第四章_能带理论习题

1、固体物理学固体物理固体物理14.2 写出一维近自由电子近似，第写出一维近自由电子近似，第n个能带（个能带（n=1,2,3）中，简）中，简约波矢约波矢 的零级波函数的零级波函数ak2一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数 )2(21 (1)(22222xaninnmxaixk ikeankkmVeeLx第第n个能带零级波函数个能带零级波函数mxaixk ineeLx201)(xamaineLx)22(01)(第四章能带理论习题第四章能带理论习题固体物理学固体物理固体物理2xaieLxm2011)(0 xamaineLx)22(01)(第一个能带第

2、一个能带xaieL21ak2固体物理学固体物理固体物理3xaaieLxm)22(021)(1第二个能带第二个能带xaieL231ak2xaaieLxm)22(031)(, 1第三个能带第三个能带xaieL251xamaineLx)22(01)(固体物理学固体物理固体物理44.3 电子在周期场中的势能函数电子在周期场中的势能函数bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222且且a=4b， 是常数。是常数。1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值；画出此势能曲线，并计算势能的平均值；2) 用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二

3、个带隙宽度宽度 固体物理学固体物理固体物理5bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222固体物理学固体物理固体物理6势能的平均值势能的平均值LikxikxdxeLxVeLV01)(1LNabnabnaikxikxdxeLnaxbmeLNV1)(211222222() 2na bna bNVmbxnadxL令令nax2221()2bbVmbda2296aVm固体物理学固体物理固体物理7在近自由电子近似模型中，势能函数的第在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数 akkidVeanV0)()(1)(nakk2bbnaidbeamnV)(2)(2222

4、2221( )() 2V xmbxnanabxnabnaxbbaidbeamV)(222221第一个带隙宽度第一个带隙宽度112VEg固体物理学固体物理固体物理8() ()()2222(cossin)(cossin)(cossin)222222xyzxyzsaaaai k ik j k kijkikkkik Ryyxxzzeeek ak ak ak ak ak aiii 类似的表示共有类似的表示共有8项项kajaiaRs22201( )ssik RssRNearestEkJJe 2cos2cos2cos8)(10akakakJJkEzyxss 归并化简后得到体心立方归并化简后得到体心立方s态原

5、子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带固体物理学固体物理固体物理9只计入最近邻格点原子的相互作用时，只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应态原子能级相对应的能带函数表示为的能带函数表示为NearestRRk issssseRJJkE)()(04.7 一维单原子链，原子间距一维单原子链，原子间距a，总长度为，总长度为LNa1) 用紧束缚近似方法求出与原子用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数态能级相对应的能带函数2) 求出其能带密度函数求出其能带密度函数 的表达式的表达式3) 如每个原子如每个原子s态中只有一个电子，计算态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级时的费

6、密能级 和和 处的能态密度处的能态密度0FE0FE)(EN固体物理学固体物理固体物理10对于一维情形对于一维情形, 任意选取一个格点为原点任意选取一个格点为原点 有两个最近邻的格点，坐标为：有两个最近邻的格点，坐标为：a和和aNearestRRk issssseRJJkE)()(0)()(10ikaikasseeJJkEkaJJkEsscos2)(10dkkaaJkdEs)sin2()(1kaaJkdEdkssin2)(1能带密度函数的计算能带密度函数的计算固体物理学固体物理固体物理11)()(412021kdEJkEJadksss102)(cosJJkEkass210)2)(1sinJJkE

7、kasskaJJkEsscos2)(10kaaJkdEdkssin2)(1对于一维格子，波矢为对于一维格子，波矢为 具有相同的能量，此具有相同的能量，此外考虑到电子自旋有外考虑到电子自旋有2种取向，在种取向，在dk区间的状态数区间的状态数k andk)()(42242021kdEJkEJNdkNadZsss固体物理学固体物理固体物理12能带密度能带密度T=0K的费密能级计算的费密能级计算总的电子数总的电子数00( )( )FkEsENN E dEk0010102cos2ksskEJJkaJJ其中其中00)()(42)(2021FkEEssskdEJEJNEN2021)(42)()(JEJNkd

8、EdZENsss固体物理学固体物理固体物理13001112arcsinarcsin222FsEJJJJ00012arcsin2FkEssEEJJ00FsEJT=0K的费密能级的费密能级1( )NN EJT=0K费密能级处的能态密度费密能级处的能态密度20021)(42)(JEJNENsF固体物理学固体物理固体物理14由于能带的交叠，能带由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带中的部分电子转移到能带2中，而中，而在能带在能带1中形成空穴，讨论中形成空穴，讨论 时的费密能级时的费密能级其中其中 为能带为能带1的带顶，的带顶， 为能带为能带2的带底的带底4.9 半金属交叠的能带半金属交叠的能带2

9、2111122220022( )(0),0.182( )()() ,0.062kE kEmmmE kE kkkmmm1(0)E20()E k120(0)()0.1EE keV0TK固体物理学固体物理固体物理15半金属的能带半金属的能带1和能带和能带2如图所示如图所示221112222002( )(0)2( )()()2kE kEmE kE kkkm能带能带1的能态密度的能态密度13( )2(2 )kVdSN EE21kkEm)()0(2111kEEmk固体物理学固体物理固体物理1613( )2(2 )kVdSN EE同理能带同理能带2的能态密度的能态密度111231/)()0( 24)2(2)

10、(mkEEkVEN)()()2()2(2)(022232222kEkEmVEN)()0()2()2(2)(11232121kEEmVEN111/)()0( 2mkEEEk固体物理学固体物理固体物理17 半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带带。由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带中的电子填充到能带2中，满足中，满足01(0)02()012( )( )FFkEEEEN E dENE dEdEkEEmVEEF)()0()2()2(21123212)0(10dEEkEmVFkEE)0()()2()2(202232220)0(2

11、固体物理学固体物理固体物理1801(0)02()0333322221112220(0)( )( )()FFkEEEEmEE kmE kE k0011220(0)()FFm EEm EE k01122012(0)()Fm Em E kEmm120.18,0.06mm mm120(0)()0.1EE keV020()0.075FEE keV固体物理学固体物理固体物理194.12 设有二维正方晶格，晶体势场设有二维正方晶格，晶体势场)2cos()2cos(4),(yaxaUyxU用近自由电子近似的微扰论，近似求出在布里渊顶角用近自由电子近似的微扰论，近似求出在布里渊顶角( /a, /a)处的能隙处的

12、能隙晶体布里渊顶角晶体布里渊顶角( /a, /a)处的能隙处的能隙112VEg在近自由电子近似模型中，势能函数的第在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数aGidUeanVn02)(1)(nRryxdddnGkk 固体物理学固体物理固体物理20)(),(2222yaiyaixaixaieeeeUyxU晶体势场晶体势场2211,anyanxnRr)(),(2211222221aiaiaiaieeeeUU)2cos()2cos(4),(yaxaUyxU固体物理学固体物理固体物理21aGidUeanVn02)(1)(nxykGkkkaa 22nxyGkkaa 布里渊顶角布里渊顶

13、角21bb代入代入yxaaaabbia aaiaiaiaiddeeeeeUaVyxyyxx)11()(0 02222212121)(1xykkkaa固体物理学固体物理固体物理22yxaaia aaiaiaiaiddeeeeeUaVyxyyxx)22(0 0222221)(1a ayxaiaiddeeUaVyx0 04421)1)(1 (1UV1UEg21布里渊顶角布里渊顶角 处的能隙处的能隙),(aa固体物理学固体物理固体物理例题：设晶格常数为a的一维晶格的周期性势场为xaVxU2cos2)(0用自由电子近似的微扰论，近似地求出布里渊区边界/a处的能隙 解：xaixaieeVxU220)(把U(x)展开为复数傅立叶级数)2exp()()0()(0nxainVUxUn固体物理学固体物理固体物理发现傅立叶系数只有两个，即0) 1() 1 (VVV而布里渊区边界/a正好是第一布里渊的边界，能级在此发生分裂，分裂值为02) 1 (2VV考虑一个二维正方格子，其晶格势场为yaxaVyxU2cos2cos4),(0固体物理学固体物理固体物理用自由电子近似的微扰论，近似地求出布里渊区顶角（ /a， /a ）处的能隙 考虑一个二维正方格子，其晶格势场为yaxaVyxU2cos2