第13章静电场中导体和电介质

1、1第第1313章章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质13.1 13.1 导体的静电平衡导体的静电平衡13.2 13.2 电介质的极化电介质的极化 电极化强度电极化强度13.3 13.3 电位移矢量电位移矢量 电介质中的静电场电介质中的静电场13.4 13.4 电容与电容器电容与电容器13.5 13.5 静电场的能量静电场的能量作业：作业：练习册练习册选择题：选择题：110填空题：填空题：110计算题：计算题：1 72本章导读本章导读仍然是静电场，场量仍然是：仍然是静电场，场量仍然是：基本性质方程：基本性质方程：讨论：静电场对导体和电介质的作用以及后者对前者的影响讨论：静电场对导体和

2、电介质的作用以及后者对前者的影响UE、0diSqSE0dLlE论述的根据是静电场的论述的根据是静电场的基本规律基本规律和导体与电介质的和导体与电介质的电结构电结构特征特征。导体导体 存在大量的可自由移动的电荷存在大量的可自由移动的电荷（conductor）；绝缘体绝缘体 理论上认为一个自由移动的电荷也没有理论上认为一个自由移动的电荷也没有也称也称 电介质电介质（dielectric）；半导体半导体 介于上述两者之间介于上述两者之间（semiconductor）。31 导体的静电平衡导体的静电平衡1.导体的静电平衡导体的静电平衡1.1 1.1 静电平衡静电平衡 (electrostatic eq

3、uilibrium)0内E静电感应：静电感应：在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作用下在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。1.2 导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件导体内部和表面无自由电荷的定向移动，导体内部和表面无自由电荷的定向移动， 导体处于导体处于静电平衡状态静电平衡状态。4金属球放入均匀场金属球放入均匀场金属球放入后电力线发生弯曲金属球放入后电力线发生弯曲电场为一非均匀场电场为一非均匀场E金属导体放入均匀场金属导体放入均匀场0内EE5baUU constU babalEUUd01.

4、3 1.3 导体的电势导体的电势证：在导体上任取两点证：在导体上任取两点a和和b b导体等势是导体体内电场强度处处为零的必然结果导体等势是导体体内电场强度处处为零的必然结果静电平衡条件的另一种表述静电平衡条件的另一种表述abld导体静电平衡时，导体各点电势相等，导体静电平衡时，导体各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面即导体是等势体，表面是等势面。62.导体上的电荷分布导体上的电荷分布由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，可由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，可以得出导体上的电荷分布。以得出导体上的电荷分布。2.1 2.1 实心导体实心导体( (内部各处净电荷为零内部各处净电荷为零)

5、 )0dSSE0dViiVq0证明：在导体内任取体积元证明：在导体内任取体积元 dV由高斯定理由高斯定理体积元任取体积元任取证毕证毕电电荷荷只能分布在表面！只能分布在表面！电荷分布在实心导体表面，导体内部场强处处为零。电荷分布在实心导体表面，导体内部场强处处为零。0内EVd72.2 2.2 导体表面电荷导体表面电荷),(zyx),(zyxE表SSEdSSSSESEdddd表0dSE表0dS0表E设导体表面电荷面密度为设导体表面电荷面密度为相应的电场强度为相应的电场强度为设设P 是导体外是导体外紧靠紧靠导体表面的一点导体表面的一点nE0表写作写作外法线方向: n导体导体PSdS导体导体EnEtE

6、表面电场一定沿表面法线方向，表面电场一定沿表面法线方向，否则在其切向分量作用下，电荷否则在其切向分量作用下，电荷将沿表面运动，与导体处于静电将沿表面运动，与导体处于静电平衡状态相矛盾。平衡状态相矛盾。82.3 2.3 孤立带电导体表面电荷分布孤立带电导体表面电荷分布孤立带电孤立带电导体球导体球C一般情况较复杂；一般情况较复杂；孤立的带电导体，电荷分布的实验孤立的带电导体，电荷分布的实验定性：定性：在表面凸出的尖锐部分在表面凸出的尖锐部分( (曲率是正值且较大曲率是正值且较大) )电荷面密度较大，电荷面密度较大，在比较平坦部分在比较平坦部分( (曲率较小曲率较小) )电荷面密度较小，电荷面密度较

7、小，在表面凹进部分带电面密度最小。在表面凹进部分带电面密度最小。尖端放电尖端放电9场离子显微镜场离子显微镜( (FIM) )金属尖端的强电场的应用一例金属尖端的强电场的应用一例原理：原理：样品制成样品制成针尖形状针尖形状，针尖与荧光膜之间加高压，针尖与荧光膜之间加高压，样品附近样品附近极强的电场极强的电场使吸附在表面的使吸附在表面的原子电离，氦离子沿电力线运动，原子电离，氦离子沿电力线运动，撞击荧光膜引起撞击荧光膜引起发光发光，从而获得样品表面的从而获得样品表面的图象图象。荧光质荧光质导电膜导电膜 + + 高压高压eH接真空泵或接真空泵或充氦气设备充氦气设备金属金属尖端尖端接地接地10FIM

8、image of pure Al at 7kV and 15KV Oxford大学的几幅图片大学的几幅图片 FIM image of W(钨钨)containing grain boundaries 历史上首次能看到原子的显微镜是场离历史上首次能看到原子的显微镜是场离子显微镜子显微镜（FIM），），它是米勒它是米勒（Erwin W. Mller）在在1951年发明的。年发明的。只能探测在半径小于只能探测在半径小于100nm的针尖上的原的针尖上的原子结构和二维几何性质，且制样技术复杂。子结构和二维几何性质，且制样技术复杂。The FIM100 conventional atom probe实际照

9、片实际照片113.3.有导体存在时静电场场量的计算原则有导体存在时静电场场量的计算原则: : 0内EconstU0diSqSELlE0diiQ.const1.1.静电平衡的条件静电平衡的条件 2.2.基本性质方程基本性质方程3.3.电荷守恒定律电荷守恒定律12例：接地导体球附近有一点电荷例：接地导体球附近有一点电荷, ,如图所示。如图所示。求求: :导体上感应电荷的电量。导体上感应电荷的电量。解解: :接地接地 即即04400lqRQqlRQ0U设感应电量为设感应电量为 Q，由导体由导体是个等势体，是个等势体，0 点的电势点的电势为零，则有为零，则有qRol导体电势为零，是否导体电势为零，是否

10、该导体所带电荷也一该导体所带电荷也一定为零！定为零！13例：无限大的带电平面的场中平行放置一无限大金属平例：无限大的带电平面的场中平行放置一无限大金属平板求：金属板两面电荷面密度。板求：金属板两面电荷面密度。P21022202010211212解解: :设金属板面电荷密度为设金属板面电荷密度为 1和和 21由对称性和电量守恒由对称性和电量守恒导体体内任一点导体体内任一点P 场强为零场强为零x020120222金属板两面面电荷分布金属板两面面电荷分布: : 1与与 异号异号, 2与与 同号同号!如图可视为三个无限大如图可视为三个无限大的带电平面的带电平面14求求: :球球A和壳和壳B的电量分布的

11、电量分布. .解：解：导体带电在表面，球导体带电在表面，球A的电量只可能在球的表面。的电量只可能在球的表面。壳壳B有两个表面，电量可能分布在内、外两个表面。有两个表面，电量可能分布在内、外两个表面。由于由于A、B同心放置，同心放置，仍维持球对称仍维持球对称。 例：金属球例：金属球A与金属球壳与金属球壳B 同心放置，已知球同心放置，已知球A半径为半径为R0 0，带电为，带电为q；金属壳金属壳B 内外半径分别为内外半径分别为R1 1，R2 2，带电为，带电为Q。电量在表面均匀分布。电量在表面均匀分布。球球A均匀分布着电量均匀分布着电量q，相当于一个均匀带电的球面。，相当于一个均匀带电的球面。壳壳B

12、上电量的分布：上电量的分布：由高斯定理和电量守恒定律确定。由高斯定理和电量守恒定律确定。在在B内紧贴内表面作高斯面内紧贴内表面作高斯面SABq0R2R1RSqqQ 0dSSE高斯定理高斯定理0iiqqQB内电荷守恒定律电荷守恒定律qQQB外154. 空腔导体内外的静电场空腔导体内外的静电场1. 空腔导体内外的静电场空腔导体内外的静电场(1)(1)腔内无带电体腔内无带电体内表面无电荷分布内表面无电荷分布腔内无电场腔内无电场0腔内E或说，腔内电势处处相等。或说，腔内电势处处相等。证明证明: :与等势矛盾与等势矛盾0dSSE0iiq在导体壳内紧贴内表面作高斯面在导体壳内紧贴内表面作高斯面 S高斯定理

13、高斯定理0内表面Q若内表面有一部分是正电荷若内表面有一部分是正电荷 一部分是负电荷一部分是负电荷则会从正电荷向负电荷发电力线则会从正电荷向负电荷发电力线证明了上述两个结论。证明了上述两个结论。S 16(2)(2)腔内有带电体：腔内有带电体：腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号，电量分布电量分布qQ腔内表面 q用高斯定理可证用高斯定理可证腔内的电场腔内的电场1) 与电量与电量q有关有关；2) 与腔内带电体几何因素、介与腔内带电体几何因素、介质分布有关质分布有关。腔体外表面所带的电量由电荷守腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定，恒

14、定律决定，172.2.静电屏蔽静电屏蔽 EQ + Eq 外表面以内空间外表面以内空间 = 0当当Q大小或位置改变时，大小或位置改变时，q ( (感应电荷感应电荷) ) 将自动调整，将自动调整，保证上述关系成立保证上述关系成立。 空腔导体可保护腔内空间空腔导体可保护腔内空间不受腔外带电体的影响不受腔外带电体的影响若腔内有带电体，若腔内有带电体，上述关系依然成立。上述关系依然成立。 如图，空腔如图，空腔( (如球壳）内表面如球壳）内表面电荷均匀分布电荷均匀分布( (q在球心在球心) )，Q的的变化，不会影响内表面电变化，不会影响内表面电荷分布荷分布。 腔外带电体的变化腔外带电体的变化( (大小、位

15、置大小、位置) )，不会影响腔内电场。，不会影响腔内电场。 Q+-q q Q- -+q 18 Eq + Eq 内表面以外空间内表面以外空间 = 0当腔内当腔内q位置移动时位置移动时，q ( (感应电荷感应电荷) ) 将自动调整，保证上述关系成立。将自动调整，保证上述关系成立。 腔内带电体位置的移动，腔内带电体位置的移动，不不影响腔影响腔外电场外电场, ,但但q大小变化时，大小变化时，将将影响腔影响腔外电场。外电场。 空腔导体未接地空腔导体未接地 接地空腔导体可使腔内带电体的变化接地空腔导体可使腔内带电体的变化 ( (大小、位置大小、位置) )对腔外电场没有影响对腔外电场没有影响 接地空腔导体可

16、使腔内、腔外互不影响。接地空腔导体可使腔内、腔外互不影响。 -q q -q-q +-q q -腔内带电体的变化腔内带电体的变化( (大小、位置大小、位置) )，对腔外电场的影响。，对腔外电场的影响。 19 汽车是个静电屏蔽室汽车是个静电屏蔽室 在静电平衡状态下，空腔导体外面的带电体不会影响在静电平衡状态下，空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布；一个接地的空腔导体，空腔内的带空腔内部的电场分布；一个接地的空腔导体，空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响。电体对腔外的物体不会产生影响。这种使导体空腔内的电这种使导体空腔内的电场不受外界影响或利用接地的空腔导体将腔内带电体对外场不受外界影响

17、或利用接地的空腔导体将腔内带电体对外界影响隔绝的现象界影响隔绝的现象，称为称为静电屏蔽静电屏蔽。20 这个是这个是“法拉弟笼法拉弟笼”，用的是，用的是“静电屏蔽静电屏蔽”原理。笼外面加了几百伏原理。笼外面加了几百伏的高压电，会闪哦，看上去挺吓人的！好不容易说服了第一批的高压电，会闪哦，看上去挺吓人的！好不容易说服了第一批“勇敢者勇敢者”学生进去，哈哈！学生说虚惊了一场！摸着球壁，与高压电做最亲密的接学生进去，哈哈！学生说虚惊了一场！摸着球壁，与高压电做最亲密的接触，感觉热热的，还不错哦，原来我们也是很勇敢的哦！触，感觉热热的，还不错哦，原来我们也是很勇敢的哦！ 21例例: :在内外半径分别为在

18、内外半径分别为R1和和R2的导体球壳内，有一个半径为的导体球壳内，有一个半径为r 的的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量分别带上电荷量q和和Q。试求：。试求：（1 1）小球的电势）小球的电势Ur，球壳内、外表面的电势球壳内、外表面的电势；（2 2）小球与球壳的电势差）小球与球壳的电势差；（3 3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。解：解：（1 1）由对称性，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均）由对称性，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷匀的。小球上的电荷q将在球壳的内外表

19、面上感应出将在球壳的内外表面上感应出-q和和+q的电荷的电荷，故球壳外表面上的总电荷量为故球壳外表面上的总电荷量为q+Q。小球小球和和球壳内外表面球壳内外表面的电势分别为的电势分别为: :21041RQqRqrqUr2021104411RQqRQqRqRqUR1R2Rr2022204412RQqRQqRqRqUR球壳内外表面的球壳内外表面的电势相等。电势相等。qqqQ 22101142RrqUURr（3 3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消失。两球的电势分别为消失。两球的电势分别为（2 2）两球的电势差为）两球的电势差为10114RrqUr021RRUU

20、两球的电势差仍为两球的电势差仍为10114RrqUURr 由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。当变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时，小球的电势为负值时，小球的电势低于球壳。低于球壳。1R2RrqqqQ 21041RQqRqrqUr20412RQqUURR1R2Rrqq232 电介质极化电介质极化电介质：绝缘体，无自由电荷。电介质：绝缘体，无自由电荷。1.1.电介质的微观图象电介质的微观图象有极分子有极分子（polar molecules）+l qp下图是一些无极分子（

21、氦、甲烷）和有极分子（氯化氢、水）的示意图下图是一些无极分子（氦、甲烷）和有极分子（氯化氢、水）的示意图 +无极分子无极分子（nonpolar molecules）+24无外场时：无外场时：有极分子有极分子无极分子无极分子0Vip2. 电介质的极化电介质的极化有电场时有电场时EpM极性极性( (有极有极) )分子介质分子介质取向取向极化极化 非极性非极性( (无极无极) )分子介质分子介质位移位移极化极化 250E边缘出现电荷分布边缘出现电荷分布,称极称极化电荷或称束缚电荷化电荷或称束缚电荷共同效果共同效果0VipEEE00EE电介质极化特点：内部场强一般不为零。电介质极化特点：内部场强一般不

22、为零。极性极性( (有极有极) )分子介质分子介质取向取向极化极化 (orientation polarization) )位移位移极化极化 (displacement polarization)非极性非极性( (无极无极) )分子介质分子介质 26电偶极子排列的有序程度反映了介质被极电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度，排列愈有序说明极化愈烈。化的程度，排列愈有序说明极化愈烈。3 3* *. .描述极化强弱的物理量描述极化强弱的物理量-极化强度极化强度 ( (Polarization vector)V宏观上无限小微观上无宏观上无限小微观上无限大的体积元限大的体积元VpPiilim定义

23、：定义：l qpi每个分子的电偶极矩每个分子的电偶极矩 无外场时：无外场时：0Vip有外场时有外场时: 0Vip单位体积内分子电偶极矩的矢量和。单位体积内分子电偶极矩的矢量和。0E27cosdddSnqlVnqqcosdSPSPd1.1.小面元小面元dS对对S 面内极化电荷的贡献面内极化电荷的贡献在已极化的介质内任意作一闭合面在已极化的介质内任意作一闭合面SS 将把位于将把位于S 附近的附近的电介质分子电介质分子分为两部分为两部分：一部分在分：一部分在S内，一部分在内，一部分在S 外。外。电偶极矩穿过电偶极矩穿过S 的分子对的分子对S内的内的极化电荷有贡献极化电荷有贡献在在dS 附近薄层内附近

24、薄层内认为介质均匀极化认为介质均匀极化极化强度与极化电荷的关系极化强度与极化电荷的关系分子数密度分子数密度ncosddSlV S+Sd外场外场nqlP +lSdP28SPSPqnddd如果如果 /2 落在面内的是负电荷落在面内的是负电荷如果如果 /2 落在面内的是正电荷落在面内的是正电荷2. 2. 在在S 所围的体积内的极化电荷所围的体积内的极化电荷q 与与P 的关系的关系SSSPqqddPSdlS3.3.电介质电介质( (外外) )表面极化电荷面密度表面极化电荷面密度SPqndd外Sqdd外nPnPn 介质外法线方向介质外法线方向nP 所以小面元所以小面元dS对对面内面内极化电荷的贡献极化电

25、荷的贡献SPqddSd+294.4.电介质的极化特点与规律电介质的极化特点与规律（1 1）电介质极化特点：内部场强一般不为零。）电介质极化特点：内部场强一般不为零。（2 2）空间任一点总电场）空间任一点总电场EEE0（3 3） 电极化强度与总电场的关系电极化强度与总电场的关系（各向同性线性电介质各向同性线性电介质 isotropy linearity）介质的电极化率介质的电极化率无量纲的纯数无量纲的纯数EPe01re（各向异性线性电介质（各向异性线性电介质 anisotropy） 张量描述张量描述eE与与、与晶轴的方位有关、与晶轴的方位有关30例：半径例：半径R的介质球均匀极化，极化强度为的介

26、质球均匀极化，极化强度为P（如图所示）（如图所示），求：求：1) 1) 介质球表面上极化面电荷的分布；介质球表面上极化面电荷的分布；2) 2) 极化电荷在极化电荷在球心处所激发的场强。球心处所激发的场强。cosPnP由此可知，右半球面上由此可知，右半球面上0左半球面上左半球面上0解：解：1) 1) 球面上任一面元处球面上任一面元处最大处，及 0；处，02极化电荷在介质球表面非均匀分布极化电荷在介质球表面非均匀分布n P0Sd31在球面上取环带在球面上取环带d Sqdd此电荷在球心处的场此电荷在球心处的场( (例例12.4)12.4)dcossin2cos4dd2020PRqE 00203dco

27、ssin2dPPEE E 沿沿 x 轴负方向轴负方向。)cos(PnPd2dRrSsinRr xPd0rdcossin2d2RPq2) 2) 极化电荷在球心处所激发的场强极化电荷在球心处所激发的场强在此环带在此环带上极化电上极化电荷是否均荷是否均匀分布？匀分布？323 电位移矢量电位移矢量 电介质中的静电场电介质中的静电场1.有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场S)q(qSE内S001d内SSSPqd代入得代入得SSqS)PE内00d(定义：电位移矢量定义：电位移矢量PED0SSqSD内0d 通过电介质中

28、任一闭合曲面的电位移通量等于该通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的面包围的自由电荷自由电荷的代数和的代数和 有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理33之间的关系P、E、D . 2PED0EPr) 1(0EEDr0思考：思考：有电介质存在时，电场由电介质上的极化电荷和其他有电介质存在时，电场由电介质上的极化电荷和其他电荷电荷共同共同决定。这其他电荷包括金属导体上所带的电荷，统决定。这其他电荷包括金属导体上所带的电荷，统称自由电荷。称自由电荷。一般情况：只给出自由电荷的分布和电介质的分布，一般情况：只给出自由电荷的分布和电介质的分布，极化电极化电荷的分布是未知的荷的分布是未知的。EEE

29、0EqEq00逻辑关系：逻辑关系：Eq从起点回到起点。从起点回到起点。引入引入辅助物理量电位移矢量辅助物理量电位移矢量EDq0nP EPr) 1(034有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用（1 1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的 高斯面，求出电位移矢量。高斯面，求出电位移矢量。（2 2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3 3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4 4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。）根据束缚电

30、荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。EDq035例：一半径为例：一半径为R的金属球的金属球，带有电荷带有电荷q0，浸埋在均匀浸埋在均匀“无限大无限大”电介电介质（电容率为质（电容率为 ），求球外任一点），求球外任一点P 的的场强场强及及极化电荷分布极化电荷分布。解解: : 根据金属球是等势体，而且介质根据金属球是等势体，而且介质又以（球体）球心为中心对称分布，又以（球体）球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高斯定理。电介质时的高斯定理。 如图所示，过如图所示，过P点作一半径为点作一半径为r并并与金属球同心的闭合球面与金属球同心的闭合球面S

31、，由高斯定，由高斯定理知理知024ddqrDSDSDSS所以所以204 rqD写成矢量式为写成矢量式为rrqD304R q0SprDEDrrErrqrrqDE0300304436rrErrqrrqDE03003044rrqD304 结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的其场强减弱到真空时的 1/r倍倍. .rrqrrqrrqPrrr144430300030 电极化强度与电极化强度与r有关，是非均匀极化。在电介质内部有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处

32、极化面电荷分布在与金属交界处的电介质表面上的电介质表面上（另一电介质表面在无限远处）。（另一电介质表面在无限远处）。PED0下求极化电荷分布下求极化电荷分布: :如何解释？！如何解释？！37rrrqqq0001因为因为 r 1，上式说明上式说明 恒与恒与q0反号，反号，在交界面处在交界面处极化电荷的总电荷量极化电荷的总电荷量为为总电荷量减小到自由电荷量的总电荷量减小到自由电荷量的1/1/ r倍，这是倍，这是离球心离球心r 处处P点的场强点的场强减小到真空时的减小到真空时的1/1/ r倍的原因。倍的原因。rrRq1420 RrnP| n 0P rrqPrr1430rrr0214qRqrr在交界面

33、处自由电荷和极化电荷的在交界面处自由电荷和极化电荷的总电荷量总电荷量为为Rq0384 电容与电容器电容与电容器任何孤立导体，任何孤立导体，q /U与与 q、U均无关，定义为电容：均无关，定义为电容：UqC 电容单位：法拉（电容单位：法拉（F）pF10nF10F101F12961. 1. 孤立导体的电容孤立导体的电容导体球电容导体球电容UqCR04孤立导体球孤立导体球RqU041R电容只与几何因素和电容只与几何因素和介质有关介质有关固有的容电本领固有的容电本领欲得到欲得到1F的电容，的电容，孤立导体球的半径孤立导体球的半径R ？由孤立导体球电容公式由孤立导体球电容公式RC04ERmR39010)

34、(10941392.电容器的电容电容器的电容电容器：两相互绝缘的导体组成的系统。电容器：两相互绝缘的导体组成的系统。电容器的两极板常带等量异号电荷。电容器的两极板常带等量异号电荷。q 其中一个极板电量绝对值其中一个极板电量绝对值U1 U2 两板电势差两板电势差U电容器的电容器的电容电容：21UUqC几种常见电容器几种常见电容器计算电容的一般方法：计算电容的一般方法： 先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电势差，最后代入定义式。出电势差，最后代入定义式。UqCUEQ,40（1 1）平板电容器）平板电容器0ElEUUdd0UUqC0dS0几种常见真

35、空电容器及其电容几种常见真空电容器及其电容（2 2）圆柱形电容器）圆柱形电容器rE02lEUUdrrBARRd20UUqC0ABRRlln20ABRRln20)(lqRBRA lSd41（3 3）球形电容器）球形电容器204rqElEUUdUUqC0ABBARRRR04rrqBARRd420)11(40BARRqRARB0（4 4）电介质电容器）电介质电容器理论和实验证明理论和实验证明 0CCr C 充满介质时电容充满介质时电容 r 相对介电常数相对介电常数( (相对电容率）相对电容率）C0 真空中电容真空中电容42+e 空间任一点总电场空间任一点总电场EEE0 电介质内电场电介质内电场000

36、0EEE00PE EEe 0+0+-00EEE以以“无限大无限大”平行板电容器为例：平行板电容器为例：EPe0PnP)1 (1000eeEErE0 两板间电势差两板间电势差)1 (00edEdU1re理论证明理论证明 43 充满电介质时的电容为充满电介质时的电容为dSUSUqCe)1 (000)1 (Ce00)(1er+e+0+-00EEErEE00CCr注意注意: 电介质内部场强减弱为外场的电介质内部场强减弱为外场的1/ r 这一结论并不普遍成立这一结论并不普遍成立。均匀各向同性电介质充满两个等势面之间均匀各向同性电介质充满两个等势面之间rEE0)1 (00edEdU44解（解（1 1）设场

37、强分别为）设场强分别为E1和和E2，电位移，电位移分别为分别为D1和和D2，E1和和E2与板极面垂直，与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得由电荷为零。由电介质时的高斯定理得例：平行板电容器两板极的面积为例：平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充，如图所示，两板极之间充有两层有两层电介质电介质，电容率分别为，电容率分别为 1和和 2，厚度分别为，厚度分别为d1 1和和d2 2，电容，电容器两板极上自由电荷面密度为器两板极上自由电荷面密度

38、为 。求（。求（1 1）在各层电介质的电）在各层电介质的电位移和场强，（位移和场强，（2 2）电容器的电容。）电容器的电容。0d211SDSDSDS所以所以21DD ED121221rrEE S1+ E1E2D1D2d1d2AB 1 2-r0 可见在这两层电介质中场可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率强并不相等，而是和电容率 （或相对电容率（或相对电容率 r）成反比。）成反比。45+ E1E2D1D2d1d2AB 1 2- 为了求出电介质中电位移和场强的大为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面小，我们可另作一个高斯闭合面S2，如图，如图中中左边虚线左边虚线所示，

39、这一闭合面内的自由电所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得高斯定理，得S2SSDSDS12d再利用再利用222111,EDED可求得可求得,0111rE0222rE方向都是由左指向右。方向都是由左指向右。21DD1D46221122112211ddSqdddEdEUUBA1221212211ddSddSUUqCBAq=S 是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为可见电容和电介质的放置次序无关。上述结果可以可见电容和电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每

40、一层推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。电容器两极板的表面相平行）。解解: : 正、负两极板正、负两极板A、B 间的电势差为间的电势差为（2 2）电容器的电容）电容器的电容2211EE+ E1E2D1D2d1d2AB 1 2-47+ E1E2D1D2d1d2AB 1 2-1221212211ddSddSUUqCBA（2 2）电容器的电容）电容器的电容另解：另解：平行板电容器：平行板电容器：dSC00）（rrrdSdSCC000本例可看成两个电容器的串联本例可看成两个电容器

41、的串联21111CCC1221212211211111ddSSdSdCCC48kab现象：灯泡会出一次强闪光。现象：灯泡会出一次强闪光。应用：照相机上的闪光灯。应用：照相机上的闪光灯。分析：能量转换分析：能量转换充电：充电：电容器从电源获电容器从电源获得能量。得能量。 放电：闪光灯从放电：闪光灯从电容器获电容器获得能量。得能量。进一步得分析：进一步得分析：电容器如何从电源获得能量；电容器如何从电源获得能量；能量分能量分布在何处布在何处 。5 静电场的能量静电场的能量49 设某时刻，极板上所带电量为设某时刻，极板上所带电量为q，板间电势差板间电势差U=q /C，移移动动dq电量电量，外力克服电场

42、力所作的功。外力克服电场力所作的功。qUAdd qCqdQq0 ：QqCqA0dCQ221QUCU21212 将正电荷由负极迁移到正极过程中将正电荷由负极迁移到正极过程中电源反抗电场力作功，电源反抗电场力作功， 转化为静电能（根本上说是电场的转化为静电能（根本上说是电场的能量，分布在电场所在空间中）。能量，分布在电场所在空间中）。以平行板电容器为例以平行板电容器为例板间电势差：板间电势差：UC、 UQ+QC、Udqq+q50例例: :平行板空气电容器每极板的面积平行板空气电容器每极板的面积 S= 310-2m2， 板极间的距离板极间的距离d = 310-3m。今以厚度为今以厚度为d= 110-

43、3m的的铜板铜板平行地插入电容器内。平行地插入电容器内。(1)(1)计算此时电容器的电容；计算此时电容器的电容；(2)(2)铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？(3)(3)使电容器充电到两极板的电势差为使电容器充电到两极板的电势差为 300V 后与电源断开，后与电源断开， 再把再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？dSC0解解: :（1 1）铜板未插入前的电容为铜板未插入前的电容为d1d2dd C1C2+ A B设平行板电容器两板极上带有电荷设平行板电容器两板极上带有电荷q, 铜板平铜板平行的两表面上将分别产生感

44、应电荷，面密度也行的两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为为 ，如图所示，此时空气中场强不变，铜如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板板中场强为零。两极板A、B的电势差为的电势差为ddEdEdEUUUBAAB0201051ddSUUqCBA0所以铜板插入后的电容所以铜板插入后的电容C 为为答答: : 由上式可见由上式可见，C 的值与的值与d1和和d2无关（无关（d1增大时，增大时，d2减小减小;d1+ d2=d - d 不变），所以铜板离极板的距离不影响不变），所以铜板离极板的距离不影响C 的值。的值。d1d2dd C1C2+ A BddEdEdEUUUBAAB02010000S

45、qE（2 2）铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？Sddq052解：解：（3 3）铜板未抽出时，电容器被充电到）铜板未抽出时，电容器被充电到U=300V，此时所此时所带电荷量带电荷量Q=C U，电容器中所储静电能为电容器中所储静电能为能量的增量能量的增量W-W 应等于外力所需作的功，即应等于外力所需作的功，即CQW221当电容器与电源切断后再抽出铜板，电容器所储的静电能增为当电容器与电源切断后再抽出铜板，电容器所储的静电能增为CQW221（3 3）使电容器充电到两极板的电势差为）使电容器充电到两极板的电势差为300300V后与电源断开，后与电源断开，再把

46、铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？22002222112ddUdSSdQCCQWWWA代入已知数据，可算得代入已知数据，可算得J1099.26A53 2121 20EDEre仍以平行板电容器为例仍以平行板电容器为例d d/0EUSCrd2121202SECUWrVEr2021能量密度能量密度VWe电场能量电场能量VeVWd电容器是一种储能元件，在电路中用于调谐、滤波、电容器是一种储能元件，在电路中用于调谐、滤波、耦合、旁路、能量转换和延时。耦合、旁路、能量转换和延时。 对电场空间积分对电场空间积分54例例: :圆柱型电容器如图所示。求：圆柱型电容器

47、如图所示。求： （1）带电量为带电量为Q时，两极板间的总能量；时，两极板间的总能量；（2）电容器电容。电容器电容。 解：解：R1 r R2 内内rlQEr1202021Ere2202218rlQrVeVWd lR2R1 rrrlVd2d0rVeVWd21d402RRrrrlQ1202ln4RRlQrCQW221 120/ln2 RRlCr求电容的另一种方法求电容的另一种方法55例：例： 求无限长均匀带电圆柱面的电场分布求无限长均匀带电圆柱面的电场分布(R, )sDSDd rlDSD2d侧下底上底侧SDSDSDddd内qrlqD2解解: 电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。Er