P02_力学基础

1、Lecture 2 - Mechanical Fundmentals1Mechanical Fundamentals力学基础力学基础 Lecture 2 - Mechanical Fundmentals2主要内容主要内容q 关于地球关于地球q 常用的坐标系和坐标变换常用的坐标系和坐标变换q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 动量矩定理动量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals31.1*地球形状和重力地球形状和重力对地球形状的最粗糙近似对地球形状的最粗糙近似 - 球形球形RePFj重力重力 (gravity) W 为万有引力为万有引力 j 和和地球自

2、转引起的离心地球自转引起的离心 (centrifugal) 力力 F 之和：之和： WFjW F 远远小于远远小于 W， 最多几个角分最多几个角分 Lecture 2 - Mechanical Fundmentals4Pa1.2 关于地球关于地球: 垂线和纬度垂线和纬度 纬度纬度：当地垂线和地球赤道平面之间的夹角：当地垂线和地球赤道平面之间的夹角垂线的定义垂线的定义q 地心垂线地心垂线 - 地心到当地表面的连线地心到当地表面的连线 q 重力垂线重力垂线 - 沿着当地重力方向沿着当地重力方向和垂线的不同定义相对应，纬度也有不同定义和垂线的不同定义相对应，纬度也有不同定义Lecture 2 - M

3、echanical Fundmentals51.3*关于地球关于地球: 运动运动地球的运动包括各种成分，惯性导航中主要考虑的有：地球的运动包括各种成分，惯性导航中主要考虑的有：q 绕太阳的公转绕太阳的公转q 自转自转地球自转角速度地球自转角速度: - 相对太阳相对太阳 15o/h- 相对惯性空间相对惯性空间 15.04107o/hLecture 2 - Mechanical Fundmentals6Outlineq 关于地球关于地球q 常用的坐标系和坐标变换常用的坐标系和坐标变换q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 动量矩定理动量矩定理Lecture 2 - Mechanical F

4、undmentals72.1 坐标系坐标系: 惯性系惯性系Solar-centered Inertial frame (SCI 日心惯性系日心惯性系)SZSYSXSunEarthEarth-centered inertial frame (ECI 地心惯性系地心惯性系) ) eZeXeYEquatorNorth PoleLecture 2 - Mechanical Fundmentals82.2*坐标系坐标系: 地球和地理坐标系地球和地理坐标系ZR地球坐标系地球坐标系 （Earth Frame）北极北极0X本地本地子午面子午面赤道赤道Y地理坐标系地理坐标系 (Geographic, East-

5、North-Up) RNEOLecture 2 - Mechanical Fundmentals92.3 坐标系坐标系: 变换变换假设向量假设向量 (vector) V 分别投影在坐标系分别投影在坐标系 XYZ 和和 XYZ 中，即中，即: zyxzyx321321321coscoscoscoscoscoscoscoscos则则方向余弦阵方向余弦阵 (Direction cosine matrix - DCM)XYZVXYZVzyxVzyxVLecture 2 - Mechanical Fundmentals10ZzXxYyO2.4 Frame: step-wise rotations直接计算

6、方向余弦矩阵经常较困难直接计算方向余弦矩阵经常较困难XYZxC11C12C13yC21C22C23zC31C32C33DCM 计算可借助分步旋转计算可借助分步旋转.陀螺内环相对于基座的转动陀螺内环相对于基座的转动基座基座(Base) 坐标系坐标系 OXYZ内环内环(Inner Ring)坐标系坐标系 oxyz- 分步分步:q 外环相对基座转过外环相对基座转过 q 内环相对外环转过内环相对外环转过 通过引入外环坐标系通过引入外环坐标系 x1y1z11z1x1yLecture 2 - Mechanical Fundmentals11外框架相对基座外框架相对基座, 绕外框架轴转过绕外框架轴转过 角角

7、2.5 坐标系坐标系: 第一次旋转第一次旋转X1xY1yZ1z假设一个向量假设一个向量 R 在基座坐标系和外环坐标系中的投影分别在基座坐标系和外环坐标系中的投影分别是是 (X, Y, Z) 和和 (x1, y1, z1) , 则利用投影关系则利用投影关系:x1y1z1XYZ001sinYcosYsincos0cosZsinZcossin0ZYXzyxcossin0sincos0001111或或Lecture 2 - Mechanical Fundmentals12Z1zzX1xxY1yyO111cos0sin010sin0coszyxzyx2.6 坐标系坐标系: 第二次旋转第二次旋转类似，从外

8、框架到内框架，绕着内框架轴转过类似，从外框架到内框架，绕着内框架轴转过 角角将上述结果合并，得到从基座到将上述结果合并，得到从基座到内环的变换矩阵内环的变换矩阵 : ZYXzyxcossin0sincos0001cos0sin010sin0cosZYX11001（小角度近似）（小角度近似）Lecture 2 - Mechanical Fundmentals13Outlineq 关于地球关于地球q 相关的坐标系和坐标变换相关的坐标系和坐标变换q 柯氏定律和柯氏加速度柯氏定律和柯氏加速度q 动量矩定理动量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals143.1 转动引起

9、的牵连速度转动引起的牵连速度zyxkjiRVzyx(向量叉乘向量叉乘)kxyjzxiyzyxxzzy)()()(RVMZYOX假设某刚体绕着固定点假设某刚体绕着固定点 O 以角速度以角速度 转动，转动， M 是刚体内的一点（相对刚体固定）是刚体内的一点（相对刚体固定）M 的牵连的牵连(transport) 速度为速度为:坐标系可以任意选取坐标系可以任意选取如果点如果点 M 相对刚体移相对刚体移动呢？动呢？Lecture 2 - Mechanical Fundmentals153.2 速度合成定理速度合成定理RVMZYOX假设一个动假设一个动(旋转旋转)坐标系和刚体固联坐标系和刚体固联当动坐标系

10、绕其原点转动当动坐标系绕其原点转动, 并且一个质点并且一个质点 M 相对动坐标系作相对运动相对动坐标系作相对运动, 则则 M 点的绝点的绝对速度对速度RdtRddtdRV绝对绝对速度速度相对相对速度速度牵连牵连速度速度Lecture 2 - Mechanical Fundmentals163.3*推广推广: 苛氏定律苛氏定律RdtRddtdR苛氏定律苛氏定律 (Coriolis Theorem)：对任何和运动有关的矢量：对任何和运动有关的矢量 B ：BdtBddtdB绝对变绝对变化率化率相对变相对变化率化率 牵连变牵连变化率化率Lecture 2 - Mechanical Fundmental

11、s173.3* 苛氏定律的分量表示苛氏定律的分量表示BdtBddtdB如果如果 B 和和 都是分解在动坐标系都是分解在动坐标系 oxyz 中中kBjBiBBzyxkjizyx则则kdtdBjdtdBidtdBdtBdzyxzyxzyxBBBkjiBLecture 2 - Mechanical Fundmentals183.4 加速度合成定理加速度合成定理速度速度: RdtRdV加速度：加速度：dtdVAVdtVdRdtRdRdtRddtd22dtRdRdtddtRd2 )(RrA相对相对eA牵连切向牵连切向neA牵连法向牵连法向kA苛氏苛氏 Lecture 2 - Mechanical Fun

12、dmentals193.5*苛氏加速度苛氏加速度: 示例示例dtRdAk2 q 牵连运动牵连运动 - 圆盘的转动圆盘的转动q 相对运动相对运动 - 沿径向向外沿径向向外q 上述两种运动的相互影响上述两种运动的相互影响牵连牵连 相对相对rkVA2又可写为又可写为Lecture 2 - Mechanical Fundmentals203.6 用柯氏加速度解释用柯氏加速度解释: 河岸冲刷河岸冲刷现象现象: 两极附近，南北方向的河两极附近，南北方向的河流两岸冲刷的程度不一样流两岸冲刷的程度不一样.对北半球向北的河流对北半球向北的河流, 东岸被冲刷东岸被冲刷得更厉害得更厉害.该现象可以通过苛氏该现象可以

13、通过苛氏 (Coriolis) 加加速度得到解释速度得到解释. Lecture 2 - Mechanical Fundmentals21Vr3.6 用柯氏加速度解释用柯氏加速度解释: 河岸冲刷河岸冲刷河水的苛氏加速度河水的苛氏加速度:rkVA2苛氏加速度向西苛氏加速度向西, 对应的作用力由对应的作用力由东岸提供。东岸提供。河水的反作用力作用在东岸上河水的反作用力作用在东岸上因此东岸被冲刷得更厉害因此东岸被冲刷得更厉害.Lecture 2 - Mechanical Fundmentals22Outlineq 关于地球关于地球q 相关的坐标系和坐标变换相关的坐标系和坐标变换q 柯氏定律和柯氏加速度

14、柯氏定律和柯氏加速度q 动量矩定理动量矩定理Lecture 2 - Mechanical Fundmentals23xyzM4.1 动量矩动量矩: 定义定义q M 为刚体内一质点为刚体内一质点, 刚体绕着固定点刚体绕着固定点 O 以角速度以角速度 旋转旋转q M 的质量为的质量为 m, 位置为位置为 R, 速度为速度为 VVRq M 点的动量点的动量 (momentum) = mVmVq M 的动量矩的动量矩 (angular momentum) h = RmVq 刚体的动量矩刚体的动量矩 H = h = (RmV)OLecture 2 - Mechanical Fundmentals244.

15、1 动量矩动量矩: 坐标分量表示坐标分量表示刚体的动量矩刚体的动量矩 H = h = (RmV)坐标分量表示坐标分量表示kzj yi xRRVkjizyx则刚体动量矩的坐标分量表示形式为则刚体动量矩的坐标分量表示形式为:xyzMVmVRLecture 2 - Mechanical Fundmentals254.2 动量矩动量矩: 转动惯量矩阵转动惯量矩阵)()()(222222yxmyzmxzmyzmzxmxymxzmxymzymzyxHI I - 刚体的转动惯量矩阵刚体的转动惯量矩阵 (angular inertia matrix)主（主（ principal ）转动惯量和离心（）转动惯量和离心（ centrifugal ）转动惯量）转动惯量如果刚体相对所选坐标系的三个平面都对称如果刚体相对所选坐标系的三个平面都对称, 则所有离心转动惯则所有离心转动惯量元素都为零量元素都为零, 于是于是: kJjJiJHzzyyxx这时，坐标轴称为刚体的惯性主轴这时，坐标轴称为刚体的惯性主轴 (inertial principal axes)Lecture 2 - Mechanical Fundmentals264.3*动量矩定理动量矩定理刚体动量矩和其所受外加力矩的关系刚体动量矩和其所受外加力矩的关