四川省石室中学20172018学年高一数学上学期半期考试试题

1、四川省石室中学 2017-2018 学年高一数学上学期半期考试试题第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡对应的位置 .1、定义集合运算 A B x | x a b, a A,b B ，设 A 0,1 ， B 3,4,5 ，则集合 A B 的子集个数为（ ）A 16 B 15 C 14 D 82、一个扇形的面积为 15 ，弧长为 5 ，则这个扇形的中心角为（ ）A. B. C.6 323D.563、已知角 的终边经过点 (3, 4) ，则1sin （ ） cosA

2、.15B.3715C.3720D.13154、对定义域内的任意实数 x1, x2，满足 f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 ) 的函数是（ ）A. f ( x) x 1 B. f (x) x2 C. f (x) 2x D.f ( ) log2xx2 x5、已知函数 f ( x) 4 x lg(sin ) ，则 f ( x) 的定义域是（ ）A 2,2 B ( 0,2 C ( 0,1Dx | 2k x 2k ,k Z 6、函数 log ( 2 3 2)y 1 x x 的单调递增区间是（ ）33 3A. ( ,1) B. )( , C. (2, ) D. ( , )2 27、如图

3、所示是某条公共汽车路线收支差额 y 与乘客量 x 的图象 ( 收支差额 =车票收入支出费用).由于目前本条线路在亏损， 公司有关人员提出了两条建议：建议( ) 是不改变车票价格， 减少支出费用； 建议( ) 是不改变支出费用， 提高车票价格 .图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态 . 在上面四个图象中（ ）A. 反映了建议 ( ), 反映了建议 ( ) B. 反映了建议 ( ), 反映了建议( )C. 反映了建议 ( ), 反映了建议 ( ) D. 反映了建议 ( ), 反映了建议( )5log8、已知函数 f ( x) log1 | x 1| ，a ) ，b f (log 3) ，

4、 (2 )f (sin c f ，2263则 a,b,c 的大小关系是（ ）A a b c B b a c C c b a D a c b9、函数 f ( x) loga x （ a 0且a 1）的自变量与函数值的一组近似值为x 2 3 4 5y 0.3010 0.4771 0.6020 0.6990则函数 g( x) f ( x 2) 2 x 的一个零点存在区间是（ ）5 5 7 7A. )(2, B. ( ,3 ) C. (3, ) D. ( ,4)2 2 2 210、已知函数f xx x a 2 ,02 ,0x2 ,x a，若存在实数 b ，使函数 g x f x b 有两个零点，则实数

5、 a 的取值范围是（ ）A. 0,2 B. 2, C. 2,4 D. 4,11、已知函数 f ( x) 对任意 x R 满足 f ( x 2) f (2 x) ，且在 2, ) 上递增，若g( x) f (x 2) ，且 2 g(log2 a) 3g(0) g(log0.5 a)，则实数 a 的范围为 ( )A ( 0,1 B 1(0, 2C 1 , 22D 1, )12、已知函数 f (x) tx ，g( x) (2 t)x2 4x 1，若对任意的实数 x0 ，f ( x0) 与 g( x0 )中至少有一个为正数，则实数 t 的取值范围是（ ）A. ( , 2) (0 ,2 B. ( 2,0

6、) (0,2 C. ( 2, 2 D.(0, )第 II 卷（非选择题，共 90 分）- 2 -二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡对应的位置 .13、已知函数ln x,0 x 3f 满足 f ( 4) 2 ，则 f f (e2 ) _.（其中 e(x)x , x 3为自然对数的底数， 为常数）14、已知1sin xcosx12，则1sin xcosx_ _.15、已知函数 f ( x) x x ，若存在 x t2 2, t2，不等式 f ( x t) 4 f ( x) 成立，则实数t 的取值范围是 _.16、已知 R ，函数| x 1|, x 0f

7、 ，g( x) x2 4x 1 4 ，若关于 x 的方程( x)| lg x |, x 0f g( x) 有 8 个解，则 的取值范围为 _.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .sin cos17、（本小题满分 10 分）已知 2sin cos，计算下列各式的值 .（） cos2 2 sin cos 1； （）sin(2cos()cos(sin(3)cos( sin(2) 11cos( 25) sin(2)._ _18、（本小题满分 12 分）声强级 L （单 位： dB ）由公式IL 10 lg 给出，其中 I 为1210声强（单位： W

8、/ m2 ）（）一般正常人听觉能忍受的最高声强为21W / m ，能听到的最低声强为12 / 210 W m ，求人听觉的声强级范围；（）在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级 20dB ，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？_ _- 3 -19、（本小题满分 12 分）已知函数1xf ( x) 2 .|x|2（）求函数 y f ( x) 的零点的集合；（）设f ( x), x 0g( x) ，讨论函数 y g( x) a(a R) 的零点个数 . f (x 1) , 1 x 0_ _20、（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) loga (x 1)( a 0且a 1

9、) ，若函数 y g( x) 图象上任意一点 P 关于原点对称的点 Q 在函数 f ( x) 的图象上，且 G( x) f ( x) g( x) .（）写出函数 y G(x) 的解析式和定义域；（）当 a 1, x 0,1)时，总有 G( x) m2 2m 3 成立，求 m 的取值范围；7f a 2) log (2 .( 2x a x （）解不等式： )a4_ _21、（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) ax2 2ax 1 b( a 0) 在区间 2,3上有最大值 4和最小值 1 .（）求 a,b 的值；（）设 g( ) ( ) log (4x 1) 2 1，x f 4 xx证明：

10、对任意实数 k ，函数 y g( x) 的图象与直线 y 3x k 最多只有一个交点；（）设1 f (x)h( x) ，是否存在实数 m和 n( mn) ，使 h( x) 的定义域和值域分别2为m, n和 3m,3n，如果存在， 求出 m和 n 的值_ - 4 -_22、（本小题满分 12 分）已知集合 A 是满足下列条件的函数 f (x) 的全体：在定义域内存在实数 x0 ，使得 f ( x0 1) f (x0 ) f (1) 成立.（）判断幂函数 f (x) x 1 是否属于集合 A ？并说明理由；（）设x2 ag( x) lg ， x ( ,2)，bi ）当 b 1 时，若 g( x)

11、A ，求 a 的取值范围；ii ）若对任意的 a (0,2)，都有 g( x) A ，求 b 的取值范围 ._ _- 5 -成都石室中学高 2020 届 2017-2018 学年度上期半期考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡对应的位置 .1-5 ADDCB 6-10 ABACC 11-12 AA二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡对应的位置 .213、 1 14 、 2 15 、 1,2 16 、 )(0,5三、解答题：本大题共

12、6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .1 7、解：由题易得： tan 3（2 分）（）原式2cos2sin2sincos2cos1 2 sin2sin2cossin2cos2tan2tan2tan132（6 分）sin ( cos ) sin ( sin )（）原式 tan 3cos ( sin ) sin cos（10 分）I18、解：（）由题知： 10 12 I 1 ， 12112 10100 lgI101212，0 L 120人听觉的声强级范围是 0,120（6 分）（）设该女高音的声强级为 L1 ，声强为 I 1 ，该男低音的声强级为 L2 ，声强为 I 2

13、 ，I1 I2由题知： 20L ，则 10 lg 201 L 10 lg212 1210 10lgII122， I 1 100 I 2故，该女高音的声强是该男低音声强的 100倍. （12 分）0, x 019、解：（）f ( x)1x2 , x 0 x2当 x 0时，易知f1x( x) 2 单调递增x2- 6 -f ( x) f (0) 0函数 y f (x) 的零点的集合为 x | x 0. （5 分）（）g( x)2x1x2 , x 0x 211 x, 1x 120当 1 x 0 时， g( x) 单调递增，则 g( 1) g( x) g( 0) 3 30 g( x) ， g( x) 0

14、, ) （7 分） 2 2当 x 0 时， g( x) 单调递增，则 g( x) g( 0) 0又当 x 时， g( x) ， g( x) 0, ) （9 分）结合可知：当 a 0时，没有零点；当30 a 时，2 个零点；当23a 时，1 个零2点. （12 分）另解：（）直接画出 y g( x) 的草图，通过直观的观察拿出 相应范围上的函数零点个数也给满分 ,20、解：（）由题知：x 1G( ) loga （或 G( x) loga (x 1) loga (1 x) ），x1 x定义域为 ( 1,1)；（3 分）（）由（）知：x 1G (x loga ，令)1 x x 1 2t 1 ，则 1

15、 x x 1- 7 -G(x) logayt当 0 x 1时， t 在 0,1) 上单增， t 12 m又 a 1， G( x)min ymin 0，则原问题等价于 2 3 0m1 m 3 （7 分）另解：当 a 1时， y loga( x 1) 单增， y loga (1 x) 单减G ) loga( loga ) 在 x 0 ,1) 上单增(x x 1) (1 x( x)min G( )0G0原问题等价于 m2 2m 3 0 , 1 m 37 7 2 x 2x xx a a a （） )f (a 2) log (2 ) log ( 1) log (2a a a4 41 当 a 1时，7 3

16、 32 x xx a a xa 1 2 0 log ；a4 2 27 3 3x 2x a xx2 当 0 a 1时， a a 02 a 1 0 1 log4 2 2； 3 32 1 log , ) 0 1 log 2 2结合 1 当a 时，x a ；当 a 时，x a ,0) . （12 分）21、解：（） f ( x) a( x 1)2 b a 1(a 0) x对 1 2f ( x) 在 2,3 上单增f (x) f ( 2) b 1min1f (x) f (3) 3a b 1 4maxa 1，b 0（3 分）（）证明 ：由（）知： f ( x) x2 2x 1g( ) log (4x 1)

17、 2x x4 ，令 g( x) 3x kk log (4x 1) x 1) ( ) log4x (44 ，令 G x x任取 x1 x2 ，则x4 11G( 1 2 4 1 2x ) G( x ) log ( x xx4 12)- 8 -x1 xx ， 4 1 4 11 x22x x4 1 4 11 1， 0 1， log 04 xx4 2 14 21( x1 G x2) ( ) 0G ，即 G( x1) G(x2 )y G( x) 为 R 上的单增函数对任意实数 k ，函数 y g( x) 的图象与直线 y 3x k 最多只有一个交点 （7 分）备注：若此问用分析法说明的得一半的分（ 2 分

18、）（）由题知：1 1 1h ) ( 1) ， x对 1 ，(x x2 x x 22 2 2h( x)12假设存在实数 m, n ，使得当 x m, n时， h( x)的值域为 3m,3n ，则1 13n ， n 1， h( x) 在 x m, n 上单增2 6h(x)maxh(x)minh( n)h( m)3n3m，则m,n 为方程 h( x) 3x 的两个不等实根由 h( x) 3x 得： x2 4x 0， m 4 ，n 0经检验，满足条件，故存在 . m 4 ，n 0 . （12 分）22、解：（） f ( x) A ，理由如下：令 f (x 1) f ( x) f (1) ，则x111x1，即 x2 x 1 0 ，解得：1 5x ，121 5x 均满足定义域 x | x 0.22当1f ( x) x 时， f ( x) A （3 分）（）当 b 1时， g( x) lg(2x a) x 1g( x) A ， , x 0 x 1 1由题知： g( x 1) g( x) g(1)在 ( ,0) 上有解- 9 -lg( x 1 a x a a2 ) lg(2 ) lg(2 )( x a x a a a ，令 t 2x ，则 t (0,1)2 2 )(2 ) 2 ( 2)2t2 at a2 a