(完整版)斯普林菲尔德分配学生答案

1、第1页共12页 1概述 研究的背景 斯普林菲尔德（Spri ngfield ）学校董事会打算在年底关闭它的一所中学（包括 6,7,8 年级），并在下一年将这些年级的学生分配到另外三所中学去。学校为离校距离 超过 1 英里的所有学生提供上下课的接送服务， 因此，为了节省公交费用，学校将对学生进 行分配。从该城市的六个居住区到各所学校， 每个学生的一年的公交费用如下表所示 （表中 还给出了下一年的其他一些基本数据） 。其中，0 表示不需要公交服务，而“”表示这种 分配不可能。 地区 学生数量 6 年级比例 7 年级比例 8 年级比例 每学生的校车成本（美兀） 学校 1 学校 2 学校 3 1 45

2、0 32 38 30 300 0 700 2 600 37 28 35 一 400 500 3 550 30 32 38 600 300 200 4 350 28 40 32 200 500 一 5 500 39 34 27 0 一 400 6 450 34 28 38 500 300 0 学校容量 900 1100 1000 学校的董事会规定每个学校里， 每一年级的学生人数必须在总人数的 30%- 36%之间， 上表显示了第二年每个地区学校的各年级的学生比例。 可以划出学生上学的地区界限， 以便 于在多所学校之间分配学生。但是，不管如何分配，上表所要求的每所学校的各年级的比例 必须得到满足。

3、 假设学校雇用你作为管理科学的顾问，帮助学校决定如何在各所学校之间分配学生。 2模型的建立 2.1 基础数据的建立 目标函数系数的确定 通过观察分析，我们可以知道：目标函数 =各个居住区分配到某个学校的人 数*该居住区到这个学校的学生公交费用 经过调查分析，总结出各个居住区到学校的公交花费， 我们统计了一个学生 每年从家里到学校所要花费的公交费用， 为了更加清晰明了，我们以表格的形式 进行整理：第2页共12页 1.3.1各个居住区的学生到不同学校的每年公交的费用 地区 每位学生每年的公交成本 学校 1 学校 2 学校 3 1 300 0 700 2 400 500 3 600 300 200

4、4 200 500 5 0 400 6 500 300 0 注：“一”表示费用无穷大，不分配学生。 居住区学生总人数以及各个年级学生的数量 根据学校的调查结果，发现一共有 6 个居住区，每个居住区的学生数量、 各个年级学生在这个居住区中所占的比例， 都进行了统计，由于数字比较多，为 了更加清晰的表达出来，我们进行了一系列的整理与分析， 通过一定的计算，因 而得到如下表格 1.3.2 A 各个居住区学生总数量与各个年级的学生比例 地区 学生数量 6年级 比例% 7 年级 比例% 8 年级 比例% 1 450 32 38 30 2 600 37 28 35 3 550 30 32 38 4 350

5、 28 40 32 5 500 39 34 27 6 450 34 28 38 总计 2900 1.3.2 b 各个年级学生的总体数量 地 区 学生 数量 6 年级 比例% 7 年级 比例% 8 年级 比例% 每个年级学生数量 总计 6 年 级 7 年级 8 年 级 1 450 32 38 30 144 171 135 450 2 600 37 28 35 222 168 210 600 3 550 30 32 38 165 176 209 550 第3页共12页 4 350 28 40 32 98 140 112 350 5 500 39 34 27 195 170 135 500 6 45

6、0 34 28 38 153 126 171 450 总 计 2900 977 951 972 2900 各个学校的可容纳量 由于学校的规模不一样，可容纳的学生数量也就不一样，因此通过学校的研 究，这些学校还可以容量的学生数量为，我们同样通过表格来表示： 1.3.3 各个学校的可容纳量（人） 学校 1 学校 2 学校 3 总计 学生容纳量 900 1100 1000 2900 各个学校不同年级学生的可容纳量 由于校方规定，每个学校里，每一个年级的学生人数必须在总人数的 30% 36%之间，则根据这个要求我们又得到每个年级最大与最小接收量。经过计 算，我们同样通过表格体现： 1.3.4各个学校不

7、同年级学生的可容纳量 学校 1 学校 2 学校 3 学校容量 900 1100 1000 各年级可 容纳量 最小 最大 最小 最大 最小 最大 6 年级 270 324 330 396 300 360 7 年级 270 324 330 396 300 360 8 年级 270 324 330 396 300 360 总计 1710 972 990 1188 996 1080 学校可容纳量的总数一定 学校可容纳量的总数为 3000 2.2 变量的设定 设各个居住区中各个年级分配到不同学校的数量分别是:第4页共12页 由于变量相对比较多，写起来比文字叙述过于复杂，我们就通过表格来表未 清楚: 变量

8、 居住 区 各个居住区中不同年级的学生分配到各个学校的人数 学校 1(x1) 学校 2(x2) 学校 3(x3) 6 年级 7 年级 8 年级 6 年级 7年级 8 年级 6 年级 7 年级 8 年级 1 x11 x12 x13 x111 x112 x113 x121 x122 x123 x131 x132 x133 2 x22 x23 x221 x222 x223 x231 x232 x233 3 x31 x32 x33 ：x311 x312 x313 x321 x322 x323 x331 x332 x333 4 x41 x42 x411 x412 x413 x421 x422 x423

9、5 x51 x53 x511 x512 x513 x531 x532 x533 6 x61 x62 x63 x611 x612 x613 x621 x622 x623 x631 x632 x633 2.3 目标函数的建立 根据上述基础数据可以得出如下目标函数 Min f(x)=300 x11+600 x31+200 x41+500 x61+400 x22+300 x32+500 x42+300 x62 +700 x13+500 x23+200 x33+400 x53 目标函数=各个居住区分配到某个学校的人数 *该居住区到这个学校的学生 公交费用 要使总损益值最小，只需要该目标函数取得极小值即可

10、， 这与研究问题的目 的是相一致的。 限制条件 案例中 a 题的约束条件 居住区的学生总数量的约束 x11+x12+x13=450 x22+x23=600 x31+x32+x33=550 x41+x42=350 x51+x53=500 X61+X62+X63=450 第5页共12页 各个学校可容纳量的约束 X11+X31+X41+X51+X61-X 仁 0 x21+x22+x32+x42+x62-x2=0 X13+X23+X33+X53+X63-X3=0 各个学校中各个年级人数的约束 X111+X121+X131=144 x112+x122+x132=171 X113+X123+X133=13

11、5 x221+x231=222 x222+x232=168 x223+x233=210 X311+X321+X331=165 x312+x322+x332=176 x313+x323+x333=209 X411+X421=98 X412+X422=140 X413+X423=112 X511+X531=195 X512+X532=170 X513+X533=135 X611+X621+X631=153 x612+x622+x623=126 X613+X623+X633=171 各个居住区总学生人数的限制 X111+X112+X113-X11=0 X311+X312+X313-X31=0 X41

12、1+X412+X413-X4 1=0 X511+X512+X513-X51=0 X611+X612+X613-X61=0 x121+x122+x123-x21=0 x221+x222+x223-x22=0 x321+x322+x323-x32=0 x421+x422+x423-x42=0 x621+x622+x623-x62=0 x131+x131+x133-x13=0 x231+x232+x233-x23=0 x331+x332+x333-x32=0 x421+x422+x423-x42=0 x621+x622+x623-x62=0 x131+x132+x133-x13=0 x231+x23

13、2+x233-x23=0 x331+x332+x333-x33=0 x531+x532+x533-x53=0 x631+x632+x633-x63=0 居住区各个年级人数的约束 x111+x311+x411+x511+x611-0.3x10 第6页共12页 x111+x311+x411+x511+x611-0.36x10 x112+x312+x412+x512+x612-0.36x10 x113+x313+x413+x513+x613-0.36x10 x121+x221+x321+x421+x621-0.36x20 x122+x222+x322+x422+x622-0.36x20 x123+x

14、223+x323+x423+x623-0.36x20 x131+x231+x331+x531+x631-0.36x30 x132+x232+x332+x532+x632-0.36x30 x133+x233+x333+x533+x633-0.36x30 案例中 c 题的约束条件 同 a 题约束条件 1-4,无条件 5 约束，但增加约束条件 6 居住区学生分到同一学校的约束 X(ijk )这些所有的变量均为整数 3模型的求解及解的分析 3.1 模型的求解 对该线性规划进行求解，结果如下所示 a .为该问题建立线性规划模型。 学檢编号 0年级 8坏级 地区1 1 0 0 0 2 144 171 13

15、5 3 0 0 0 1 0 0 0 2 222 16& 210 3 0 0 口 第7页共12页 地区却 1 Q Q 11 Q 21 3 1S5 17 6 1 77 地区从 1 98 139 112 2 O 1 ： 0 0 地区丘 1 1&3 1.7 II I.3S 2 0 0 3 门 0 0 1 门 u 0 : o 0 0 3 153 12& 1 71 咎核訂召年级人裁 1 2 309 253 2 3G 340 3 3 31 3 34 第8页共12页 目标函数 426800 学植编号 各区植人数合计 答区植公父咸本 地区1 1 0 30 2 450 0 3 0 70 地险 1 0 2 600

16、403 0 50地区3 1 11 60 2 21 303 518 20地区4 1 349 202 1 50 3 0 地区目 1 500 0 2 0 3 0 40 地区呂 1 0 502 0 303 450 0 b 你给学校董事会的最终建议是什么？ 由以上的求解结果可知，当各个居住区的学生人数分配取得相对应的值时, 即为最终成本达到 426800美元。宜号 各区总学產 麹 144 171 135 逐 iaa 皿 16& 1TE 2Q9 98 140 H2 15S 1阳 13S 153 12S 171 RR-, r.inrrtA 1C72 r?.7 訓 严； 25 R 鬲 Jg W21- E ；2

17、1.6 ： 1 ii 哎总 A. 4 _aso. 102 968 9C0 1100 1CW0 293_ 25貸 點 6 他.；-.ru in 3OT-BQWPdl 3號- vl S, 4 F DL36 I5r 5QC 地函学对 地区日罕較 V 第9页共12页 c 根据这一点调整你的建议，使同一个地区尽可能的分配在同一所学校里。 （加人这一限 制可能会使你不得不取消另外一些约束。 ）这样做会增加多少公交成本？（在案例 9.4 中将 会对这一类的分析进一步探讨。） 决策娈量 各区狡人数 学校1 学棍 地区1 0 150 0 地区2 0 600 0 地区活 0 0 550 地区4 350 0 0 地

18、区5 500 0 0 地区& 0 1. 450 约束条件1 约義条节立 约京爭件3 刍学校学三E灣 不弁配区顷 1 45= +50 迦 55i 350 500 西。| 1050 1000 0 = 5 0 : = eoo 1100 1000 0 臥 = 50 45 目标圈数 420000 楼车成习 学校1 学校Z 学校盘 地区1 300 0 700 地陞 40500 ME3 600 30 200 1地函 200 50 地函 0 400 地反百 500 30 0 最终成本是 420000，成本较 a 题减少 6800 元。 d.将问题 a 中的模型加人选项 I重新考虑，并求解。将结果与 b 中的结

19、果想比较，包括公 交总成本的减少。第10页共12页 来策变量 学校编号 7年级 E年级 地区1 1 0 0 0 2 144 L71 13S 3 0 0 0 r地也 1 0 0 0 2 202 168 210 3 20 0 0 地区3 1 0 0 0 2 0 Q 8 3 165 176 201 地区4 1 93 140 112 2 0 0 0 3 0 0 地区帝 1 195 170 2 0 0 3 0 Q 0 地因 1 0 0 12 2 0 0 0 3 LS3 126 1S9 1 23125 2 346. 0000004 33 35 3 337. 9993996 30 36 目标函数 250400 学孩编号 晋区枝人数合计 各区校公父成本 地区 1 0 50 2 450 0 3 0 70 地区2 1 0 2 580 400 3 20 500 地区3 1 0 60 2 3 30 3 542 0 ME4 1 1 350 0 0 50 3 0 地区！5 1 500 0 2 0 3 0 to 1 12 50 2 0 30 巳438 0 成本为 250400，较 a 题减少 176400.