控制系统数学描述方法

1、HEILONGJIANG UNIVERSITY 1 本章主要内容本章主要内容 引言引言 2-1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程 2-2 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 2-3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 2-4 传递函数传递函数 2-5 动态结构图动态结构图 2-6 一般反馈控制系统一般反馈控制系统 小结小结 HEILONGJIANG UNIVERSITY 2 引言引言 数学模型数学模型 描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系 统或元件的数学模型统或元件的数学模型 建模建模 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它

2、们深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们 的数学模型称建模的数学模型称建模 HEILONGJIANG UNIVERSITY 3 一、建立控制系统数学模型的方法一、建立控制系统数学模型的方法 n解析法解析法对系统各部分的运动机理进行分对系统各部分的运动机理进行分 析，物理规律、化学规律。析，物理规律、化学规律。 n实验法实验法人为施加某种测试信号，记录基人为施加某种测试信号，记录基 本输出响应。本输出响应。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 4 二、常用数学模型二、常用数学模型 n设定常系统设定常系统 输入输入/ /输出（输出（I/OI/O）模型：用系统的输入、输）模型：用系统

3、的输入、输 出信号或其变换式所表示的数学模型。出信号或其变换式所表示的数学模型。 当当I/OI/O为：时域信号为：时域信号 、 微分方程微分方程 复数域信号复数域信号 、 传递函数传递函数 频域信号频域信号 、 频域特性频域特性 )(tR)(tC )(sR)(sC )(jR)(jC HEILONGJIANG UNIVERSITY 5 控制系统的运动规律，一般是以时间控制系统的运动规律，一般是以时间t为自为自 变量，采用线性常系数微分方程来描述的：变量，采用线性常系数微分方程来描述的： 2-1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程 线性定常系统线性定常系统 ( )(1)(1) 110 ( )(

4、)( )( ) nn n ytayta yta y t ()(1)(1) 110 ( )( )( )( ), mm mm b utbutbutb u t nm 满足上述方程的系统称为线性定常系统。满足上述方程的系统称为线性定常系统。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 6 线性定常系统满足以下性质：线性定常系统满足以下性质： n 线性线性可加性可加性 n 参数参数定常定常性性 x(t)=ax1(t)+bx2(t) y(t)=ay1(t)+ by2(t) 系统的参数或者说元件的参数均为常数。系统的参数或者说元件的参数均为常数。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 7 2-

5、1-1 电学系统电学系统 n电路分析中的基本元件：电阻电路分析中的基本元件：电阻R、电容、电容C、 电感电感L，它们的，它们的V-I关系遵循广义欧姆定律关系遵循广义欧姆定律: n电阻：电阻： n电容：电容： n电感：电感： 1 ( )( ) cc utit dt C ( ) ( ) L L dit utL dt n 遵循元件约束和网络约束。遵循元件约束和网络约束。 ( )( ) RR utR it n 电网络的基本约束为电网络的基本约束为基尔霍夫定律基尔霍夫定律。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 8 2-1-2 力学系统力学系统 n古典力学系统的运动定律是古典力学系统的运动定律

6、是牛顿定律牛顿定律： n平移运动：平移运动： i Fma 2-1-3 复合系统复合系统 n 几种不同类型的物理系统，在符合传输关系几种不同类型的物理系统，在符合传输关系 的条件下，以不同方式连接构成的系统。的条件下，以不同方式连接构成的系统。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 9 建立系统微分方程的一般方法建立系统微分方程的一般方法 1、确定系统的输入确定系统的输入 和输出和输出 ； )(tx )(ty 2、将系统划分为若干环节，从输入端开将系统划分为若干环节，从输入端开 始，按信号传递的顺序，依据各变量始，按信号传递的顺序，依据各变量 所遵循的物理学定律，所遵循的物理学定律，列

7、写各环节的列写各环节的 输出输出/输入关系；输入关系； 3、消去中间变量消去中间变量，写出仅包含输入、输，写出仅包含输入、输 出变量的微分方程式。出变量的微分方程式。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 10 2-1-1 2-1-1 电学系统电学系统 例例2-12-1 如图如图2-22-2所示，写出所示，写出ui为输入，为输入，uo为输出的微分方为输出的微分方 程。程。 解：由回路电压定律解：由回路电压定律 因为电容电流因为电容电流( )i t ( ) o du t RC dt 有有 令令 T=RC ( ) o du t T dt 有有 ooi Tuuu即即 图图2-22-2 (

8、) R ut ( ) e u t ( ) i u t R ( ) C ut ( ) i u t ( )i t( ) C ut ( ) i u t ( ) , C dut C dt ( ) o u t( ) C ut ( ) o u t ( ) i u t ( ) o u t ( ) i u t HEILONGJIANG UNIVERSITY 11 例例2-2 2-2 如图如图2-32-3所示，写出所示，写出ui为输入，为输入，uo为输出的微分方为输出的微分方 程。程。 解：对解：对L1有有 1R u 对对L2有有 1R u 2R u 1C u 图图2-32-3 2R u 1C u i u 2C

9、 u 1C u 11 Ri 22 Ri 2C u 12 1 1 ()ii dt C 2 2 1 o i dtu C 1 i 2 i 12 ii 1 L 2 L HEILONGJIANG UNIVERSITY 12 2 00 11221122120 2 () i d udu R C R CR CR CR Cuu dtdt 111222312 ,TR CTR CTR C设时间常数设时间常数 2 00 121230 2 () i d udu T TTTTuu dtdt 12012300 () i T T uTTTuuu HEILONGJIANG UNIVERSITY 13 解：由加速度定律解：由加速

10、度定律 ma F k Fkx 弹性阻力弹性阻力 f dx Ff dt 粘滞阻力粘滞阻力 2 2 i d xdx mkxfF dtdt 2 2 i d xdx mfkxF dtdt 2-1-2 2-1-2 力学系统力学系统 例例2-3 2-3 如图如图2-42-4所示，写出所示，写出Fi为输入，为输入，x为输出的微分方为输出的微分方 程。程。 图图2-42-4 F 2 2 d x m dt k F f F i F HEILONGJIANG UNIVERSITY 14 2-2 非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化 n非线性系统的线性化非线性系统的线性化 对于数学上满足基本条件对于数学上满足

11、基本条件(连续、可导连续、可导)的非线性的非线性 系统，确定其在工作点邻域的线性关系，称为非系统，确定其在工作点邻域的线性关系，称为非 线性系统的线性化。线性系统的线性化。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 15 n非线性系统线性化的步骤：非线性系统线性化的步骤： n首先确定系统输入首先确定系统输入-输出之间的函数输出之间的函数 。 n在工作点在工作点 邻域将邻域将 展开为泰勒级数展开为泰勒级数 )(xfy )(ty 0 x 2 00 00 0 )( ! 2 1 )()()(xxxfxxxfxfxfy p16p16 HEILONGJIANG UNIVERSITY 16 增量增量

12、较小时略去其高次幂项，则有较小时略去其高次幂项，则有 令令 则线性化方程为则线性化方程为 y=kxy=kx 式中式中 是比例系数，是函数在是比例系数，是函数在x x0 0点切线的点切线的 斜率。斜率。 0 xxx )()()( 00 00 xxxfxfxfyy 0 yyy )( 0 xx )( 0 xfK HEILONGJIANG UNIVERSITY 17 2-3 拉普拉斯变换及其应用拉普拉斯变换及其应用 2-3-1 拉氏变换定义拉氏变换定义 已知时域函数已知时域函数 f(t) ，如果满足相应的收敛条件如果满足相应的收敛条件 则则 f(t) 的拉氏变换存在，其表达式记作的拉氏变换存在，其表达

13、式记作 dtetftfLsF st 0 )()()( P19P19 HEILONGJIANG UNIVERSITY 18 2-3-2 常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换 HEILONGJIANG UNIVERSITY 19 2-3-3 拉氏变换的基本定理拉氏变换的基本定理 1212 ( )( )( )( )L f tf tF sF s n 卷积定理卷积定理 0 lim( )lim( ) ts f tsF s n 终值定理终值定理 0 lim( )lim( ) ts f tsF s n 初值定理初值定理 1 ( )(0) ( ) F sf Lf t dt ss n 积分定理积分定理 ( )(

14、)(0)L f tsF sf n 微分定理微分定理 ( )() at L e f tF sa n 衰减定理衰减定理 s ()e( )L f tF s n 延迟定理延迟定理 1212 ( )( )( )( )L af tbf taL f tbL f t n 线性定理线性定理 HEILONGJIANG UNIVERSITY 20 2-3-4 拉氏反变换拉氏反变换 在控制理论中，常遇到的象函数在控制理论中，常遇到的象函数F(s)形形 式如下式如下 1 011 1 11 ( ) ( )() ( ) mm mm nn nn b sbsbsbB s F smn A ssa sasa 12 ( )( ) (

15、 ) ( )()()() n B sB s F s A sssssss 式中，式中，s1,s2,.sn称为称为A(s)=0的根，或的根，或F(s)的极点，它的极点，它 们可以是实数或共轭复数。们可以是实数或共轭复数。 将将F(s)分母分母A(s)进行进行因式分解，可写成因式分解，可写成 HEILONGJIANG UNIVERSITY 21 应用部分分式法进行拉氏反变换：应用部分分式法进行拉氏反变换： n分母分母A(s)全部为单根全部为单根 12 12 ( ) n n CCC F s ssssss 其中其中 为复变函为复变函 数数F(s)对于极点对于极点s=si的留数。则拉氏反变换为的留数。则拉

16、氏反变换为 ( )()|,1,2, i iis s CF s ssin 1 ( ) i n s t i i f tC e F(s)可以分解为：可以分解为： HEILONGJIANG UNIVERSITY 22 11 12 ( ) ( ) 23 f tLF sL ss 例例2-10 求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。 解解 2 1 ( ) 56 s F s ss 2 1 ( ) 56 s F s ss 1 C 2 C 因此因此 1 (2)(3) s ss 1 2 C s 2 3 C s 2 ( )(2)sF s s 2 1 | 3 s s s 1 3 ( )(3)sF s s 3 1 | 2 s

17、 s s 2 2t e2 3t e HEILONGJIANG UNIVERSITY 23 分母分母A(s)有重根有重根 F(s)有重极点，假若有重极点，假若F(s)有有m重极点重极点s2，简单极，简单极 点点s1，那么，那么， 2(1) 212221 12 12222 ( ) ()()() m m mm C CCCC F s ssssssssss 2 2 2 22 2(1)2 (1) 212 (1) ( )() ( )() 1 ( )() (1)! m ms s m ms s m m s s m CF s ss d CF s ss ds d CF s ss mds 其中其中 12221 2 1

18、22 ( ) () CCC F s ssssss 2 2 2 222 2 212 ( )() ( )() s s s s CF s ss d CF s ss ds HEILONGJIANG UNIVERSITY 24 因为因为 2 11 2 11 ()(1)! s tm m Lte ssm 12 11 2 1 ( ) ( ) (1)! s ts tm m C f tLF sC ete m 222 2(1)2 2221 (2)! ms ts ts tm C teC teC e m 所以，拉氏反变换为所以，拉氏反变换为 2 1 2 2 1 () s t Lte ss HEILONGJIANG UN

19、IVERSITY 25 例例2-11 求求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。 解解 2 2 ( ) (3)(1) s F s s ss ( )F s 1 C 32 C 系数系数C32, C31对应二重根对应二重根 1 C s 2 (3) C s 3231 2 (1)(1) CC ss 2 C 1 2 0 2 (3)(1) s s s s ss 2 3 1 2 3 2 (3) (3)(1) s s s s ss 1 12 31 C 1 2 2 1 2 (1) (3)(1) s s s s ss 1 2 1 2 2 1 2 (1) (3)(1) s s s s ss 3 4 HEILONGJIANG

20、UNIVERSITY 26 于是，于是，F(s)分解为分解为 2 2 1111131 ( )()()() 312 (3)24 (1)(1) F s ssss ( )f t 拉氏反变换为：拉氏反变换为： 2 1( ) 3 t -3 1 12 t e - 1 2 t te - 3 4 t e HEILONGJIANG UNIVERSITY 27 2-3-5 拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程 n用拉普拉斯变换用拉普拉斯变换求解线性微分方程求解线性微分方程，可将，可将 经典数学中的经典数学中的微分运算微分运算转化为转化为代数运算代数运算， 又能够单独地表明初始条件的影响，并有又能够单独地表

21、明初始条件的影响，并有 变换表可供查找，因而是一种较为简便的变换表可供查找，因而是一种较为简便的 工程数学方法。工程数学方法。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 28 拉氏变换法求解微分方程的步骤：拉氏变换法求解微分方程的步骤： 1、方程两边作拉氏变换；、方程两边作拉氏变换； 2、将给定的初始条件与输入信号代入方程；、将给定的初始条件与输入信号代入方程； 2、写出输出量的拉氏变换；、写出输出量的拉氏变换； 3、作拉氏反变换求出系统输出的时间解。、作拉氏反变换求出系统输出的时间解。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 29 例例2-13 RC滤波网络如图，输入电压滤波网

22、络如图，输入电压ui(t)=5V， 电容的初始电压电容的初始电压uc(0)分别为分别为0V和和1V，求，求uc(t)。 解解 RC滤波网络的微分方程为滤波网络的微分方程为： ( ) ( )( ) C Ci dut RCutu t dt RC 将将R，C， 代入代入 5 ( ) i Us s 0.1(0)5 ( ) (0.11) C C us Us ss 方程两边拉氏变换方程两边拉氏变换 ( )(0) CC sUsu( ) C Us( ) i Us HEILONGJIANG UNIVERSITY 30 5 ( ) (0.11) C Us ss (0)0 C uV(1) ( ) C ut 0.15

23、 ( ) (0.11) C s Us ss (0)1 C uV (2) ( ) C ut 0.1(0)5 ( ) (0.11) C C us Us ss 55 (10)ss 5 1( ) t 10 5 t e 5 s 4 (10)s 5 1( ) t 10 4 t e HEILONGJIANG UNIVERSITY 31 例例2-14 已知微分方程为已知微分方程为 输入信号输入信号 ，初始条件为，初始条件为 求系统的输出求系统的输出 。 解解 方程两边拉氏变换方程两边拉氏变换 ( )2 ( )2 ( )( )y ty ty tu t ( )( )u tt(0)0,(0)0y y ( )y t

24、2 ( )(0)(0)s Y ssyy 2 1 ( ) 22 Y s ss ( )sin t y tet 反变换反变换 代入初始值代入初始值 2 2 1( )(0)sY sy( )Y s HEILONGJIANG UNIVERSITY 32 2-4-1 传递函数的定义传递函数的定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出信号的系统输出信号的拉氏变换拉氏变换与输入信号的与输入信号的拉氏变换拉氏变换之比。之比。 ( ) X( ) Y s s 零初始条件 输出信号的拉氏变换 传递函数 输入信号的拉氏变换 p32 2-4 传递函数传递函数 H

25、EILONGJIANG UNIVERSITY 33 n式中式中y(t) 为输出变量，为输出变量，u(t) 为输入变量；为输入变量；ai和和bj 是是与与 系统结构和参数有关系统结构和参数有关的常系数。的常系数。 n设设y(t)和和u(t)及其各阶系数在及其各阶系数在t=0时的值均为零，即时的值均为零，即 零初始条件零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令并令Y(s)=Ly(t)， U(s)Lu(t)，可得，可得s的代的代 数方程为：数方程为： 设描述线性定常系统的微分方程为设描述线性定常系统的微分方程为 p42 ( )(1)(1) 110 nn n yay

26、a ya y ()(1)(1) 110 , mm mm b ububub unm HEILONGJIANG UNIVERSITY 34 于是，由定义得系统传递函数为于是，由定义得系统传递函数为： 1 110 1 110 ( ) ( ) ( ) mm mm nn n b sbsbsbY s G s U ssasa sa 1 110 () ( ) nn n sasa sa Y s 1 110 () ( ) mm mm b sbsbsb U s HEILONGJIANG UNIVERSITY 35 2-4-2 传递函数的性质传递函数的性质 1、传递函数只适用于线性定常系统。传递函数只适用于线性定常系

27、统。 2、传递函数是在零初始条件之下定义的。传递函数是在零初始条件之下定义的。 3、传递函数可以是有量纲的。传递函数可以是有量纲的。 4、传递函数表示的关系：传递函数只表示了系统传递函数表示的关系：传递函数只表示了系统 的端口关系，不明显表示系统内部部件的信息。的端口关系，不明显表示系统内部部件的信息。 n 同一个物理系统，由于描述不同的端口关同一个物理系统，由于描述不同的端口关 系，其传递函数可能不同。系，其传递函数可能不同。 n 不同的物理系统，其传递函数可能相同。不同的物理系统，其传递函数可能相同。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 36 5 5、传递函数是描述线性定常系统

28、的参数模型。、传递函数是描述线性定常系统的参数模型。 物理可实现系统：物理可实现系统： ;nmn1 n 系统的零点或极点或为实数或为共轭复数。系统的零点或极点或为实数或为共轭复数。 6、传递函数的信息关系。、传递函数的信息关系。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 37 2-4-3 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 1、复数阻抗、复数阻抗 R R i R u 电阻 C i C u 电容 C L i L u 电感 L ( )( ) RR utR it 1 ( )( ) CC utit dt C ( )( ) LL utLit ( )( ) RR UsR Is ( ) ( ) (

29、) R R R Us Zs Is R 1 ( )( ) CC UsIs Cs ( ) ( ) ( ) C C C Us Zs Is 1 Cs ( )( ) LC UsLsIs ( ) ( ) ( ) L L L Us Zs Is Ls HEILONGJIANG UNIVERSITY 38 例例2-18 RCL网络如图，用复数阻抗法求该网络网络如图，用复数阻抗法求该网络 的传递函数。的传递函数。 ( ) ( ) o i Us U s ( ) ( ) o i Us U s 2 ( )1 ( ) ( )1 o i Us G s U sLCsRCs 代入各复数阻抗得代入各复数阻抗得 解：由复数阻抗法可

30、以写出分压公式为：解：由复数阻抗法可以写出分压公式为： ( ) ( )( )( ) C RLC Zs ZsZsZs 1 Cs 1 1RLsCs HEILONGJIANG UNIVERSITY 39 2、典型环节、典型环节 n任何一个复杂的系统，总是由若干典型环节组合而成。任何一个复杂的系统，总是由若干典型环节组合而成。 熟悉这些环节的传递函数，对于了解与研究系统会带来熟悉这些环节的传递函数，对于了解与研究系统会带来 很大的方便。典型环节有很大的方便。典型环节有比例环节比例环节、惯性环节惯性环节、微分环微分环 节节、积分环节积分环节、振荡环节振荡环节和和延时环节延时环节等。下面分别介绍等。下面分

31、别介绍 这些环节的传递函数及其推导。这些环节的传递函数及其推导。 教材教材36页页 HEILONGJIANG UNIVERSITY 40 （1）比例环节）比例环节 具有比例关系的元件称为比例环节。具有比例关系的元件称为比例环节。 K( ) i Us 0 ( )Us 0 ( )( ) i utK ut 运算关系为：运算关系为： 0 ( ) ( ) ( ) i Us G sK Us 传递函数：传递函数： K为环节的增益或放大系数。为环节的增益或放大系数。 方框图为：方框图为： HEILONGJIANG UNIVERSITY 41 （2）积分环节）积分环节 凡具有积分运算关系的环节称为积分环节。凡具

32、有积分运算关系的环节称为积分环节。 ( ) i Us 0 ( )Us 1 Ts 方框图为：方框图为： 0 1 ( )( ) i u tu t dt T 运算关系为：运算关系为： 0 ( )1 ( ) ( ) i Us G s TsUs 传递函数为：传递函数为： 式中式中T为积分环节的时间常数。为积分环节的时间常数。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 42 特点：特点：输出量为输入量对时间输出量为输入量对时间 的累积，输出幅值呈线性增长，的累积，输出幅值呈线性增长， 如图所示积分环节输入输出关如图所示积分环节输入输出关 系。对阶跃输入，输出要在系。对阶跃输入，输出要在t= T时才能

33、等于输入，故有滞后时才能等于输入，故有滞后 作用。作用。 ( )1( ) i u tt 1 ( ) i U s s ( ) o Us 1 ( )(0) o u ttt T 0 图5.14 ( ) i u t ( ) o ut ( ) o ut ( ) i u t 1 Ts 1 s 2 1 Ts 例：例： HEILONGJIANG UNIVERSITY 43 （3）微分环节）微分环节 凡具有微分运算关系的环节称为微分环节。凡具有微分运算关系的环节称为微分环节。 ( ) i Us 0 ( )Us s 式中，式中， 为微分环节的时间常数。为微分环节的时间常数。 方框图为：方框图为： 0 d( ) (

34、 ) d i u t u t t 运算关系为：运算关系为： 0 ( ) ( ) ( ) i Us G ss Us 传递函数为：传递函数为： HEILONGJIANG UNIVERSITY 44 （4）一阶惯性环节）一阶惯性环节 0 0 ( ) ( )( ) i du t Tu tu t dt 运算关系为：运算关系为： 0 ( )1 ( ) 1( ) i Us G s TsUs 传递函数为：传递函数为： 式中，式中，T为惯性环节时间常数。为惯性环节时间常数。 惯性环节一般包含一个储能元件和一个耗能元件。对惯性环节一般包含一个储能元件和一个耗能元件。对 于突变形式的输入来说，输出不能立即复现，输出

35、总于突变形式的输入来说，输出不能立即复现，输出总 落后于输入。落后于输入。 ( ) i Us 0 ( )Us s 1 1Ts 方框图为：方框图为： 2 HEILONGJIANG UNIVERSITY 45 例：例：求如图所示低通滤波器的传递函数。求如图所示低通滤波器的传递函数。ui(t)为输为输 入电压，入电压，u0(t)为输出电压，为输出电压，R为电阻，为电阻，C为电容。为电容。 解：解： 式中式中T=RC为惯性环节的时间常数。为惯性环节的时间常数。 本系统之所以成为惯性环节，是由于含有容性本系统之所以成为惯性环节，是由于含有容性 储能元件储能元件C和阻性耗能元件和阻性耗能元件R。 0( )

36、 11 ( ) ( )11 i UssC G s U sRsCRCs HEILONGJIANG UNIVERSITY 46 （5）二阶振荡环节）二阶振荡环节 2 200 0 2 d( )d( ) 2( )( ) dd i u tu t TTu tu t tt 运算关系为：运算关系为： 22 1 ( ) 21 G s T sTs 传递函数为：传递函数为： T为为振荡环节的时间常数，振荡环节的时间常数， 为阻尼比。为阻尼比。 ( ) i Us 0 ( )Us 1 Ts 22 1 21T sTs 方框图为：方框图为： HEILONGJIANG UNIVERSITY 47 例：例： 如图所示为电感如图

37、所示为电感L、电容、电容C及电阻及电阻R的串、并联的串、并联 电路，电路，ui为输入电压，为输入电压，u0为输出电压。求其传递函为输出电压。求其传递函 数。数。 令令 ， ，有，有 0 1 ( )1 ( ) 1 ( ) 1 i UsRCs G s U s Ls RCs 2 1 1 L LCss R TLC 1 2 L RC 22 1 ( ) 21 G s T sT s HEILONGJIANG UNIVERSITY 48 （6）延迟环节）延迟环节 式中，式中， 为延迟时间。为延迟时间。 0( ) () i u tu t运算关系为：运算关系为： 0( ) ( ) ( ) s i Us G se

38、U s 传递函数为：传递函数为： ( ) i Us 0 ( )Us s s e 方框图为：方框图为： HEILONGJIANG UNIVERSITY 49 2-5 动态结构图动态结构图 n结构图结构图是一种网络拓扑约束下有向线图。是一种网络拓扑约束下有向线图。 它清楚地表明了系统的组成和信号的传递它清楚地表明了系统的组成和信号的传递 方向，并且清楚地表示出系统信号传递过方向，并且清楚地表示出系统信号传递过 程中的数学关系。所以结构图也程中的数学关系。所以结构图也也是一种也是一种 数学模型数学模型，而且是一种将控制系统图形化，而且是一种将控制系统图形化 了的数学模型。了的数学模型。 HEILON

39、GJIANG UNIVERSITY 50 框框方方 G ( s) R( s)C( s) 信信号号线线 （2）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的 流向，在直线旁标记信号的拉氏函数。流向，在直线旁标记信号的拉氏函数。 结构图元素结构图元素 （1）函数方框：表示输入到输出单向传输间的传）函数方框：表示输入到输出单向传输间的传 递函数关系。递函数关系。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 51 （3）相加点）相加点(综合点或比较点综合点或比较点)：两个或两个以上的：两个或两个以上的 输入信号进行加减运算。输入信号进行加减运算。 “+”表示相加，表

40、示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不号可省略不 写。写。 注意：进行相加减的量，注意：进行相加减的量， 必须具有相同的量刚。必须具有相同的量刚。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 52 （4）分支点）分支点(引出点引出点)：表示同一信号向不同：表示同一信号向不同 方向的传递。方向的传递。 注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 53 2-5-1 结构图的建立结构图的建立 例例2-25 HEILONGJIANG UNIVERSITY 54 2-5-2 结构图化简结构图化简

41、 常用的结构图变换有两种方法：常用的结构图变换有两种方法：一是一是环节的环节的 （三种）（三种）合并合并，二是二是信号相加点和分支点的信号相加点和分支点的（两个（两个 移动移动。 对于错综复杂的结构图，为便于求系统的总对于错综复杂的结构图，为便于求系统的总 的传递函数，就得利用一些基本规则对系统的结的传递函数，就得利用一些基本规则对系统的结 构图进行变换。构图进行变换。 结构图变换必须遵守结构图变换必须遵守一个原则：一个原则：等效等效，即变，即变 换前、后有关部分的输入量、输出量之间的关系换前、后有关部分的输入量、输出量之间的关系 保持不变。保持不变。 HEILONGJIANG UNIVERS

42、ITY 55 （1 1）串联连接）串联连接 123 ( ) ( )( )( )( ) ( ) Y s G s G s G sG s X s 结论：串联环节的等效传递函数等于所结论：串联环节的等效传递函数等于所 有传递函数的乘积。有传递函数的乘积。 R R( (s s) )C C( (s s) ) （a a） )( 1 sU)( 2 sU )( 1 sG)( 2 sG)( 3 sG X(s) Y(s) R R( (s s) ) G G( (s s) ) C C( (s s) ) （b b） X(s) Y(s) HEILONGJIANG UNIVERSITY 56 （2 2）并联连接）并联连接 1

43、23 ( ) ( )( )( )( ) ( ) Y s G sG sG sG s X s 结论：并联环节的等效传递函数等于结论：并联环节的等效传递函数等于 所有并联环节传递函数的代数和。所有并联环节传递函数的代数和。 （a a） R R( (s s) ) C C( (s s) )( 2 sG )( 1 sG )( 3 sG )( 2 sC )( 1 sC )( 3 sC X(s) Y(s) G G( (s s) ) （b b） R R( (s s) ) C C( (s s) ) X(s)Y(s) HEILONGJIANG UNIVERSITY 57 （3 3）反馈连接）反馈连接 结论：反馈环节

44、的等效传递函数等于结论：反馈环节的等效传递函数等于 该环节的闭环传递函数。该环节的闭环传递函数。 （a a） C C( (s s) )R R( (s s) ) G(s) H(s) E E( (s s) ) B B( (s s) ) X(s) Y(s) （b b） R R( (s s) ) C C( (s s) ) X(s) Y(s) HEILONGJIANG UNIVERSITY 58 - - 1 1 R 2 1 R sC 1 1 sC 2 1 ) (sU c) (sU r - - - sC 2 1 1 R 2 1 R sC 1 1 sC 2 1 ) (sU c) (sU r 1 1 RsC

45、1 1 2 1 R sC 2 1 ) (sU r ) (sU c HEILONGJIANG UNIVERSITY 59 （4）相加点和分支点的移动）相加点和分支点的移动 有关移动中，有关移动中，“前前”、“后后”的定义：的定义： 按信号流向定义，也即信号从按信号流向定义，也即信号从“前面前面”流向流向 “后面后面”，而不是位置上的前后。，而不是位置上的前后。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 60 n相加点前移相加点前移 HEILONGJIANG UNIVERSITY 61 n分支点前移分支点前移 HEILONGJIANG UNIVERSITY 62 例例2-26 HEILONG

46、JIANG UNIVERSITY 63 HEILONGJIANG UNIVERSITY 64 HEILONGJIANG UNIVERSITY 65 其中其中T1=R1C1, T2=R2C2 ， ， T3=R1C2 。 。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 66 总结总结 方块图的简化：方块图的简化： 一一个原则个原则等效原则等效原则 二二个转移个转移相加点和分支点相加点和分支点 三三种合并种合并串联、并联、反馈串联、并联、反馈 HEILONGJIANG UNIVERSITY 67 2-6 一般反馈控制系统一般反馈控制系统 2-6-1 一般系统一般系统 ( )G s ( )H s

47、C(s)系统的输出信号系统的输出信号 R(s)系统的输入信号系统的输入信号 G(s)称为前向通道传递函数，即称为前向通道传递函数，即 H(s)称为反馈通道传递函数，即称为反馈通道传递函数，即 ( ) ( ) C s E s ( ) ( ) B s C s HEILONGJIANG UNIVERSITY 68 1单位反馈控制系统单位反馈控制系统 HEILONGJIANG UNIVERSITY 69 反馈信号反馈信号B(s)与偏差与偏差E(s)之比定义为系统的开环之比定义为系统的开环 传递函数，即传递函数，即 2、开环传递函数、开环传递函数 ( ) open Gs B(S) ( ) ( ) B s

48、 E s ( )( )G s H s 前向通路传递函数 反馈回路传递函数 HEILONGJIANG UNIVERSITY 70 3、闭环传递函数、闭环传递函数 系统系统输出输出C(s)与系统输入与系统输入R(s)之比，定义为系之比，定义为系 统的闭环传递函数统的闭环传递函数Gclose(s)，即即 ( ) close Gs B(S) ( ) ( ) C s R s ( )( ) 1( ) ( ) G s H s H s G s 1 前向通路传递函数 开环传递函数 HEILONGJIANG UNIVERSITY 71 4、系统的输出、系统的输出 C(s)=Gclose(s)R(s) 5、时域误差

49、与变换域误差、时域误差与变换域误差 时域误差：时域误差：e(t)=r(t)-c(t); 变换域误差：变换域误差：E(s)=R(s)-C(s) B(S) HEILONGJIANG UNIVERSITY 72 系统误差系统误差E(s)与系统输入与系统输入R(s)之比，定义为系统之比，定义为系统 的误差传递函数的误差传递函数GE(s)，即，即 6、误差传递函数误差传递函数GE(s) ( )( )( )( )1 ( )11( ) ( )( )( )1( )( ) Eclose E sR sC sC s GsGs R sR sR sG s H s ( ) ( )( ) ( ) 1( )( ) E R s

50、 E sGs R s G s H s B(S) HEILONGJIANG UNIVERSITY 73 2-6-2 一般控制作用一般控制作用 1控制系统的一般控制方式控制系统的一般控制方式 HEILONGJIANG UNIVERSITY 74 2自动控制中的基本控制作用：自动控制中的基本控制作用： （1）比例控制）比例控制P控制器控制器 ( ) i Us 0 ( )UsK方框图：方框图： ( )( ) oi UsK Us运算关系：运算关系： ( )G sK传递函数：传递函数： 单位阶跃响应：单位阶跃响应： HEILONGJIANG UNIVERSITY 75 （2）积分控制）积分控制I控制器控制

51、器 传递函数：传递函数： 1 ( )G s Ts ( ) i Us 0( ) Us 1 Ts 方框图：方框图： 1 ( )( ) oi u tu t dt T 运算关系：运算关系： 单位阶跃响应：单位阶跃响应： HEILONGJIANG UNIVERSITY 76 （3）比例积分控制）比例积分控制PI控制器控制器 ( ) i Us 0( ) Us 1 Ts K 方框图：方框图： 1 ( )(1)G sK Ts 传递函数：传递函数： 单位阶跃响应：单位阶跃响应： HEILONGJIANG UNIVERSITY 77 （4）微分控制）微分控制D控制器控制器 ( ) i Us 0( ) Us s 方

52、框图：方框图： ( )( ) oi utut 运算关系：运算关系： ( )G ss传递函数：传递函数： 单位阶跃响应：单位阶跃响应： HEILONGJIANG UNIVERSITY 78 （5）比例微分控制）比例微分控制PD控制器控制器 ( ) i Us 0( ) Us s K 方框图：方框图： ( )(1)G sKs传递函数：传递函数： 单位阶跃响应：单位阶跃响应： HEILONGJIANG UNIVERSITY 79 （6）比例积分微分控制）比例积分微分控制PID控制器控制器 ( ) i Us 0 ( )Us 1 Ts K s 方框图：方框图： 1 ( )(1)G sKs Ts 传递函数：

53、传递函数： 单位阶跃响应：单位阶跃响应： HEILONGJIANG UNIVERSITY 80 小结小结 n掌握线性定常系统系统的微分方程描述掌握线性定常系统系统的微分方程描述 n掌握拉氏变换的基本定理、拉氏反变换掌握拉氏变换的基本定理、拉氏反变换 n掌握典型环节传递函数掌握典型环节传递函数 n掌握结构图的化简和基本传递函数掌握结构图的化简和基本传递函数 HEILONGJIANG UNIVERSITY 81 解析法建立系统数学模型的步骤：解析法建立系统数学模型的步骤： n1、建立、建立物理模型物理模型。 n2、列写原始方程。利用适当的物理定律、列写原始方程。利用适当的物理定律 如牛顿定律、基尔

54、霍夫电流和电压定律等）如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律等） n3、选定系统的输入量、输出量，消去中间、选定系统的输入量、输出量，消去中间 变量，建立适当的输入输出模型。变量，建立适当的输入输出模型。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 82 实验法基于系统辨识的建模方法实验法基于系统辨识的建模方法 黑黑 匣匣 子子 输输入入（已已知知） 输输出出（已已知知） n已知知识和辨识目的已知知识和辨识目的 n实验设计实验设计-选择实验条件选择实验条件 n模型阶次模型阶次-适合于应用的适当的阶次适合于应用的适当的阶次 n参数估计参数估计-最小二乘法最小二乘法 n模型验证模型验证将实际输出与

55、模型的计算输出进行比较，将实际输出与模型的计算输出进行比较， 系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近 HEILONGJIANG UNIVERSITY 83 物理模型物理模型 n任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它 作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。 简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。 n简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精 确要求，来确定出合理

56、的物理模型。确要求，来确定出合理的物理模型。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 84 牛顿定律牛顿定律 n牛顿第一定律牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态， 直到外力迫使它改变这种状态为止。直到外力迫使它改变这种状态为止。 n牛顿第二定律牛顿第二定律 运动的变化和作用力成正比并且发生在力的方运动的变化和作用力成正比并且发生在力的方 向上。向上。 n牛顿第三定律牛顿第三定律 作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、 作用在同一条直线上。作用在同一条直线上。 HEILONGJIANG

57、UNIVERSITY 85 基尔霍夫电流、电压定律基尔霍夫电流、电压定律 n基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律(KCL) 对于电路中的任何一个节点而言，在任一瞬时，对于电路中的任何一个节点而言，在任一瞬时， 流过此节点的电流代数和恒等于零。流过此节点的电流代数和恒等于零。 n基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律(KVL) 在电路的任何一个回路中，任一瞬时，沿着任在电路的任何一个回路中，任一瞬时，沿着任 意选定的回路参考方向计算，各支路电压的代意选定的回路参考方向计算，各支路电压的代 数和恒等于零。数和恒等于零。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 86 最小二乘法法最小二乘法法 n最小二

58、乘法最小二乘法是一种数学优化技术，它通过是一种数学优化技术，它通过 最小化误差的平方和找到一组数据的最佳最小化误差的平方和找到一组数据的最佳 函数匹配。函数匹配。 HEILONGJIANG UNIVERSITY 87 n求如图所示求如图所示RC网络的网络的 系统传递函数系统传递函数 方法二：方法二： 1、同方法一第、同方法一第1步；步； 2、对每个物理方程进行拉、对每个物理方程进行拉 氏变换；氏变换； 3、绘制系统结构图；、绘制系统结构图； 4、结构图化简得到系统传、结构图化简得到系统传 递函数。递函数。 方法一：方法一： 应用复数阻抗列写代数应用复数阻抗列写代数 方程；方程； 1、根据物理定律列写物理、根据物理定律列写物理 方程；方程； 2、消去中间变量得到微分、消去中间变量得到微分 方程；方程； 3、对微分方程两端进行拉、对微分方程两端进行拉 氏变换；氏变换； 4、得到传递函数、得到传递函数 R R( (s s) ) G G( (s s) ) C C( (s s) ) （b b） X(s) Y(s) R R( (s s) )C C( (s s) ) （a a） )( 1 sU)( 2 sU )( 1 sG)( 2 sG)( 3 sG X(s) Y(s) 123 ( ) ( )( )( )( ) ( ) Y s G s G s G sG s X s