四微分中值定理与泰勒公式

1、一. 设函数f(x)在闭区间0, 1上可微,对于0,1上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且.1, 证明：在(0, 1)内有且仅有一个x,使f(x) = x.证明：由条件知 0 f(x) 0, F(1) 0,所以存在 (0, 1), 使F( ) = 0.假设存在1,2 (0, 1),不妨假设2 1,满足 f( 1) =1, f(2) =2.于是1 2 = f( 1) f( 2)=.(2 1).所以-I, 矛盾.二. 设函数f(x)在0, 1上连续，(0, 1)内可导，且一.证明：在(0,1)内存在一个，使= 3：/必=”)(1 -= /(fi)-1证明：一，其中1满足一；.由罗

2、尔定理，存在匚满足0 t ,且f (二0.三设函数 f(x)在1,2上有二阶导数，且 f(1) = f(2) = 0, 又 F(x) =(x 1) f(x), 证明：在(1,2)内至少存在一个,使严(二 0.证明：由于F(1) =F(2) = 0,所以存在1, 1 1 2,满足 丿；一. 所以.所以存在匕满足1 0)上连续，在(0, x)内可导，且f (0) = 0, 试证：在(0, x)内存在一个：使证明：令F(t) = f(t),G(t) =In(1+t),在0,x上使用柯西定理殴F(0)二 FG-虫0厂&, t (0, x)丄冬二（1+少乜所以ln(l+x)即工】五.设f（x）在a, b

3、上可导,且ab 0,试证：存在一个；：二（a, b）,使丄|扩 八二【财 +夕（罚广1 k-af 炖六.设函数f (x),g(x),证明：不妨假设a 0, b 0.令 恥）二加）. 在a, b上使用拉格朗日定理h（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导，证明：存在一个：=（a,b),使证明：令恥）二陛)4)比）昨）址）,贝V F(a) = F(b) = 0,所以存在一个(a, b),也）fW炎）垃）0=0血）力醉）山3)七. 设函数f（x）在0, 1上二阶可导，且f（0）= f（1） = 0,试证：至少存在一个（0,1）,使/(?) =2f3丄(3证明：(-：-；,-，：| -二边积分可得所以

4、八力(1) 一令由 f(0) = f=0知存在：- (0, 1),： H.所以F( ) = F=0,所以存在二二(,1),厂 二/：u：立即可得I .八. 设f(x)在Xi,X2上二阶可导，且0 Xi 0, 证明：存在一个：三(Xi, X2)或(X2, Xi),使1FW = -f G(X)=-证明：不妨假设0 Xi X2.令二：-,在Xi, X2上使用柯西定理 在(Xi, X2)内至少存在一个：满足Fg) - F(对二畫2兀二 *心X 孑立即可得/ ;*十设 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a) =f(b)= 0,g(x)- 0,试证：至少存在一个三(a, b),使f (如(F(x)=型证明：令佇二,所以F(a) = F(b) = 0.由罗尔定理至少存在一个：(a, b),使；,于是J二儿卜一.设f(x)在a, b上连续,在(a, b)内有二阶连续导数，试证：至少存在一个(a,b),使/(沪几)+晋(x-t)+晋证明：-x, t a, b，有*二a +&取t =-,分别取x = b, x = a,得到a-hi(a+b+侈)(“2!a+b二式相加，得仞皿叭丁丿+所以存在匚三(a,b),使得依+胡+ /二3十二.设f(x)在a, b上连续,在(a, b)内可导,且f (a) = f (b) = 1, 证明：