高二复习-推理及证明

1、推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明数学归纳法数学归纳法间接证明间接证明 比较法比较法类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构 1. 1.合情推理合情推理 (1)(1)归纳推理归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理理，归纳是由特殊到一般的推理 归纳推理的思维过程：实验观察归纳推理的思维过程：实验观察概括、推广概括、推广猜

2、猜测一般性结论测一般性结论 (2)2)类比推理类比推理 根据两类不同事物之间具有某些类似根据两类不同事物之间具有某些类似( (或一致或一致) )性，推性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似测其中一类事物具有与另一类事物类似( (或相同或相同) )的性的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理推理 类比推理的思维过程：观察、比较类比推理的思维过程：观察、比较联想、类推联想、类推猜测新的结论猜测新的结论 2 2演绎推理演绎推理 根据一般性的真命题根据一般性的真命题( (或逻辑规则或逻辑规则) )导出特殊性命题为真的推理导出特殊性命题为真的

3、推理叫做演绎推理演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推叫做演绎推理演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理理 (1)(1)演绎推理的特点演绎推理的特点 当前提为真时，结论必然为真 (2)(2)演绎推理的一般模式演绎推理的一般模式“三段论三段论” 大前提大前提已知的一般原理；已知的一般原理； 小前提小前提所研究的特殊情况；所研究的特殊情况； 结论结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断根据一般原理，对特殊情况做出的判断 3 3直接证明直接证明 从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明综合法和分析直

4、接推证结论的真实性的证明称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法用的思维方法 (1)(1)综合法综合法 从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法法也叫顺推证法或由因导果法 (2)2)分析法分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要

5、证明的结论归结为判定一个明显成立的条件最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( (已知已知的条件、定理、定义、公理等的条件、定理、定义、公理等) )为止这种证明方法叫分析为止这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法法也叫逆推证法或执果索因法 4 4间接证明间接证明 (1)1)反证法的定义反证法的定义 一般地，由证明一般地，由证明p pq q转向证明：转向证明：q qr rt t，t t与与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判断假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判断q q为假，为假，推出推出q q为真的方法，叫做反证法为真的方法，叫做反证法 (2)(2)反证法的特点反证法的特点 先假设

6、原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾与公认的简单事实等矛盾 5 5数学归纳法数学归纳法( (理理) ) 一个与自然数相关的命题，如果一个与自然数相关的命题，如果(1)(1)当当n n取第一值取第一值n n0 0时命题成立；时命题成立；(2)(2)在假设当在假设当n nk k( (k kN N，且，且k k n n0 0) )时命题成立的前提下

7、，推出时命题成立的前提下，推出当当n nk k1 1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n n取第取第一个值后面的所有正整数成立一个值后面的所有正整数成立归纳推理 答案1000 (2014广州市综合测试)将正偶数2、4、6、8、按下表的方式进行排列，记aij表示第i行第j列的数，若aij2014，则ij的值为()第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826第5行34363840 A.257B256 C254D253 答案C 解析依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1列，偶数行空置第

8、5列；且自左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小排列；2014是数列2n的第1007项，且100742513，因此2014位于题中的数表的第252行第2列，于是有ij2522254，故选C. 方法规律总结 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观察发现其规律，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论类比推理 分析观察E，F两点可以发现，E、F两点的特征类似，E是BP与AC的交点，F是CP与AB的交点，故直线OE与OF的方程应具有类似的特征，而y的系数相同，故只有x的系数满足某种“对称性”，据此

9、可作猜测 方法规律总结 类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后仿照推导类比对象的性质直接证明与间接证明 分析解答这类新定义题型，一定要先弄清新定义的含义，由条件知E数列an任意两邻两项相差1，故可据此任意构造E数列，同时，E数列an递增an1an1. 解析(1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5. (答案不唯一.0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5) (2)必要性：因为E数列an是递增数列， 所以ak1ak1(k1,2，1999) 所以an是首项为1

10、2，公差为1的等差数列 所以a200012(20001)12011. 充分性：由于a2000a19991， a1999a19981， a2a11， 所以a2000a11999，即a2000a11999. 又因为a112，a20002011， 所以a2000a11999. 故ak1ak10(k1,2，1999)，即an是递增数列 综上，结论得证 点评综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，是高考考查的重点，证题时，通常是运用分析法，执果索因，探寻使其成立的条件，然后运用综合法理顺解题思路，规范写出解答过程 方法规律总结 1在证明问题时，我们可以使用分析法，寻找解决问题的突破口，然后用综合法写出证

11、明过程，有时分析法与综合法交替使用 2有些命题和不等式，从正面证如果不好证，可以考虑反证法凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法即“正难则反” 反证法的步骤是： (1)假设：作出与命题结论相反的假设； (2)归谬：在假设的基础上，经过合理的推理，导出矛盾的结果； (3)结论：肯定原命题的正确性数学归纳法(理) 方法规律总结 1与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明 2数学归纳法的主要步骤 (1)归纳奠基 证明当n取第一个值n0(例如n01或2等)时结论正确； (2)归纳递推 假设当nk(kN N*，kn0)时结论正确(归纳假设)，证明当nk1时结论也正确 综合(1)(2)知，对任何nN N*，命题均正确 在用数学归纳法证题中，从nk到nk1时一定要用到归纳假设，可以对nk1时的情况进行适当变换，突出归纳假设，这是证题的关键 3归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想运用“观察分析归纳”解答归纳推