单位“1”的使用与工程问题

1、单位“1”的使用与工程问题适用学科数学。适用年级小六教师姓名适用区域课时时长（分钟）120学生姓名知识点1解答分数应用题，关键要通过分析数量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1”找出解题的数量关系式， 再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。2工程应用题的工作，一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工作看作单位“1” ,再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率，再根据关系式进 行解答。教学目标1进一步提高分析问题和解决问题的能力。把分数应用题中的不同单位 “1”进行转化。2掌握工程问题的基本数量关系式。教学重点1解答较复杂的分数应用题时，会把题中不同的单位”1

2、”根据实际问题转化统一的单位“1 ”，再解答。2工程问题中，工作效率隐藏在条件中，及循环周期工程问题的解题方法。教学难点工程应用题的工作，一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工作看作单位“1 ” ,再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率，再根据关系式进 行解答。教学过程一、复习预习今天我们主要讲解分数问题中转化单位”1 ”的问题，通过学习懂得把不同的数量当做单位”1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。另外我们还要学习工程问题中的一些解题方法。二、知识讲解理论点1:如果甲是乙的a，乙是丙的c，则甲是丙的 空。bdbd理论点2 :工作量=工作效率X工作时间，工作时间= 工作

3、量十工作效率， 工作效率= 工作量十工作时间。三、例题精析【例题1】单独干某项工程，甲队需 100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干 50天后，剩下的工程乙队干 还需多少天【解析】 以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效率是吾 同理，乙队的工作孵是壽 两队合干的工作数率是点+存由工作量=工作效率X工作时间50天的工作量是+ ） 乂 13 = +=100150336剰下的工作量是由“工作时间二工作量亍工作效率J剩下的工作量由乙队干还需51C1_6 150 =25 匚口 【例题2】一项工程，如果甲先做 5天，那么乙接着做 20天可完成；如果甲先做 20天，那么乙接着做 8天

4、可完成。 如果甲、乙合做，那么多少天可以完成1【答案】13-天3【解析】分析与解： 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：甲S夫乙N丟11111111从上图可直观地看出：甲 15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲 5天的工作量等于乙 4天的工作量。于 是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24 （天）気成,即乙的工草效率为占a又因为乙工作4天的工作量和甲工作于天的工作 星相竽 所厦甲的工作效率是乙的，为爲j 2A 5U甲、乙合做这一工程，需用的时间为+=14天）1 1【例题3】小明看一本故事书，第

5、一天看了全书的 12还少5页，第二天看了全书的 15还多3页，还剩206页。这 本故事书一共有多少页【解析】 分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位1 如果第一天多看5页，那么正好看了全书的g;如杲第二天少看:那么正好看了全书的点。此时应当剩邓一5 +叭 其对应的分率为（1-吉爲L _f丄 l_j 1 _,由此可求出全书的页数。解.（206 -5+3）= 204= 340（页）1 1 1【例题4】一本文艺书，小明第一天看来全书的2，第二天看了余下的 3，第三天看了再余下的 5，还剩下80页。这本书共有多少页【解析】本题条件中单位“ 1 ”的量在变化，依次是“全书的页数

6、”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后 余下的页数”，出现了 3个不同的单位“ 1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“ 1 ”反而更方便。我们先把全书看成“1”，碎-瑯ST(i$ 般-爲紆螂附r 糊二天聶紆糊赶做御膨瞬T惱看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的也就是说剩下的换对应的分率是春 所以全书有80-=300贝).四、课堂运用【基础】1.某项工程，甲单独做需 36天完成，乙单独做需 45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退 出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天【解析】 将题目的条件倒过来想，变为“乙

7、队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天”这样一来，问题就简单多了。解。-畚吟心为213= (1-20 = 5 X2 = 12 匚天)&答：甲队干了 12天。2.单独完成某工程，甲队需 10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走 了，结果一共用了 6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天【解析】 乙、丙两队自始至终工作了 6天，去掉乙、丙两队 6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作 了1(B+)xq + =3 (天)【巩固】1.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15时。上午8点三个管同时打开，中间甲管因

8、故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭【解析】上午9时。提示:甲訐了1-(存冷件討仪2.甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇【解析】 这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上耽误 10分钟，再加上取东西的 5分钟，等于比乙晚出发 15分钟。我们将题目改述一下： 完成一件工作，甲需 60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间由此看出，这道题应该用 工程问题的解

9、法来解答。解:(1 存呼(存扣討苏1珂分儿答：甲再出发后15分钟两人相遇。【拔高】1. 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水【解析】分析与解：以满池水为单位叽1时放水管可使水増加,排水管可使水 减少舟，同对开时 可使水増加（W 放水管打幵1时后，池内己经有舟 的水，与半池水还差（卜4所臥要达到半池水.还需2.甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用 1天；若

10、按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则比原计划多用123天。已知甲单独做完这件工作需要9天，那么甲、乙、丙三人一起做这件工作，要用多少天才能完成【解析】 把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺 序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。甲乙丙-W甲乙n乙丙甲甲乙丙押丙甲乙乙丙甲紀由最后一轮完成的工作量相同，得到甲+乙=乙+丙+ 甲乙+丙+甲=丙+甲+乙由。式關：丙4甲，由式翩：乙号恥甲、乙丙三人合24做-天等于甲做1+:天）f腳三人合做需用4 2 4课堂小结这一节课我们学习了分析单位“ 1”和

11、工程问题，解决分数应用题的关键是找准”量“与“率”对立关系。对于题中的单位“ 1”是变化的，我们可通过题中的不变量看作单位“1 ”，通过把化统一单位” 1 “然后寻找量与率关系解题。工程问题常常把工作量看作单位”1” ,再根据基本关系解题。课后作业【基础】1、某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工 程由哪个队最后完成【解析】与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是1 117（- + + ）2 = ,四个小队各干了6天即24天后，还乘I

12、I下工程量的 d 1 U 1 J4711-右心=右 又因为一.二 三小队合干需珏 即r 二 三小队各干1天完成工程量的二 所以工程由三小队最后完蕊O2. 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做 7天，然后甲队他4天，共完成这项工程的g,如杲把其余的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成【解析】 题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作虹俶嫌睥ZM厂珑殖削曲为了轍进饷恿就V们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做 4天，乙再单独做？天：这样，就可以把合作的工作效率g用上:nQ19甲、乙两队合作4天完成的工程量是十4 =,乙再做3天就可完成工程量的寻 由此求岀

13、乙的工作效率为剩下畝工程乙队还需干拎寺君=2天【巩固】3、单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间 3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成【解析】 乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的 ？倍聊捕,|耕绑+2=j （天）,硼諛中=（天），乙需要10+5=15 （天）。甲、乙合作需要1+点+却=丘c天）4、放满一个水池的水，若同时打开 1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开 2，3，4号阀门，则21 分钟

14、可以完成；若同时打开 1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开 1，2, 4号阀门，贝U 30分钟可以完 成。问：如果同时打开 1, 2, 3, 4号阀门，那么多少分钟可以完成【解析】同时打开1, 2, 3号阀门1分钟，再同时打开 2, 3, 4号阀门1分钟，再同时打开1 , 3, 4号阀门1分钟, 再同时打开1 , 2, 4号阀门1分钟，这时，1, 2, 3, 4号阀门各打开了 3分钟，放水量等于一池水的加加加二 所以同时打开1, 2, 3. 4号阀口放满一池水需i亠n -+、-31lv20 212830?=1 *（土中了）= 1 F三=1呂分）心【拔高】5、一项工程，乙单独干要 1

15、7天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需 要几天【解析】解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先， 两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，于是得到右上图，其中虚线左边的工作量 相同，右边的工作量也相同，说明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做天。6、某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的 大客车和小客车数量之比是5 : 6，小客车与小轿车之比是4 ： 11,收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量【解析】 大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将5 : 6中的6与4 ： 11中的4