有穷无穷递增递减数列知识点+练习题

1、数列的分类（1）按项数分：可以分为有穷数列和无穷数列，即如果项数是有限的那么就是有穷数列， 如果项数是无限的那么就是无穷数列：（2）（ 2）按增减分： 可以分为递增数列和递减数列， 即如果数列的项是随着项数的增加而 增加的就是递增数列，如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列；（3）（ 3）按项的特点分： 可以分为摇摆数列和常数列， 即如果数列的项是在某个或某几个 数之间来回摇摆就是摇摆数列，如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数 列。有穷数列的定义：项数有限的数列叫做有穷数列；无穷数列的定义：项数无限的数列叫做无穷数列；递增数列的定义：一般地，一个数列 an，如果从第 2

2、 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。递减数列的定义：如果从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。单调数列：递增数列和递减数列通称为单调数列 .数列的单调性 :1.对单调数列的理解 :数列是特殊的函数 ,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性 .有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定 ;2.单调数列的判定方法 :已知数列 an的通项公式， 要讨论这个数列的单调性， 即比较 an与 an+1 的大小关系，可以作差比较；也可以作商比较，前提条件是数列各项为正。摆动数列的定义：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小

3、于它的前一项的数列叫做摆动数列。巧用 (-1)n求摆动数列的通项：在数列中，我们经常会碰到求形如： 1，-1,1，-1，或 -1,1，-1,1 ，等数列的通项，很 显然， 我们只要利用 (-1)n进行符号的调整， 就能很快求出数列的通项公式， 我们在其它摇摆 数列中也可以巧妙地利用 (-1)n 求出通项公式。例题 1.有穷数列 1，23，26，29， 23n+6的项数是()A3n+7B 3n+6C n+3D n+2答案： C例题 2.已知an是递增的数列，且对于任意 nN* ，都有 an=n2+n 成立，求实数的取值 范围解： an是递增的数列，an an+1对任意的 nN* 恒成立，即 n2

4、+ n(n+1)2+ (n+1)，解得 -2n-1 ，-2n-1 -3， -3例题 3.共有 10 项的数列 an的通项 an=，则该数列中最大项、最小项的情况是()A. 最大项为 a1，最小项为 a10B. 最大项为 a10，最小项为 a1C. 最大项为 a6，最小项为 a5D. 最大项为 a4，最小项为 a3答案： D例题 4* .在单调递增数列 an中，a1=2，不等式 （n+1）anna2n对任意 nN* 都成立， （）求 a2 的取值范围；（）判断数列 an能否为等比数列说明理由；，求证：对任意的 nN* ，（）设（ ）解：因为 an是单调递增数列，所以，令 n=1，所以 。（）证明

5、：数列 an不能为等比数列。用反证法证明：假设数列 an是公比为 q 的等比数列，因为 an单调递增，所以 q1，因为 n N*，（n+1）anna2n都成立，因为 q 1，所以，使得当时，所以 n N*，因为（n N*），所以，当时， ，与矛盾，故假设不成立。猜想：用数学归纳法证明：）证明：观察：1）当 n=1 时， 成立；2）假设当 n=k 时，成立；当 n=k+1 时，所以，根据（ 1）（ 2）可知，对任意 n N* ，都有，即由已知得所以所以当 n2 时，因为所以对任意 nN* ，对任意 nN* ，存在 mN* ，使得因为数列 an 单调递增，所以，因为所以 。例题 5.已知下列数列：

6、(1) 2 000，2 004，2 008，2 012；(2) 0，；(3) 1，(4)1，；(5)1，0， -1， sin (6)3，3，3，3，3，3其中，有穷数列是( )，无穷数列是( )，递增数列是( )，递减数列是( )，常数 列是( )，摆动数列是( )，周期数列是( )。(将合理的序号填在横线上)答案： (1)(6)；(2)(3)(4)(5) ；(1)(2)；(3)；(6)；(4)(5)；(5)例题 6.下列叙述中正确的个数为( )数列 an， an=2 是常数列；数列 是摆动数列；数列是递增数列若数列 an是递增数列，则数列 an an+1也是递增数列；A1B2C3D4答案：

7、C例题 7.已知 Sk表示数列 ak的前 k 项和，且 Sk+Sk+1=ak+1（kN* ），那么此数列是（）A递增数列B递减数列C常数列a1=mD摆动数列例题 8.设 Sn 为数列 an的前 n 项和（ n=1，2，3，）。按如下方式定义数列an：（m N* ），对任意 kN* ， k 1，设 ak为满足 0akk-1的整数，且 k 整除 Sk，（）当 m=9 时，试给出 an的前 6 项；（）证明： kN* ，有；（）证明：对任意的 m ，数列 an 必从某项起成为常数列。解：（ ）m=9 时，数列为 9，1，2， 0，3，3，3， 3，即前六项为 9， 1， 2，0，3， 3。）k N

8、有 Sk N ，k由（）可得为定值且单调不增，数列必将从某项起变为常数，不妨设从 l 项起 为常数，则所以所以 an当 n l+1 时成为常数列。例题 9*.数列 an满足： an+1=3an-3an2，n=1，2，3，。）若数列 an为常数列，求 a1 的值；）若 a1，求证：）在（）的条件下，求证：数列a2n单调递减。 ）解：因为数列 为常数列，所以，由 n 的任意性知， 或。）证明：用数学归纳法证明假设当 n=k（ k1）时，因为从而因为所以，即，即当 n=1 时，符合上式；所以，当 n=k+1 时，成立，。由，知，）证明：因为n2），所以只要证明由（）知，所以只要证明，因为 ，所以，即成立，故 ，所以数列单调递减。即证明令所以函数 f（x）在 R 上单调递增；例题 10*.已知 An（an，bn）（nN*）是曲线 y=ex上的点， a1=a，Sn是数列 an的前 n 项和， 且满足：，n=2，3，4，）证明数列是常数数列；因为）确定 a 的取值集合 M，使 a M 时，数列 an是单调递增数列； ）证明当 aM 时，弦 AnAn+1（ n N* ）的斜率随 n 单调递增。解：（）当n 2 时，由已知得， 由 -得， 于是 ， 由 -得， 所以（n2）是常数列。（）由有 ，由有 ， 而表明：数列 分别是以 a2、 a3为首项， 6 为公差的等差