 2007.12的月均价数据为

11、例进行 实验。 (一) 创建 Eviews 工作文件( Workfile ) 从 Eviews 主选单中选“ File/New Workfile ”，选择“ monthly ”选项，输入“ Start date:1993:01End date:2007:12”。 （二）录入数据，并对序列进行初步分析 1、导入数据 Quick/Empty Group 在 Ser01 输入数据；改变量名：点击 Ser01 全选第一列，在命令栏输入 EURO 将文件保存命名，注意存放地址。 2、序列初步分析 选定变量 EURO，双击它， ViewGraphLine ，输出 EURO 的曲线 6 从图形看到美元对欧元

12、汇率在 2001年左右处于高位， 2002 年以后一直处于 下跌态势。数据总体上类似于随机游走过程形式，应该是非平稳的。 （三）ARIMA（p ，d，q）模型阶数识别 1、确定单整阶数 d （ 1）用不含时间趋势项、解释变量中不含差分项的模型，即对模型 euroteurot 1 t 进行单位检验（ Unit Root Test）。假设 H 0 :0 ；备择 假设 H1 : 0。 在工作文件窗口，选定变量 EURO，双击它，在EURO页面上，点击ViewUnit Root TestADF，表示已经进入扩展的 DF检验。选择 Level（对水平变量进行单位根检验， 检验系数对应的项 EUROt-1

13、）Intercept（不含时间趋势变量 ）Automatic selecttion（解 释变量不含 EUROt-1的差分），并且在 maximum中选择 0（表示差分滞后项数取 0， 即不含 EUROt-1的差分） Null Hypothesis: EURO has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.583908 0.8699 Test criti

14、cal values: 1% level -3.466994 5% level -2.877544 10% level -2.575381 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EURO) Method: Least Squares Date: 04/11/11Time: 08:24 Sample (adjusted): 1993M02 2007M12 Included observations: 179 after adjustment

15、s Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EURO(-1) -0.007496 0.012838 -0.583908 0.5600 C 0.005875 0.011475 0.511990 0.6093 R-squared 0.001923 Mean dependent var -0.000766 Adjusted R-squared -0.003716 S.D. dependent var 0.020297 S.E. of regression 0.020334 Akaike info criterion -4.941907 8

16、Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.073187 444.3006 1.369377 Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) -4.906293 0.340948 0.560026 得到结果 eurot 0.005875 0.007496eurot 1 t=（ 0.511990 ） （ -0.583908 ） p=（ 0.6093 ） （ 0.5600 ） 要确定差分方程的样本容量 T，原有的样本容量是 180，差分后样本容量是 T=179；取=5%，查附表 2，得临

17、界值 =-2.88；统计量观察值为 t=-0.583908 =-2.88，所以接受假设 （从概率值大于 0.05 也得到接受的结论 ），即认为汇率序列 （EURO）是非平稳的。 2）对模型 2 eu roteurot 1 t ，作假设 H0 : 0；备择假设 H1 :0。 在工作文件窗口， 选定变量 euro，双击，在 euro 页面上，点击 ViewUnit Root TestADF，表示已经进入扩展的 DF 检验。选择 1st different（ 对 1 阶差分进行单 位根检验，检验系数对应的项是 euro t-1）Intercept（不含时间趋势变量 ）User specifi 取 0

18、（解释变量不含 euro t-1 的差分）。得到结果 Null Hypothesis: D(EURO) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -9.676555 0.0000 Test critical values: 1% level -3.467205 9 5% level 10% level -2.877636 -2.575430 *MacKi

19、nnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EURO,2) Method: Least Squares Date: 04/11/11Time: 08:36 Sample (adjusted): 1993M03 2007M12 Included observations: 178 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(EURO(-1) -0.691721 0

20、.071484 -9.676555 0.0000 C -0.000638 0.001452 -0.439553 0.6608 R-squared 0.347267 Mean dependent var -8.27E-05 Adjusted R-squared 0.343559 S.D. dependent var 0.023885 S.E. of regression 0.019352 Akaike info criterion -5.040911 Sum squared resid 0.065909 Schwarz criterion -5.005160 Log likelihood 450

21、.6411 F-statistic 93.63572 Durbin-Watson stat 1.871573 Prob(F-statistic) 0.000000 由软件输出结果得到回归模型 2 2eurot0.000638 0.691721 eurot 1 t=（ -0.439553 ）（ -9.676555 ） p=（ 0.6608 ） （0.0000 ） 取=5%，求样本容量 T，原来样本容量是 180，2 阶差分分后 T=178，查附 表 2，得 DF 检验的临界值为 =-2.88， 对euro 平稳性检验的统计量观察值为 t=-9.676555 0.05， 接受序列不相关的假设，即认为残差序列是白噪声。 类似地，对模型 ARIMA（2 ，1，0）、ARIMA（0 ，1，1）、 ARIMA（1 ，1，1）、 ARIMA（2 ，1，1）进行估计与检验。