10--第十章排列、组合、二项式定理和概率、统计

1、十年高考分类解析与应试策略数学第十章 排列、组合、二项式定理和概率、统计考点阐释本章从内容到方法都是比较独特的，是进一步学习概率论的基础知识其中分类计数原理和分步计数原理是本章的基础，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识 在对应用题的考查中，经常要运用分类计数原理或分步计数原 理对问题进行分类或分步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键从两个原理上，完成一件事的“分类”和“分步”是有区别的，因此在应用上，要注意 将两个原理区分开排列、组合也是本章的两个主要概念定义中从n个不同元素中，任取 M （M 1）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数

2、为.2 1 532. （ 2001上海理，8）在代数式（4x - 2x 5） （1 + -）的展开式中，常数项为 .x33. （2001全国文，13） （ -x+ 1） 10的二项展开式中x3的系数为234. （2001上海春）在大小相同的 6个球中，2个红球，4个白球若从中任意选取3个,则所选的3个球中至少有1个红球的概率是 .（结果用分数表示）35. （2001广东河南，13）已知甲、乙两组各有 8人，现从每组抽取 4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能（用数字作答）.36. （2001江西、山西、天津理）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红

3、球个数的数学期望是 .（用数字作答）37. （ 2001上海文）利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是.自然状况-企利方秦 概事、AiA.3AaS0,255070-20986 30S52&53820.45261&78-1038. （2000上海春，4）若（ x +a） 5的展开式中的第四项是10a2 （a为大于零的常数）贝 y x=.39. （2000上海春，10）有n （n N*）件不同的产品排成一排，若其中 A、B两件产品排在一起的不同排法有 48种，则n=.40. （2000京皖春理，17） （Jx 丄）10展开式中的常数项是 .Vx41. （2000全国文、理，3）乒乓球队的1

4、0名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）42. （ 2000年上海，9）在二项式（X 1） 11的展开式中，系数最小的项的系数为 （结果用数值表示）43. （2000上海，10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3;现任取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 .44. （2000两省一市理，13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出 2件，其中次品数以E的概率分布是012P45. （1999全国，16）

5、在一块并排10垄的田地中，选择 2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄为有利于作物生长， 要求A、B两种作物的间隔不小于 6垄，则不同的选 垄方法共有种（用数字作答）.325546. （1999上海理，3 ）在（x + -） 展开式中，x项的系数为 .x47. （1999上海理，11）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，一 _ 2 2 则点P落在圆x +y =16内的概率是.48. （1998全国理，17） （x+2） 10 （x2 1）的展开式中x10的系数为 （用数字作答）x149. （1998上海，9）设n是一个自然数，（1+）的展开式中x3的系数为 ，则n=.n

6、16a x950. （1997全国，16）已知（一 -i 一）9的展开式中x3的系数为一，常数a的值为.x 2451. （1997上海，11）若（3x+1）（n N ）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x2的系数是.52. （1997上海，16）从集合 0、1、2、3、5、7、11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得经过坐标原点的直线有 条（结果用数值表示）.53. （1996全国，17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个（用数字作答）.54. （1996上海，17）有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书 3本

7、，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有种（结果用数字表示）.55. （1996上海理，14）在（1+x） 6 （ 1 x） 4的展开式中，x3的系数是 （结果用数值表示）.n n32*56. （1995 上海，13）若（x+1）= x + , + ax + bx + , + 1（n N）,且 a : b = 3 : 1,那么n=.57. （1995上海，19）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取 5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有 种.（结果用数值表示）.58. （1995全国，20）四个不同小球放入编号为1、2、3、4

8、的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）59. （1994全国，16）在（3-x）的展开式中，x5的系数是 （用数字作答）三、解答题60. （2002天津文20，理19）某单位6个员工借助互联网开展工作， 每个员工上网的概 率都是0.5 （相互独立）.（I）求至少3人同时上网的概率;（n）至少几人同时上网的概率小于0.3 ?61. （2001 江西、山西、天津）如图 101,用 a、b、c（恥）一rAnrrc三类不同的元件连接成两个系统N1, N2.当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件 B、g）_口一一尸匚卜 C至少有一个正常工作时，系统N2正常工

9、作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0. 80、0. 90、0. 90.分别求系统图10 1N1、N2正常工作的概率 P1、P2.62. （2001上海理）对任意一个非零复数z, mz= 3=z2n-1, n NM a .若在M a中任取两个（1）设a是方程X+ 1 = . 2的一个根，试用列举法表示集合X数，求其和为零的概率（2）设复数3 63. （2001 全国理，20）P.Mz，求证：M 已知i,二 Mz.m, n是正整数，且 1 v i 17）甲、乙二人参加普法知识竞答,共有 10个不同的64. （2000江西、山西、天津理，题目，其中选择题 6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽

10、一题（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？m x，（x 1）：八，（x m +1） 一，口 士“65. （2000上海，22）规定C x,其中x R, m是正整数,m!且C x =1，这是组合数 C n （ n、m是正整数，且 mW n的一种推广）.（1）（文）求c3上的值；（理）求C5的值；3Cx（2）（文）设x 0，当x为何值时， r 取最小值？（Cx）（理，文2）组合数的两个性质：mn -mmm -1m Cn =6 . 5 +5 = C n * 是否都能推广到 c： （x R, m是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并

11、给出证明；若不能，则说明理由（3）（理）已知组合数 C：是正整数，证明：当 x Z, m是正整数时， C： Z.66. （1996全国文24,理23）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在 增加22%，人均粮食占有量比现在提高 10%，如果人口年增长率为 1%，那么耕地平均每年 至多只能减少多少公顷（精确到 1公顷）？答案解析1. 答案：A解析：这是一个插空问题，应分两类：第一类，新增的两个节目连在一起；第二类，两个新增节目不连在一起，而原来的5个节目可看做分出6个空位.第一类则有2X A6种不同2的插法，第二类则有 A 6种不同的插法应用分类计数原理，共有12+30=42种不

12、同的插法评述：该题是应用问题，内容贴近学生，有一定的综合性、灵活性、考查分析，解决问 题及逻辑思维的能力同时应有周密的思维习惯2. 答案：D解析：见第1题.3. 答案：B解析:翻译因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有13A 4种，再从余下的5人中选3人从事导游、导购、保洁有A 513种因此 A4A 5 =240.4. 答案：B解析：A 4 =360.5. 答案：D11解析：二项式（一+X3） n展开式的通项为 Tr+1=C：（）_r（x3）r=C：xrn x3r=C：x4_nXx当展开式中有常数项时，有4 n=0,即存在n、r使方程有解.当展开式中有x

13、的一次项时，有4r n=1,即存在n、r使方程有解. 即分别存在n,使展开式有常数项和一次项.6. 答案：C解析：二项式（1 +x2） 6展开式的通项为：xr z 16 j z 2、rr 3r -6Tr+1=C6( ) (x )= CXx当 Tr+1 为 x3 项时，r=3 , Tr+1=C； x3=20 x32当 Tr+1 为常数项时，r=2 , Tr+1 = C6 =157. 答案：B解析：联想以空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面 构造，即C6 C；;也可从反面入手剔除 8个角上3个相邻平面，即：c3 -c；.8. 答案：B解析：先把5本书中的两本捆起来（Cl

14、 ），再分成四份（A 4 ）,分法种数为C2 -A 4 =240（种）.9. 答案：A解析：先分配4个人到第一个路口， 再分配4个人到第二个路口， 最后分配4个人到第444三个路口，即：C12 C8 C4.10.答案：DA 2n1nnn-11解析：原式=:A 2nA n -1(n 1)(n1)n +1nA2 n2nAnA n 12n：2(2n2)(2 n 1)2(2n 1)42A n 1n 1nn.C 2n1. I J -limjcn 142n 211答案：A解析：设该队胜 x场，平y场，则负(15 x y)场，由题意得 3x+y=33 , y=33 3x0 x200x(x 1)/、 20,

15、x ( x- 1 ) 40, x 72至少应为7种素菜.31. 答案：2n (n- 1)解析：先在圆上找一点，2n个点因为是等分点， 所以过圆心的直径应有 n,减去过这点 的直径，剩下的直径n-1个都可以与这个点形成直角三角形， 一个点可以形成 n- 1个直 角三角形，这样的点有 2n个.一共为2n (n-1).32.答案：15解析：-0 55C511 0(2)(4x214)C51 (11-)-5 20 =15xx33.答案：15解析：C3 1 33110 98 110 ()-C10X =152868434. 答案:51 2 2 1解析：所选3球中至少有一个红球的选法有C2 C4C2 C4 =

16、16（种）从6个球中任选3个球的选法有C 6 =20 （种）.故概率p=H / .205评述：本题主要考查对可能事件的概率计算，以及考生分析问题解决问题的能力古典概率是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练地掌握排列组合的基本知识35. 答案：4900解析：完成这件事可分为两步：第一步：从甲组8人中抽取4个，有C；种方法；4第二步：从乙组8人中抽取4人，有C8种方法.因此，比赛人员的组成共有44C8 C8 =4900 种可能.评述：本题考查分步计数原理、组合的概念以及组合数的运算，考查分析问题、 解决问题的能力.36. 答案：1.2解析：设其中含红球个数为x,则x=1或x=2.而含

17、一个红球的概率A1C510含两个红球的概率为31063含红球个数的数学期望为1X +2 X =1.21010评述：本题考查数学期望的概念、概率的概念及它们的计算解析：A1的数学期望:37. 答案：A3A2的数学期望：E X2 =0.25 X 70+0.30 X 26+0.45 X 16=32.52A3的数学期望：E =0.25 X( - 20) +0.30 X 52+0.45 X 78=45.7A4的数学期望：E =0.25 X 98+0.30 X 82+0.45 X( - 10) =44.6Ex =0.25 X 50+0.30 X 65+0.45 X 26=43.7x1评述：本题考查概率与数

18、学期望，考查学生识表的能力对图表的识别能力，是近年高考突出考查的热点图表语言与其数学语言的相互转换，应成为数学学习的一个重点，应引 起高度重视 138. 答案：一a1i解析：T T4 = C5 (x2) 一 a 10 a x，二 x=.a39. 答案：5解析：由 2A n t = 48,得 A：； = 24,T A： = 24,. n= 5.40. 答案：2101130 _5r解析：Tr+1= C；0 (x2)10- ( _x)r =C；o (-1)r，令 30 - 5r=0，得 r=6.二常数项 T7 = c6。 (- 1) 6= 210.41. 答案：252解析：a3c2a 2 = 252

19、.42. 答案：462解法一：因为在(x 1) 11的展开式中，各项的二项式系数与系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项c51x6 ( 1) 5第七项c61 x5 ( 1)6,所以得系数最小的项的系数为-C； = -462 解法二：展开式中第r+1项为。浪11(-1)，要使项的系数最小，则r为奇数，且使C； 为最大，由此得r=5，所以项的最小系数为 。；(-1)5 - -462 143. 答案：143解析：从9面旗帜中任取3面，共有C9 (种)取法.现取3面，颜色与号码均不相同共有 C3 C： C1=6 (种)因此，所求概率为6 613C9841444. 答案:

20、0120, 90250. O&50, M2S解析：设次品数为E,则E (2, 0.05),其中p=0.05为次品率，贝U q=0.95为正品率, 于是由二项分布公式(列成表格)：0129k* * *P( A k)q即得所求结果45. 答案：12解析：先考虑A种植在左边的情况，有三类：A种植在最左边一垄上时，B有三种不同的种植方法；A种植在左边第二垄上时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄上时，B只有一种种植方法.又B在左边种植的情况与 A时的相同，故共有 2X( 3 + 2 + 1)= 12种不同的选垄方法.评述：本题主要考查两个基本原理、分类讨论思想，对分析解决问题的能力有较高要求4

21、6. 答案：40解析：由通项公式 Tr+i = C； (X3) 5 r (电)r=C5 2r X15 5rX由题意，令 15 5r=5.得r=2.含x5项的系数为C： 22=40.47. 答案：29解析：掷两次骰子分别得到的总数m、n作为P点的坐标共有A e A 6 =36 (种)可能结果，其中落在圆内的点有 8 个：(1 , 1)、(2, 2)、(1, 2)、(2, 1 )、(1, 3)、( 3, 1)、( 2,3)、(3, 2),则所求的概率为8 2369评述：本题考查点与圆的位置关系，概率概念等基础知识以及运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力.48. 答案：179解析：展

22、开式中x10的系数与(x+2) 10的展开式中x10的系数和x8的系数有关，由多项 式运算法则知所求系数为C00 ( 1)+ C：0 22 1 = 179.评述：本题考查在逻辑思维能力上的要求，兼考查分类讨论的思想49. 答案：4x11解析：Tr +1 = C n ( )r，令r=3得x3的系数C3;，解得n=4.nn 1650. 答案：4rrrXr -99 -rr r9 -r解析：Tr+1= C9(1) (一)2( )=(一1) C 9 2 2 ax22 xr=9当 r _9 = 3，即 r=8 时，（-1）8C； 2 1 1 a ，解得 a=4.24评述：本题考查二项式定理的基础知识，重点

23、考查通项公式和项的系数的概念，兼考运算能力51. 答案：54解析：令x=1得展开式各项系数之和 4n= 256解得n=4,所以x2的系数是C： 32= 54.52. 答案：30A、B 有 A解析：因过原点的直线常数项为0知c=0,从集合中任取两个非零元素作系数 种，所以适合条件的直线有 A 6 = 30条.53. 答案：32解析：7个点任取3点的组合数C； = 35,其中三点在一线上不能组成三角形的有3个,故组成三角形的个数为35 - 3 = 32个.评述：本题是有限制条件的组合应用题，背景采用几何图形，对逻辑思维能力要求较高易出现不排除不构成三角形的情况的错误54. 答案：14405解析：将

24、数学书与外文书分别捆在一起与其他3本书一起排，有 A 5 = 120种排法，再 将3本数学书之间交换有 A 若1号盒空，3号盒放2个球，4号盒和2号盒各放一个球时仍有 CqCzC! = 12种放法. = 6种，2本外文书之间交换有 A 2 = 2种，故共有A ：A ；A 2 = 1440种排法.55. 答案：822422 4312解析：原式=(1 + X)(1 x ) =( 1 + 2x+ x ) (1 x)含 x 的项为 2x C4 ( x)解析：n3n _22a=CnCn,b=CnC n，=8x3，故x3的系数为一8.56.答案：11C：由已知有C：31n(1)(n2) 2 亠“11 .6

25、n(n -1)57.答案：350解析：选法是原装取2台组装取3台，原装取3台组装取2台故不同的选取法有2332一C6C5C6C5 = 350 种.58. 答案：144解法一：考虑用分配的数学模型来解.2 11若1号盒空，2号盒放2个球，3号盒和4号盒各放一个球有 C4C2C,= 12种放法.若1号盒空，4号盒放2个球，2号盒和3号盒各放一个球同样有 C4C；C； = 12种放法.即1号盒空共有3 X 12 = 36种放法.同理2号盒空有36种放法，3号盒空有36种放法，4号盒空有36种放法.故按题中要求恰有一个空盒的放法共有4 X 36= 144种放法.解法二：先将4个球分成3组每组至少1个，

26、分法有6种然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组则恰有一个空盒的放法种数为6A 3 = 144种.评述：本题是一道排列组合综合题，运用先分组，后排列的方法较好59. 答案： 189解析：Tr ： = C；(3)7( -x)r ,所以 r=5, x5 的系数为 C： 32 ( 1) 5= 189.评述：本题考查二项式定理，重点考查通项公式，兼考计算能力60. 解：(I)至少3人同时上网的概率等于 1减去至多2人同时上网的概率，即0 6 1 6 2 61 -C6(0.5)-C6(0.5)-C6(0.5)642132(n)至少4人同时上网的概率为至少5人同时上网的概率为:110.332C；(0

27、.5)67C6)(0.5)0.3.64 C6(0.5)6 C；(0.5)65(C60.3.因此，至少5人同时上网的概率小于61.解：分别记元件 A、B、C正常工作为事件 A、P (A)= 0. 80, P (B)= 0. 90, P ( C)= 0.C,由已知条件90.(I) 因为事件 A、B、C是相互独立的，系统 N1正常工作的概率P 1 = P (A B C)= P ( A) P ( B) P (C)= 0. 80X 0. 90X 0. 90= 0. 648. 故系统N1正常工作的概率为 0. 648 .(n)系统 N2正常工作的概率P2 二 P( A) 1 - P(B C) = P(A)

28、 1 - P(B) P(C)./ P ( B )= 1 P ( B)= 1 0. 90= 0. 10.P ( C )= 1 P (C)= 1 0. 90= 0. 10. P2 = 0. 80X 1 0. 10X 0. 10= 0. 80X 0 . 99= 0 . 792. 故系统N2正常工作的概率为 0 . 792.1 l丿27 262.解：(1)解方程x+2得x=ix222n 1co = a 1U)2由in的周期性知:有四个值.n=1时,n=2时,n=3时,n=4时,n=1时,n=2时,门一3时,门一4时,不管22i-1+-1, 2- -.i 22、2i还是22i22丄2 -i22.22.i

29、2122n-12一(。2 ) a 22、22.i212、2、2 .i2I2r . 22i2222+i2242 V2a22iino 一i(-i)i丘.72. J2J2.M a =i,i，- - i,i 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1P= _ _ 厂C463(2)v 3 Mz,贝U 3 =z2m1, m N2n 1任取 x M3,贝U x=3，n N而 3 =z. x= ( z ) =z( 2m- 1) (2n 1)为正奇数.x Mz . M 3 - Mz评述：复数的运算是复数的基础，本题考查复数的奇数次幕，由于in的周期性，因而a 2n- 1只有四个值，题目以集合的形式给出复数3，使复

30、数与集合有机的结合在一起，不仅考查复数还考查集合的表示方法而证明一个集合是另一个集合的子集在对集合的考查上又高了一个层次证明尽管不繁，但思维层次较高63.证明：(1)方法m (m 1) ： (m - i T)imA n n (n _ 1)(n - i T)iinn对于 mvn，. k = 1，2，,，亠 n k m k i-1有nmAA：；i 即 m A n n A mnm方法二一i典i一：n A n = n nn m (m 1) ( m 2) ,(m i+1)n个=mn-(mn n) (mn 2n) , mn n (i 1)同理 mi A = mn (mn m) (mn 2m) , mn m

31、 (i 1 门/ 1 v i w mv n，.mnn v mn m，mn2nvmn 2m，,，mnn (i 1) v mn m (i 1)联系、可得n iAnmA v miAin.(2) 由二项式定理：(1 m)n 二 C0m0 Jm1 -C：mm00,11,.mm(1 n) -CmnCmnSni2 2 2 2Cnm C mn3333C nm C mnm mm mCn m CmnP00001111乂 C nm 二 Cm n ,Cnm 二 Cm n( 1 + m) n( 1 + n) m评述：此题体现了命题指导思想上有加强离散数学分量的趋势164解：(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有C6个,

32、乙从判断题中抽到一题的可能结果有c4个，故甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有1 1C6 C4个；又甲、乙依次抽1 1题的可能结果有C10C9个，所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为：11C 6 C 411C 10 C 92449015(2)甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为:11C 4 C 311C 10 C 9故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为:1 1C 4 C 31- 11 1C10 C912901315或用以下解法:1 1 1 1C 6 C 5. C 6 C 41 1 1 1C 10C 9 C 10C 911C 4 C 61110 C 94+15134+=1515评述：本题

33、主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力65. (1)(文)解:(一15)(一16)(一17)= -680 .3!5(理)解：C 45(-15)(一16) ： 39 =11628 5!(2)(文)解:3Cx1 2(Cx)x(x -1)(x -2)26x12(x 3).6x当且仅当x= ,2时，等号成立LC3当x= 2时，于取得最小值（理，文3）解：性质不能推广例如当x=.、2时，C1有定义，但无意义;、2v 2性质能推广，它的推广形式是mm 1mCx C x C x ., x R, m是正整数，事实上当 m=1 时，有 c： C： =x T.1 ,当m2时，jj x (x -1)(x - m 1)x (x1)(x - m 2)