电磁学-大学物理

1、上次课小结：上次课小结： 一、一、 电荷及其性质电荷及其性质1 1、电荷的种类：正电荷、负电荷、电荷的种类：正电荷、负电荷191.602 10Ce基本电荷基本电荷自然界中带电体所带电量总是基本电荷自然界中带电体所带电量总是基本电荷 e e 的整数倍：的整数倍： ,1, 2 , 3 .qn en2、电荷的量子化：、电荷的量子化：3 3、电荷守恒定律电荷守恒定律4 4、 电荷的相对论不变性电荷的相对论不变性在不同的参考系中观察，同一带电粒子的电量不变。在不同的参考系中观察，同一带电粒子的电量不变。在一个孤立系统内，无论进行怎样的物在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，正负电荷量的代数和保持不变

2、。理过程，正负电荷量的代数和保持不变。 二、二、 库仑定律库仑定律真空真空中两个中两个静止点电荷静止点电荷之间的相互作用力之间的相互作用力矢量矢量 方向：方向：由施力电荷指向受力电荷由施力电荷指向受力电荷r在国际单位制中在国际单位制中 k =8.988109 N m2/C21222018.85 10C /Nm4k 称称真空的介电常数真空的介电常数iiFF三、静电力的叠加原理三、静电力的叠加原理122014q q rFrr0qFE四、电场强度四、电场强度某点场强等于某点场强等于单位正电单位正电荷荷在该点所受的电场力在该点所受的电场力 iiEE五、场强叠加原理五、场强叠加原理某点的电场强度等于所有

3、带电某点的电场强度等于所有带电体在该处激发场强的矢量和体在该处激发场强的矢量和1、点电荷的场强、点电荷的场强2o4大小rqE根据点电荷的场强公式和场强叠加原理可以求出点根据点电荷的场强公式和场强叠加原理可以求出点电荷系和连续带电体产生的场强电荷系和连续带电体产生的场强4、均匀带电圆环轴线上的场强、均匀带电圆环轴线上的场强 2/32204xRqxE Ro oxEp2 2、无限长直线、无限长直线02yEEd3 3、半无限长直线、半无限长直线04yEd04 xEdPEdx（2）x RixqE2o40 x0 E（1）E pxxRs s5.5.均匀均匀带电圆盘在轴线上产生的场强带电圆盘在轴线上产生的场强

4、1/222012xEiRxs02Eis“无限大无限大”均匀带电平面的场强均匀带电平面的场强均匀电场！均匀电场！例：例： 均匀带电的物体以均匀带电的物体以0.8c0.8c的速度运动，与该物体静止时的速度运动，与该物体静止时的状态相比较，质量密度是静止时的多少倍，电荷密度是静的状态相比较，质量密度是静止时的多少倍，电荷密度是静止时的多少倍。止时的多少倍。0/2.78 201V021MVVdVdxdydz20001dx dy dz（1）静止时质量为静止时质量为M0，体积为，体积为V0，密度为，密度为0 0002221/1MMMvc带电体运动时：带电体运动时：由电荷的相对论不变性：由电荷的相对论不变性

5、：（2）0QQ0201eQQVV01.67ee作业（作业（173）用不导电的细塑料棒湾成半径为用不导电的细塑料棒湾成半径为R的圆弧，的圆弧，两端间空隙为两端间空隙为l (l R)，若正电荷若正电荷Q均匀分布在棒上，求圆均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。心处场强的大小和方向。2220044qlERR lRQ2解：解：设棒上电荷线密度为设棒上电荷线密度为圆心处场强可以看成是半径为圆心处场强可以看成是半径为R R的的均匀带电均匀带电园环园环与长度为与长度为l、电荷线密度为电荷线密度为的的均匀带均匀带电棒电棒产生的场强之差。产生的场强之差。lRo o10E 圆环在圆心处产生的场强为零圆环在圆心

6、处产生的场强为零lR ，棒可视为点电荷，棒可视为点电荷方向从圆心指向空隙处方向从圆心指向空隙处所以：所以：12204lEEER 作业（作业（175）在无限长均匀带电细棒在无限长均匀带电细棒A旁垂直放置一均匀旁垂直放置一均匀带电的细棒带电的细棒B. 且两棒共面，若两棒的电荷密度均为且两棒共面，若两棒的电荷密度均为 ，细棒，细棒B长为长为l ，左端到，左端到A棒距离也为棒距离也为l，求求B受到的电场力。受到的电场力。2200222llFdxlnx 02Ex解：解：A A棒在棒在X X处产生的电场为处产生的电场为dFE dqEdx dx段受力段受力:ldxxlA作业作业17176 6：将一绝缘细棒弯

7、成半径为将一绝缘细棒弯成半径为R R的半圆形，其上半段的半圆形，其上半段均匀带有电量均匀带有电量Q Q，下半段均匀带有电量，下半段均匀带有电量Q Q。求半圆中心处的。求半圆中心处的电场强度。电场强度。解：设线密度为解：设线密度为224QQR /R 0OxE 由于对称性由于对称性:222200024ORdQEcosRR xyROdEdQdQdddQdQ在在O点处的电场点处的电场:22OOyyyEEEE 204ydQdEdE coscosR dQRd 沿轴沿轴y y负方向负方向作业作业17177 7：线密度为线密度为的无限长均匀带电细线，弯成如图的无限长均匀带电细线，弯成如图所示形状。若圆弧半径为

8、所示形状。若圆弧半径为R R，试求，试求O O点的场强。点的场强。xyROAB解：解：O O点的场强可以看作是两个半无点的场强可以看作是两个半无限长直导线和半圆在限长直导线和半圆在O O点产生场强的点产生场强的叠加叠加 0044BxByE, ERR 导线导线B:0044AxAyE, ERR 导线导线A:222200022442xdQRdEcoscosRRR圆环：圆环：dQdQdd总电场总电场E0 二、二、 高斯定理高斯定理 1.1.电力线（电场线）电力线（电场线）电力线是按下述规定画出的一系列假想的曲线：电力线是按下述规定画出的一系列假想的曲线：（1 1）线上每一点的切向就是该）线上每一点的切

9、向就是该点的电场强度方向点的电场强度方向E线线切线切线 E（2 2）该点处的电力线的密度）该点处的电力线的密度等于等于该处场强大小该处场强大小ddNES电力线密度电力线密度:垂直场强方向的单位垂直场强方向的单位面积上穿过的电场线条数面积上穿过的电场线条数dNdSP电偶极子电偶极子一对等量正点电荷一对等量正点电荷平板电容器平板电容器一对异号不等量一对异号不等量点电荷点电荷电电力线的基本性质：力线的基本性质：（1 1）电力线起始于正电荷（或无穷远处），）电力线起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或伸向无穷远处），电力线不终止于负电荷（或伸向无穷远处），电力线不会在没有电荷的地方中断；会在没有

10、电荷的地方中断；（2 2）电力线不能形成闭合曲线（因为电场中）电力线不能形成闭合曲线（因为电场中每一点处的场强都具有确定的方向）。每一点处的场强都具有确定的方向）。2 2电通量电通量 （1）均匀电场）均匀电场ESESEScos E S 单位：单位：VmSnE在电场中穿过在电场中穿过任意曲面任意曲面S S的电场线条数称通过该面的的电场线条数称通过该面的电通量，用电通量，用 来表示。电通量是标量，有正有负来表示。电通量是标量，有正有负()EnE垂直面垂直面S/2,0/2,0 E与面与面S法向夹角为法向夹角为S nE （E等于等于垂直场强方向的单位面垂直场强方向的单位面积上穿过的电场线条数）积上穿过

11、的电场线条数）（2 2）非均匀电场、任意曲面）非均匀电场、任意曲面cosddEdsES ssdE闭合曲面闭合曲面ssdE规定外法线为正向规定外法线为正向正负依赖于面元法向方向的定义正负依赖于面元法向方向的定义SEndS 1 21n2n1E2E在电力线穿出处在电力线穿出处, 900 ，电通量为负。，电通量为负。定理的表述：定理的表述：真空中的任何静电场内，通过任意封真空中的任何静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数。数和除以真空介电常数。 SeSEd 分分立立 内iQ01 连连续续 dQ内01 = 0 03

12、 3高斯定理高斯定理规定外规定外法线为法线为正向正向 0SQ内内Esd高斯定理的证明高斯定理的证明: :（1 1）通过点电荷）通过点电荷q q为球心的为球心的球面球面的电通量等于的电通量等于q / 0deES 202001d41d4qSrqSrq点电荷的点电荷的 电通量与球面的半径电通量与球面的半径 无关。无关。EnrSdqS（分下面几种情况证明）（分下面几种情况证明）204qEr 点电荷点电荷的的 线连续。线连续。E（2 2）通过包围点电荷）通过包围点电荷 q 的的任意封闭曲面任意封闭曲面的的 电通量都等于电通量都等于q/ 0因为点电荷因为点电荷q 的的电力线连续电力线连续地延伸到无限远地延

13、伸到无限远SqS10 qeSq（3 3）通过不包围点电荷）通过不包围点电荷 q 的任意封闭曲面的电通量的任意封闭曲面的电通量 都等于都等于0 0。0d sesE 注意注意:封闭曲面封闭曲面 S上各点处的场上各点处的场强强 并不等于并不等于0。（4 4）推广到多个点电荷的情形）推广到多个点电荷的情形 SEEEESEdde 2121 002010 内内qqq作任意封闭曲面（高斯面）作任意封闭曲面（高斯面） ，S1q 1q2q 2qS1212dd.dd.ESESESES内内外外 同理同理, ,对电荷连续分布的带电体对电荷连续分布的带电体, ,可将它分成许可将它分成许多电荷元多电荷元, ,一样可以证明

14、高斯定律是正确的。一样可以证明高斯定律是正确的。说明：说明：（1）高斯定律中的高斯定律中的 ，总电场，是高斯面总电场，是高斯面内、外内、外全部电荷激发的全部电荷激发的 ; 而而 q内内只是对高斯面只是对高斯面内内的电荷求和。的电荷求和。E0diqES内内 （2 2） 由由 的值决定，与的值决定，与 分布无关；分布无关；e内内 q内内q(3)(3)正确理解正确理解 ，不是，不是E E0 0，只是积分为零，只是积分为零 0q 电荷分布已知电荷分布已知库伦定律库伦定律E（4 4）（5 5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场库伦定律库伦定律高斯定

15、理高斯定理高斯定理高斯定理（任意区域的电荷）（任意区域的电荷）E电荷对称分布电荷对称分布电场分布已知电场分布已知对静电场来说二者不是互相独立的定律。只是电对静电场来说二者不是互相独立的定律。只是电场和场源电荷之间关系的两种不同的表现形式。场和场源电荷之间关系的两种不同的表现形式。高斯定理可以证明电场线有如下性质：高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷，电场线发自于正电荷，证：证： SsE0d则：则：，令令0S 若若P点有电场线终止，点有电场线终止，终止于负电荷，终止于负电荷，在无电荷处不间断。在无电荷处不间断。SPSP有有 qp 0。设设P点有电场线发出点有电场线发出同理，同理

16、，0 内内q0P qq内内则则 若若P点无电荷，点无电荷，00SqE d s 即即 N入入 = N出出0S以上性质说明以上性质说明静电场是静电场是有源场。有源场。PS则有：则有：E线连续线连续。P点处点处4 4高斯定理的应用高斯定理的应用例例1 1 求电量为求电量为Q Q 、半径为半径为R R 的均匀带电球面的场强分布。的均匀带电球面的场强分布。ROdqdqEPSSEd SSEd2 24 4 rE Rr 场球对称场球对称源球对称源球对称0QE2o4rQrsRr 00内Q0EdSES dSES2 24 4 rE rrE0R0 RERr 0 RrrQ 2o4 )(4)(020外外内内 rrq E

17、E0rR204Rq R 处的处的 E 是一条很陡的是一条很陡的斜线斜线。实际的实际的带电球面总有一定的厚度带电球面总有一定的厚度,如何理解如何理解 在在 r =R 处处,E 值的不连续：值的不连续： 答：在答：在 r = R 处处 E 不连续是不连续是 因为忽略了电荷厚度所致。因为忽略了电荷厚度所致。R例例2 2 ：求电量为：求电量为Q 、半径为、半径为R 的均匀带电球体的场强分布。的均匀带电球体的场强分布。解：解： 选择高斯面选择高斯面同心球面同心球面 SeSEd RrQ o inQr33RQr SSEd24 rE E RrRQr 3o4 RrrQ 2o40rER334RQ 3043r /

18、(r0）的球层，）的球层， 21RR、内内、外外半半径径分分别别为为求：求：电场强度的电场强度的分布。分布。【解】【解】（q）R1R2OSP任取一场点任取一场点 P,: 2Rr 对对r作高斯面作高斯面S如图。如图。SSE d SEd S24 rE 0 内内q204qEr : 21RrR 对对204inqEr 33143 inq( rR ) ，任取一场点任取一场点 P,SrOR2R1P331203 ( rR )Er ，同理可得同理可得在带电球层内，场强是随着场点在带电球层内，场强是随着场点 P 与球心与球心O的的 距离增大而增大。距离增大而增大。 对对: 1Rr 00 inqE ，有有球层内的空

19、腔中没有电场。球层内的空腔中没有电场。任取一场点任取一场点 P,SrOR2R1PE0rR2R12204Rq 同理可得同理可得204inqEr 因为因为当把电荷从体分布抽象为面分布时，在带电面当把电荷从体分布抽象为面分布时，在带电面 两侧的电场强度发生突变。两侧的电场强度发生突变。有普遍性有普遍性讨论：讨论：E 的分布图：的分布图： 连续，无突变。连续，无突变。当当 q、R2不变时：不变时： R1增大，层变薄，增大，层变薄，R1 r R2 区域的曲线变陡；区域的曲线变陡； 带电层厚度趋于零，场强分布不再连续。带电层厚度趋于零，场强分布不再连续。E0rR204Rq 204rq E0rR2R1220

20、4Rq 例例3 3 求电量分别为求电量分别为Q Q1 1 及及Q Q2 2半径分别为半径分别为R R 1 1 及及R R2 2 的均匀带电的均匀带电同心球面的场强分布。同心球面的场强分布。R 1R2Q1Q2 SeSEd 01Q10Rr 2o21RrQQ SSEd2 24 4 rE E10Rr 212o14RrRrQ22o214RrrQQ12()RrR ,且同一且同一柱面上柱面上E 大小相等。大小相等。 r例例4 ：求电荷线密度为求电荷线密度为 的无限长带电直线的场强分布。的无限长带电直线的场强分布。选择高斯面选择高斯面同轴柱面同轴柱面EESEd 上下底面上下底面SdE/侧侧面面SSEdl上下底

21、测SESEddrlE 2 2rEo2 olSd方向：垂直带电线方向：垂直带电线解：解：rEo2 无限长均匀无限长均匀带电直线带电直线无限长无限长均匀均匀带电柱面带电柱面的电场的电场，R RE2orRr0rRE2orRr22orrRR无限长无限长均匀均匀带电柱体带电柱体的电场的电场，R R均匀带电同轴柱体的电均匀带电同轴柱体的电场场1 1，R R1 1，2 2 ，R R2 2 ？R为单位长度所带为单位长度所带电荷量电荷量0rER例例5 ：求电荷面密度为求电荷面密度为s s 的无限大均匀带电平面的场强分布的无限大均匀带电平面的场强分布。选择高斯面选择高斯面 与平面正交对称的柱面与平面正交对称的柱面

22、SEd 侧面侧面底面底面 SeSEd o s sS SE 2 o2 s s E+ + + + + + + + + + 且且 大小相等；大小相等；SdSdSd/EEESEd 底底面面SE0d 侧侧面面 SE方向垂直带电面方向垂直带电面s+当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再矢量叠加。分别求各带电体单独存在时的场强，再矢量叠加。例例6 ：求电荷面密度分别为求电荷面密度分别为s s1 、s s2 两个平行放置的两个平行放置的无限大均匀带电平面的场强分布。无限大均匀带电平面的场强分布。A B C ,2Eo11 s

23、 s o222 s s ExiEo21A2 s ss s iEo21B2 s ss s iEo21C2 s ss s 111EEE+ + + + + + + + +1s soB s s E 当当 s s1 = - s s2 = s s0CA EE解：解：带电平板电容带电平板电容器间的场强器间的场强2s s+ + + + + + + + +222EEE板外电场为板外电场为 0 。O1O2均匀带电体，体密度为均匀带电体，体密度为 ，空腔内任一点的场？空腔内任一点的场？rE03 1013rE 2023rE 1r2r20102133rrEEE 2103OO 腔内是均匀电场腔内是均匀电场如果带电系统是如果带电系统是球、板、柱球、板、柱 电荷分布的组合电荷分布的组合, , 可以直接利用以上典型结果，再叠加。可以直接利用以上典型结果，再叠加。(1) 分析场强的对称性（方向、大小）。分析场强的对称性（方向、大小）。(2) 选择适当的高斯面选择适当的高斯面: 高斯面应该通过场点。高斯面应该通过场点。 高斯面上待求的场强只有一个值高斯面上待求的场强只有一个值 （可以提出积分号）。（可以提出积分号）。 高斯面各部分或高斯面各部分或 ,或或 ,EE应用高斯定理求应用高斯定理求 的关键的关键:E球对称球对称（均匀带电球面、球体、球壳和多