面积问题测试卷_第1页
面积问题测试卷_第2页
面积问题测试卷_第3页
面积问题测试卷_第4页
面积问题测试卷_第5页
已阅读5页,还剩6页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、面积问题测试卷我们已经学过的面积公式有:(1) S三弟第=aha (其中h旅不应边上的高).(2)S平行四边形=ah(其中h表示a边上的高).(3)(a+b) h (其中如b表示悌形中,两条平行边燃席2的长,h表示平行边之间的距离).由于多边形可以分割为若干个三角形,多边形的面积等于各三角形面积和,因此, 三角形的面积是面积问题的基础.等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题,它是数学课外活动的重要内容,这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形.等积变形是指保持面积不变的多边形的变形.三角形的等积变形是多边形等积变形的基础,关于三角形的等积变形有以下几个主要事实:(1)等底等高的两个三

2、角形面积相等.(2)两个三角形面积之比,等于它们的底高乘积之比.(3)两个等底三角形面积之比,等于它们的高之比.(4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比.例1已知 ABC三边长分别为a, b, c,对应边上的高分别为ha=4, hb=5, hc=3.求 a : b : c.解设ABC勺面积为S,则.1仁 33-a * ha = b * hb = - c * hc = 2a = - b = -c,22222s 9 o所以氢=,b =c =心J所以1 22a b c 一 一:一二15: Ie: /0.2 53说明 同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法,由此获得三边之比.例2如图151,

3、 口ABCD勺面积为64平方厘米(cm2) , E, F分别为AB, AD的中 点,求4CEF的面积.分析由于CEF底底与高难以从平行四边行的面积中求出,因此,应设法将四边 形分割为三角形,利用面积比与底(高)比来解决.解连接AC E为AB中点,所以ABCE2 A ABC一 s4 *ABCD16 1平方厘米).同理可得SAcdf=16(平方厘米).连接DE DB,F为AD中点,所以卜&融(平方厘米).从而S cEF=SBCBaEF-SSe=64-16-16-8=24(平方厘米).说明(1) EF是所在边的中点启发我们添加辅助线BR DE(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相

4、等是由平行四边形 对边相等及平行线间的距离处处相等,从而这两个三角形的底、高相等获知的.例3如图1-52所示.已知ABC的面积为L且BD = :DC, 9af = Jfd, ce=Jef.求def的面积.分析 直接求 DEFH积有困难,观察图形,发现 DEF与DCFW共同白顶点D, 其底边在同一条直线上,因而,高相同.所以工口瓯EE _ 2S.dcf CF 3于是,求 DEF的面积就转化为求 DCF勺面积.用同样的办法可将 DCFI勺面积 转化为4ADC的面积,进而转化为 ABC勺面积.解因为CE = :EF,所以EF = 2CE, ZXDEF与dcf有共同的顶2点D,且底边EF,同一条直线上

5、,所以CF在_ EF _ 2S=CF = 3-EF: CF=2: 3,同理,DC%DCAt共同白顶点C,且底边DF, DA在同一条直线上,由已知DF:DA=2: 3,所以s岫笆=2Zwa 3同样等生工9,所以aECA 3222C -? *?Q A四 ADCF 一5- dDCA222 82q2 tiBCA nr例4用面积方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边.图 1-53分析与解 如图1 53所示.设E, F分别是AB, AC的中点,可求得 EBCf FBC 的面积相等(均为 ABC面积的一半).由于这两个三角形同底BC,因而这两个三角形的 顶点E, F在一条与底边BC平行的直线上,所以EF/

6、 BC说明(1)从证题过程看出,条件E, F是所在边的中点”可以推广为啜喂-AE AF或=AB AC等,事实上BE _ - iCBE CF _ 5 以rcfBA S血cab CA S血EgQ 巾 CAB从V而 S cBE=Sa bCF.这两个三角形同底BG因此,它们的顶点E, F的连线与底边平行.(2)同样用面积的方法可以证明如下事实:三角形 ABC中,若EF/ BC且AE: EB=m 则AF: FC=m请同学们自己证明).例5如图154.在AABC中,E是AB的中点,D是AC上的一点,且AD: DC=2: 3, BD与 CE交于 F, Saabc=40,求 &EFD.图 1-54分析 四边形

7、AEFD可分割为 AEMADEF从E是AB中点及D分AC为2 : 3的条 件看,人口面面积不难推知,关键是如何推求 DEFI勺面积.为此,需通过添加辅助 线的办法,寻求 DEF的面积与已知面积的关系.解 取AD的中点G,并连接EG在ABD+, E是AB的中点,由例3知EG/ BD又CD: DG=3 1,从而,在 CEG,CF: FE=CD DG=3: 1(例 3 说明(2),所以 S DFC : Sa dfe=3 : 1.设 Sa DEF=x,贝U SAdfc=3x, Sa dec=4x.由于AD: DC=2: 3,所以Saead: Saec=2 : 3,28S = S = - xQ&eq a

8、dec 3 基,于是820= 3芯+ 4x =至芯又因为E是AB中点,所以SAAE =50&ABC =20,nnp所以9k = 20, x = 3, SPSiDEF = 3.所以&2五=百笈二&所以S二,aEFD=S aDE+S DE = 8 + 3=11 .说明 在三角形中,利用平行线实行比的转移,再利用等积变形,得到相应的面积 的比,从而将欲求的 DEF的面积与已知的 ABC的面积“挂上了钩”.这里取 AD的中 点G,得到BD的平行线EG是关键.例6如图1-55所示.E, F分别是 abcD勺边ad, AB上的点,且BE=DF BE与 DF交于O.求证:C点到BE的距离等于它到DF的距离.

9、图 I- 55分析过C作CGL BE于G, CHL FD于H, WJ CG CH分别是C到BE, DF的距离,问 题就是要证明CG=CH结合已知,BE=DF可以断言,BCE勺面积等于 CDF的面积.由 于这两个三角形的面积都等于 ABCDS积的一半,因此它们等积,问题获解.解连接CF, CE因为S AbCE=S cDF.二 $&CAD - 2 2娅所以因为BE=DF所以CG=CH(GGCH另I表示BE, DF上的高),即C点到BE和DF的距离相等.说明(1) BCEfCDF两个形状及位置完全不同的三角形, 它们面积相等正是通 过等积变形一一都等于同一平行四边形的面积之半.(2)通过等积变形可以

10、证明线段的相等.练习十四1 .如图 1 56所示.在 ABC中,EF/ BG 且 AE: EB=m 求证:AF : FC=mA图 1-5TE2 .如图1 57所示.在梯形 ABCD中,AB/CD若 DCE的面积是ADCB的面积的?,问 ZYDCE的面积是AABD的面积4的几分之几?3 .如图1 58所示.已知P为 ABC内一点,AP, BP, CP分别与对边交于D, E, F,把 ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出.求 ABC的面 积.4 .如图1 59所示.P为ABCft任意一点,三边a, b, c的高分别为ha, hb, hc,且P到a, b, c的距离分别为tatb, tc.证:六+廿

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论