数论之同余问题

1、数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点拨：三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等

2、于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，

3、b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则20-8一定能被2整除【模块：三大余数定理的应用】【例 1】 有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数，的约数有，所以这个数可能为。【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】

4、 (法1) ，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数，所以这个数是【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为18，33=198，所以每198个数一次 1198之间只有1，2，3，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999198=59，所以共有518+9=99个这样的数【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数

5、的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】 设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则根据题意可知，所以，即，得所以是9的倍数，是8的倍数此时，由知由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，所以，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54当时，而，所以，故此时最大为；当时，由于，所以此时最小为所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154【例 2】 两位自然数与除以7都余1，并且，求【解析】 能被7整除，即能被7整除所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求，【巩固】 学校新买来118个乒乓

6、球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以余数相同的数那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为17【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_【解析】 因为, ，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除，所以所求的最大整数是98【例 3】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 与的和除以7的余数是_【解析】 找规律用7除2，的余数分别是2，4，1，2，4，

7、1，2，4，1，,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4因为，所以除以7余4又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同而2003除以7余1，所以除以7余1故与的和除以7的余数是【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组这样的数组共有_组【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5因为，所以这样的数组共有下面4个：， ， ，【例 4

8、】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_【解析】 ，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，所以除数不是58，所以除数是【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=_【解析】 n能整除因为，所以n是258大于8的约数显然，n不能大于63符合条件的只有43【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

9、【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。【例 5】 (2002年小学生数学报数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本这种成语大词典的定价是_元【解析】 六名小学生共带钱133元133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以

10、他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1易知，这个钱数只能是37元，所以每本成语大词典的定价是 (元) 【巩固】 【解析】 两个顾客买的货物重量是的倍数，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克【例 6】 求的余数【解析】 因为，根据同余定理(三)， 的余数等于的余数，而，所以的余数为5【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数除以17的余数分别为2，7和11，【巩固】 求的最后两位数【解析】 即考虑除以100的余数由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余

11、24，那么除以25余1；又因为除以4余1，则除以4余1；即能被4 和25整除，而4与25互质，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余数即等于除以100的余数，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余数等于除以100的余数，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后两位数为63【巩固】 除以13所得余数是_.【解析】 我们发现222222整除13，20006余2，所以答案为2213余9。【巩固】 求除以7的余数【解析】 法一：由于 (143被7除余3)，所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而，（729除以7的余数为1）， 所以故除以7的余数

12、为5. 法二： 计算被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表： 于是余数以6为周期变化所以【巩固】 （2007年实验中学考题）除以7的余数是多少？【解析】 由于，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故除以7的余数是0；【巩固】 被除所得的余数是多少？【解析】 31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以被13除的余数与被13除的余数相同，余12，则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，

13、以6为周期循环出现，所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数，即4，故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是【巩固】 (2008年奥数网杯)已知，问：除以13所得的余数是多少？【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到； 根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍数而除以3余1，所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6.【巩固】 除以41的余数是多少？【解析】 找规律：，所以77777是41的倍数，而，所以可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数

14、为7【巩固】 除以10所得的余数为多少？【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的首先计算的个位数字，为的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是的个位数即0，另外5个数为、，它们和的个位数字是的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3【例 7】 求所有的质数P，使得与也是质数【解析】 如果，则，都是质数，所以5符合题意如果

15、P不等于5，那么P除以5的余数为1、2、3或者4，除以5的余数即等于、或者除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况如果除以5的余数为1，那么除以5的余数等于除以5的余数，为0，即此时被5整除，而大于5，所以此时不是质数；如果除以5的余数为4，同理可知不是质数，所以P不等于5，与至少有一个不是质数，所以只有满足条件因数89909192939495969798因数【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积因此原题中的可以改换为，这样上下两数的

16、乘积除以11余3就容易计算了我们得到下面的结果：因数89909192939495969798因数37195621048进而得到本题的答案是：因数89909192939495969798因数91958997939490989296【巩固】 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式 (其中)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的是多少？【解析】 由于， 于是，从而(用代入上式检验)(1)，对进行讨论：如果，那么(2)，又的个位数字是6，所以的个位数字为4，可能为、，其中只有符合(2)，经检验只有 符合题意如果，那么(3)，又的个位数字为2或7，

17、则可能为、，其中只有符合(3)，经检验，不合题意如果，那么(4)，则可能为、，其中没有符合(4)的如果，那么，因此这时不可能符合题意综上所述，是本题唯一的解【例 8】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为）既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0那么这个自然数是的约数，又是的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个

18、余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17【例 9】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍求等于多少？【解析】 根据题意，这三个数除以都有余数，则可