第五章测量平差系统可靠性理论1

1、第五章第五章 测量平差系统的可靠性理论测量平差系统的可靠性理论5.1 测量平差系统可靠性研究概述 一、可靠性研究的必要性 1. 测量平差模型误差包含系统误差、粗差和偶然误差。 2. 采用附加参数的平差方法消除系统误差系统误差对平差结果的影响。 3. 传统的粗差粗差发现方法（重复观测、几何图形限制约束、人工发现）工作量大，难免有遗漏。因此：在观测中粗差的位置和大小不确定，需要进行多余观测，来发现粗差，提高观测数据的可靠性。粗差可发现粗差可定位定位精度高但粗差不可发现粗 差 可 发 现但 不 可 定 位可靠性研究的内容可靠性研究的内容： 测量领域的可靠性定义：是指一个平差系统发现模型误差（粗差、系

2、统误差）的能力和不可发现粗差对平差系统的影响。 1. 从理论上研究平差系统发现模型误差的能力（内部可靠性）， 及不可发现、不可区分的模型误差对平差结果的影响（外部可靠性）。 2. 从实际上寻求平差过程自动发现和区分模型误差以及确定 模型误差位置的方法，开发数据处理与优化设计软件。 例：定位精度高但粗差不可发现粗 差 可 发 现但 不 可 定 位粗差可发现粗差可定位定位精度高但粗差不可发现粗 差 可 发 现但 不 可 定 位二、可靠性研究的发展概况 可靠性研究的基础：数理统计假设检验 1. 经典的假设检验为苇曼和皮尔逊1933年提出。 2. 荷兰Baarda教授从测量平差的范畴于19671968

3、年提出， 其可靠性理论从单个一维备选假设出发，研究平差系统发 现单个模型误差的能力和不可发现的模型误差对平差结果 的影响。 概念： 内部可靠性：平差系统发现模型误差的能力。 外部可靠性：不可发现的模型误差对平差结果的影响。 Baarda检验原理：从已知的单位权方差出发，导出了粗差 的数据检测法（Data Snooping）。3. 1983年，Frstner第一次提出模型误差的可区分性，从 两个一维备选假设出发，由检验量之间的相关系数来区分模 型误差。在单个粗差检测方面： Frstner, Koch 等导出了未知方差因子的t检验量。 Pope, Koch导出了检验量。在多个粗差检验方面： Frs

4、tner, Koch导出了F检验量。4. 19841986年间，李德仁院士的博士论文。 从高斯马尔科夫模型含两个多维备选假设出发，研究总体 相关和最大相关，并导出内部和外部可靠性理论，可发现与 可区分的模型误差的下界，及不可区分不可发现的模型误差 对平差的影响。 三、粗差定位的方法 1. Baarda的数据检测法 把粗差归入函数模型，利用数据检测法来发现和消除粗 差。 2. 把粗差归入平差随机模型，利用选择权函数法，在逐次 迭代平差中赋予含粗差观测值很小的权，来实现粗差的 自动剔除。 3. 应用情况 Baarda提出了单个模型误差的可靠性理论得到了广泛的 应用，由于多个模型误差的可靠性理论研究

5、的复杂性， 尚未得到广泛的应用。多个模型误差是适合于现实情况的多个模型误差是适合于现实情况的 5.2残差理论与可靠性矩阵一、观测误差对平差改正数的影响未被发现的粗差进行了平差，而这时平差结果却满足精度要求。例1：在6点相对定向时，假设4点的上下视差有100m的粗差(3-2-1a)，而平差后结果如图(3-2-1b).1)平差后最大残差不在4点；2)设观测值中误差为10m；用简单的 方法按v的绝对大于3倍中误差难以发现 该粗差。例例2 在摄影测量四角布设平面控制点的平面区域网平差中，图在摄影测量四角布设平面控制点的平面区域网平差中，图3-2-2 摄影比例尺：摄影比例尺：1：18000 成图比例尺：

6、成图比例尺： 1：10000 像幅：像幅：1818 摄影机主距：摄影机主距：115.28mm 区域大小：区域大小：41516假设：给定任一点假设：给定任一点10m的粗差的粗差结果：平差后在四点上差生的残差仅为结果：平差后在四点上差生的残差仅为0.1m结论：结论： 1）观测值粗差在平差改正数中的反应）观测值粗差在平差改正数中的反应总是小于（最多等于）原始的粗差；总是小于（最多等于）原始的粗差； 2）第）第i个粗差对所有改正数产生影响，个粗差对所有改正数产生影响，最大的影响不一定在本改正数上。最大的影响不一定在本改正数上。所以，所以，不能仅依据不能仅依据 和和 来判断粗差来判断粗差maxv3v 二

7、、观测值误差与改正数之间的关系二、观测值误差与改正数之间的关系 v 法方程式为v 改正数为v记：v ).,3 , 2 , 1(nili1 QPll20VBxlBxl 00LF (X )Lld 1T1TLLLL( NPE)( N)()LLLLVBBlBBQP lQQPlQQQVVLLLL1TTXXQNQLLBBBBvvVQ Pl TNXB Pl误差方程式：由（4-2-3a）知： 1） 改正数与观测值向量 L 有关。 2） 改正数与设计矩阵B，观测 权阵P有关，与设计图形和观测精度有关。残差与观测误差(真误差)的关系：由（4-2-3a）有： l()VVlllVQ P1112111221222212

8、nnnnnnnnrrrvvrrrvrrr()ngVRR 111212122212()nnvvnnnnrrrrrrQ PRrrr11221()nijiiinnjijrrrrV 1. 某一观测值改正数 与 的关系vil结论： 1）每个观测值改正数 受所有观测值误差的作用。 2）每个观测值误差 影响的大小取决于相应的系数：vil 图示:结论：任一观测值误差对所有改正数有影响，作用大小取决于 中第i行第 j列元素。vij0 , 0 , . . . , 0 , 0 , . . . , 0TiijjrViijjjrV2. 某一观测值误差 对所有改正数 的影响结论:观测值误差对自身改正数的影响大小取决于 3

9、. 某一观测值误差对自身改正数的影响 图示:iiiiirViir三、三、 矩阵的特性矩阵的特性1、 为幂等矩阵 即：幂等阵的特性幂等阵的特性：（1）特征值为0或1 。（2）幂等阵的秩等于其迹。（3）若A为幂等阵，则E-A亦为幂等阵。（4）幂等对称阵至少是半正定的（特征值为非负的）。（5）当幂等对称阵对角元素为0或1时，则该列的其他元素必为零。 2. 平差的多余观测数平差的多余观测数r等于等于 矩阵之迹（主对角元素之和）矩阵之迹（主对角元素之和） RPQllvv2RRRPANAQtrPQvvtrllTllll)(1PANAEtrllTn1PANAtrnllT13、 为降秩方阵为降秩方阵 因为幂等

10、阵的秩等于其迹，故 所以 的凯利逆是不存在的。 4、 的第的第i个对角线元素称之为第个对角线元素称之为第i个观测值的多余观测分量个观测值的多余观测分量 且意义：代表该观测值在总的多余观测数中所占的分量，对独立观测值平差，即 P 为对角矩阵，有： 当 ，则意为该观测值为必要观测； PQllvvnrtrrgPQPQllvvllvvPQllvvPQllvviillvviPQrhiirr110ri0ri当 ，则意为该观测值完全多余，即未参加平差，此时有： 由此式说明，多余观测分量代表观测差 反映在改正数 中的百分比。讨论：讨论：（1）、一般情况下，观测值误差只能部分反映在它的改正数中。（2）、当没有多

11、余观测（r=0）时，所有多余观测分量 均为零，意味着所有的观测值误差将全部作用到解算的未知数中，而所有的观测值改正数皆为零，r越近于0抗差能力越弱。 （3）、r=1,完全多余粗差全部反映在对应的观测值上，r越近于1说明该观测值的抗差能力越强。1ri*iiivrivi*ri5、 由由 矩阵计算改正数的中误差矩阵计算改正数的中误差当观测值为独立观测值时：PQllvv22222000()()()()iiivv iviviiiiLQQ PQ Q PQr Pili10四、粗差的估计四、粗差的估计v1. 粗差的估计v设 为第i个观测值的粗差估值 v由式v则其粗差估值为： 2. 粗差估值的精度。v由误差传播

12、定律有：v giiiivr*iigivrg iliir例：设：则：求得 研究说明：1. 若某观测值估求的粗差该法对大、中等粗差较为有效。2. 粗差估值的精度要低于观测值本身的精度，且取决于多余观测分量。01.0,1,1rviliicmcm110.01gicmm cmcmrillii1001. 01六、多余观测分量的计算方法六、多余观测分量的计算方法多余观测分量仅依赖于观测的几何图形（一级设计矩阵）和观测值的观测精度（权矩阵），可在观测实施前算出。1、计算方法 组成法方程系数矩阵 求逆阵 计算 TPBNBN11TvvllBQQN BiillvviPQr七、多余观测分量的值域七、多余观测分量的值域

13、独立观测值为0,1P64实例5-3 可靠性的统计检验方法（数据探测法）可靠性的统计检验方法（数据探测法）残差大的并不能说明粗差大。更为关心的问题： 1)、如何根据残差v来统计地判断平差系统中是否存在粗差； 2)、在一定的可靠性下，多大的粗差在平差中被发现。一、数据探测的简单推导（一、数据探测的简单推导（Baarda数据探测法）数据探测法）假设：（1）最多只存在一个粗差。（2）观测值的单位权方差已知且为 。（3）权矩阵为对角矩阵。构建变量： 为 第i个对角元素显然 为标准化残差。即： 服从标准正态分布，当观测值 不存在粗差时 200( )(0,1)iiiiiivvE vvNQviili0:()0

14、iE vHiiqVVQ结论：可对标准化残差 的统计检验来判断 是否存在粗差。方法：1. 给定一个显著水平 （通常令2. 由正态分布表得到检验的临界值 （ ）。3. 若 ，则接受零假设（认为该观测值为正常观测值）； 若 ，则认为该观测值可能含有粗差。 ili01.00k29. 3001. 0kkikii通常情况下方差未知例1：设 设则标准化残差为:或因此, 不含粗差 ,0 .1, 3 .0,1cmrcmviLii3kkrviLii383. 10 . 13 . 01ilcmrviLviii64. 133例2:设 则或则 舍弃,放弃H0假设*此两例说明了多余观测分量对检验量 的影响umrumviLi

15、i5,09.0,5ki333.3509.05umvivi5.43ili二、二、Baarda数据探测法的原假设和备选假设的另一种表示方法数据探测法的原假设和备选假设的另一种表示方法v构造检验量：构造检验量：v当当 含有粗差含有粗差 时，对改正数的影响为：时，对改正数的影响为：v对检验量产生的误差为：对检验量产生的误差为：v结果：使结果：使wi的分布函数产生相应的平移，称的分布函数产生相应的平移，称为非中心化参数为非中心化参数v讨论：讨论：* 几何条件愈弱（几何条件愈弱（ri 愈小），粗差对检验量愈小），粗差对检验量wi影响越小；影响越小；v * 观测值的中误差观测值的中误差 愈大，粗差对检验量愈

16、大，粗差对检验量wi的影响越小的影响越小iiggiililiivrrviiiiliiviiiqvrvvw0 ig il iigiigVr liBaarda数据探测法的原假设和备选假设的另一种表示方法数据探测法的原假设和备选假设的另一种表示方法H0（原假设）：观测值无粗差，检验量wi的期望为： （备选假设）：观测值li含有粗差 ，它导致 则wi的密度函数产生大小为 的位移，期望为：00HwEi1aHgi()iwiE wwi1()iw iE wH 如果 ，接受原假设，即观测值Li不含粗差；Kwi通常情况下，先验方差未知，此时，可用通常情况下，先验方差未知，此时，可用t检验代替检验代替假设检验的抉择

17、可能性假设检验的抉择可能性v统计检验有统计检验有四种四种不同抉择的可能性：不同抉择的可能性：v原因：原因：由于改正数和标准化残差同时受粗差和偶然误差的影响。v第第错误：错误：尽管原假设成立，但由于 而错误地将H0拒绝 ，v 其弃真概率为0 v第第类错误：类错误：尽管 成立，即存在粗差，但 而错误地放弃 ，v 其纳伪概率为：p 检验 结果客观 实际 接受原假设H0拒绝原假设H0H0成立; H1不成立H0不成立; H1成立正确抉择置信水平为 1-0第类错误其概率为 p第类错误其概率为0正确抉择检验功效为1-p KwiiwK iwK 0H Kwi 0H 1一个观测值至少必须出现多大的粗差一个观测值至

18、少必须出现多大的粗差 ，才能以所给定的检验功效，才能以所给定的检验功效0 在显著性在显著性水平水平0的检验中被发现的检验中被发现v即，在给定的0和 0的条件下，能发现的最小粗差 v方法：方法：v步骤步骤1）根据给定的0和 0，由标准正态分布表查0；v 2）由式v求与之对应的可发现的最小粗差：v v可见：可见：v下界值 与观测值的中误差 、平差系统的几何条件ri、检验参数有关 0ggi giiilir 00gliir0g li5.4平差系统的可靠性度量指标平差系统的可靠性度量指标K、之间的关系之间的关系v1）第一类错误的概率检验临界值：K值愈大值愈小；v2）检验功效和非中心化参数关系：K一定时，愈大，检验功效1-愈大，同时，第类误差的概率愈小；v3）检验功效1-与的关系：当一定时， 愈大，检验功效1-愈大。1- 345650%84%97.7%99.9%50%16%2.3%0.1%K1-0.1%0.3%1%5%3.293.002.561.9676%84%93%98%和和的关系（的关系（K=3)和和的关系（的关系（=4）讨论：讨论：va） 下界值 0一般不等于检验的临界值K(如右表)；vb) 观测