案例用向量证明平面几何中的定理

1、高中数学教学案例沈阳市二十四中学高一数学组 孙咏霞2006 年 5 月 10 日用向量证明平面几何中的定理背景在向量整章知识学习完以后， 学生对于向量能解决平面几何与立 体几何中的计算问题已有了一定的了解， 而且学生对于用向量来证明 几何中的垂直和平行问题很感兴趣， 有一部分同学对于几何中的证明 在独立地或互相讨论地进行探索。 为了帮助学生改变原有的单纯接受 式的学习方式， 在开展有效的接受学习的同时， 形成一种对知识进行 主动探求的积极的学习方式， 所以在向量的复习课上让学生通过自主 探索和小组合作的研究性学习方式， 来用向量的知识解决平面几何中 的定理证明。同时为了教学的方便， 对原有的课

2、堂模式进行重新安排， 全班分为八组，自由结合，每组学生围坐在一起，而且借助实物投影 仪进行全班展示。以提高效率。案例一上课就让学生看高二数学第一学期教材第 63 页例题 4：“在三 角形 ABC 中，已知 D , E分别是边 AB 与 AC 上的中点，求证： DE BC，且DE 21 BC ”和习题册第 29 页第 4 题：“用向量的方法证明菱 形的对角线互相垂直” ，向学生说明不但能运用向量的知识解决立体 几何中的证明和计算等问题， 而且还能运用向量的知识解决平面几何 中一些定理的证明。 然后让每位学生独立地选择一个自己比较熟悉或 感兴趣的平面几何中的定理， 然后运用向量的知识进行证明。 只

3、见学是用生都在思考，心急的已经在动笔了，过了一会儿，周同学问： 向量的运算还是用向量的坐标运算来证明？” 周围一片笑声。 孙同学 说：“只要能证明，管它用什么？”朱同学说： “那应该还有哪种方法 更简单吧。”周同学恍然大悟：“我明白了，只要选择运算简单的就可 以了。”这时一女同学举手， 悄悄地问：“我想证明平行四边形的性质， 但不知如何建立平面直角坐标系？”我也悄悄地对她说： “先想想是 否该用向量的坐标来解题。 ”几分钟以后，有同学举手说已经完成， 更多的同学还在埋头写着， 于是我让已经做好的同学思考是否可以用另一种做法来证明， 于是又 是一片寂静。等到大部分学生已经完成自己的证明后，我说：

4、 “现在 以自己的小组为单位， 展示一下自己的成果， 展示结束以后每组评选 出本组的最佳成果，要求视野独特，证明过程正确而简洁，完成后对 我说一声。”于是每个小组都自己开始展示起来，我来到了其中的一 个小组，由于我的到来，结果学生都要抢着第一个展示，我决定按学 号进行，于是第一个学生开始展示起来， 到了最后一个展示结束， 学生让我讲哪一个最好，我说： “这是你们小组的内部事务，你们自 己决定，我到其他组看看。 ”这是正好有其他小组举手，他们已经选 出了一个证明：“平行四边形的对边相等” ，因为初中学的时候没有证 明，而是通过图形翻折观察所得， 所以现在用向量的坐标的运算证明 来认识其的正确性，

5、 我肯定了他们的想法， 然后让他们再讨论证明是 否合理完整。 其他各组也陆续产生了自己认为比较好的成果。 我发现 “平行四边形的对边相等” 有两个不同的证明方法， 于是让他们把证明过程放在实物投影仪上， 然后一个一个展示， 展示以后其他各组同 学可以提问或发表自己的想法。第一个同学也许因为是第一个展示，所以显得比较得意，他说： 以前初中此定理没有证明过， 老师是通过把一个平行四边形翻折让我 们观察所得， 所以我选择了用向量的坐标运算来证明。 请大家看屏幕 上的图形，以点 A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标 系，设 B( a , 0 ) , D( b , c ) ，则AD

6、= b , c , AB = a , 0 ，AD BC ，BC = m AD = mb , mc ，C( a+mb , mc ) AB DC ，DC = n AB = na , 0 ，C( b+na , c )a mb mc cb nam = 1 , n = 1 ， BC= AD,DC= AB ， 即 BC = AD , DC = AB平行四边形的对边相等。其他组的一位同学迫不及待地问到： “为什么不是直接得出点 C的坐标为( b+a , c )? ”。那位展示的同学不慌不忙地回答： “如果直接 得出点 C 的坐标，其实已经知道对边相等了。 我们的这种证法关键就 在于利用平行来得到点 C 的坐

7、标。”其他同学有的在思考，有的表示 肯定地点点头。这时第二位同学走上台去，把自己的成果放在了实物投影仪上， 落落大方地说： 我们是用向量的运算来证明的， 因为我们已经知道平 行四边形的对角线互相垂直， 所以如图， 由平行四边形的对角线互相 平 分 和 相 等 向 量 的 定 义 可 得 ： AO =OC BO=OD ， 而AD = AO+OD BC = BO + OC ，BC = AD ，同理 DC = AB ，即 BC = AD , DC = AB ，平行四边形的对边相等。比起上一种证法要简单多了。这时一位女同学大胆地站起来说： “其实不用向量来做也可以， 而且比较简单，只要用三角形全等就可

8、以了。 ”而另一位同学也说： “平行四边形的对角线互相平分本来就是用对边相等来证明的， 这是 循环论证。我认为还是第一种证法比较好。 ”大家在下面纷纷讨论了 起来。这时我决定放弃原来的展示其它成果的设想， 而把这一学生发 现的问题放手让学生讨论， 以他们的能力来解决这一问题。 于是我说： “各小组讨论一下这两种证法，比较两者的优劣。 ”于是大家更热烈 地讨论起来，一会儿朱同学说： “用向量来证明平面几何中的定理应 在平面几何的体系中进行， 所以我们认为第一种证法有说服力， 而第 二种证法需借助平行四边形的对角线互相平分，不太合理。 ”黄同学 有点激动地说：“既然是用向量来证明平面几何中的定理，

9、当然可以 借助平行四边形的对角线互相平分这一定理， 更何况第一种证明也借 助于平行四边形的定义。 ”而孙同学认为：“第一种证法也可以不用向 量，而用三角形的全等。 ”数学课代表陆晔说：“我认为这不是主要的 问题。其实我们是在探索一种方法， 即用一种知识去解决另一种知识， 所以我认为两种证法都不错， 因为分别采用了向量中的两种不同的方 法。”其他同学纷纷附和，一场纠纷在同学们立意比较高的状态下结 束了。于是我让每组同学根据上述的展示归纳出用向量的方法来证明 平面几何中的定理的方法， 然后让其中一组的同学来表述， 一位同学 说：“首先要建立平面直角坐标系，设各点的坐标，建立各线段对应 的向量的坐标

10、，然后运用向量坐标的运算来证明。 ”话音未落，卫同 学说：“如果不用向量坐标的运算证明，还建什么系？我认为先确定 选用什么方法证明， 然后把线段转化为向量， 再用向量的知识证明。 ” 大家频频点头，认可卫同学的说法。我顺势说： “那么能否用这种方 法来解决其它问题呢？” 这时教室内一片争执的声音， 同意和不同意 的同学分成了两派， 互相想说服对方。 我先请说同意的同学之一谈谈 自己的想法，王同学说道： “既然我们在平面几何和立体几何中都用 到的这样的方法，当然可以通过类比的思想，利用向量解决其它问 题。”黄同学马上反驳道： “不是所有的问题都能用向量解决的。 ”王 同学说：“那当然，我认为只要

11、涉及到线段的问题都可以。 ”李同学补 充到：“复数中的一些问题也可以用向量来解决。 ”当其他同学还想发 言时，下课铃响了，我趁此说： “哪位同学对用向量能解决除平面几 何和立体几何以外的问题有兴趣的同学， 课后向数学课代表报名， 我 们成立一个课题小组，共同研究探索向量的运用这一课题。今天 的作业是把各位的成果整理在作业本上， 同时写今天这节课的感想。 ” 反思1 关于研究性学习。研究性学习是指学生在教师指导下， 从自然、社会和生活中选择 和确定专题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、 解决问题的学习活动。研究性学习强调 体验 这一心理过程，所以我 让学生自己选择定理去证明，让学

12、生在实践中去体验和感受发现问 题、解决问题的愉悦。 虽然本节课的背景是由我给出的，但是基于 部分学生感兴趣的内容而且在自己独立探究的， 所以学生还是能发挥 自己的学习的主动性， 去进行研究性学习。 不足之处是由于课堂教学 的局限性， 不能充分展示每一位学生的研究成果， 我认为可以通过班 级的学习园地、 黑板报等进行展示， 从而让更多的学生体验成功的喜 悦，提高学习数学的兴趣。2关于小组合作学习。小组合作学习 （简称小组合作） 是研究性学习的基本组织形式和 主要活动方式。 研究性学习能否达成预期目标， 在很大程度上取决于 小组合作的成效如何。 小组合作在研究性学习中的意义与传统的以知 识为本位的学科教学不