空间向量的坐标运算

1、1空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式设设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则，则AB ，|AB|(x2x1，y2y1，z2z1)3.若若A、B两点的坐标分别是两点的坐标分别是A(2cos，2sin，1)， B(3cos，3sin，1)，则，则| |的取值范围是的取值范围是 () A.0,5 B.1,5 C.(1,5) D.1,25解析：解析： (3cos2cos，3sin2sin，0)，1cos()1，| |1,5.答案：答案：BA平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量

2、的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量，则称这个向量垂直于垂直于平平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0

3、n m n m n l垂直关系：垂直关系：例例2 已知平面已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量. 解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2平面平面 的一个法向量是的一个法向量是 (1, 2, 4),(2, 4, 3)ABAC ( , , )nx y z 00n ABn AC 且且2402430 xyzxyz (2,1,0)n 问题：如何求平面的法向量？),() 1

4、 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（ ，

5、， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyzxyz 则，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量为， ，）直线直线l与平面与平面 所成的所成的角为角为( (02 ) ), ,sina ua u ； 六、夹角：六、夹角：例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1 解： (1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1),0 , 1 , 0(

6、11CB)0 , 1 , 1 (),1 , 0 , 1 (1ACAB设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)33C001 ACnABn,则故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为3331010111111,cosCBnCBnCBn 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO平面平面OABC，且且OS=OC=BC=1，OA=2.求求: :异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值；所成的角的余弦值； OS与平面与平面SAB所成角所成角的正弦值；的正

7、弦值；A（2，0，0）；于是我们有OABCS=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），则O（0，0，0）；解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示xyzC（0，1，0）；510252OBSAOBSAOBSA,cos).1 (所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为510020zxyx取x=1，则y=1，z=2；故)2 , 1 , 1 (n（2）设平面SAB的法向量),(zyxn 显然有0, 0SAnABn36612,cossinnOSnOSnOSABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN

8、|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量设平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADABABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222

9、(0,8,0),AD 又又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在长方体在长方体 中，中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB例二：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), AD（2）求与平面所

10、成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD AD2 55与平面所成角的正弦值是ADANM2 55例例2090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1)

11、,2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF30105.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线BC1与平面与平面A1BD所成所成角的余弦值为角的余弦值为.解析：解析：如图，建立直角坐如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为标系，设正方体棱长为1，则则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， (1,0,1)， (1,1,0)， (1,0,1).设设n(x，y，z)为平面为平面A1BD的法向量的法向量则则 取取n(1，1

12、，1)，设直线设直线BC1与平面与平面A1BD所成角为所成角为，则则sin|cosn， | .cos .答案：答案：【巩固练习巩固练习】 1 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为为PC中点中点 ,则则PA与与BE所成角所成角的余弦值为的余弦值为_ . 2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦值为角的余弦值为_ . 090BAC090BAC6631 01 0 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD中，中，PC平面平面ABCD，PC2，在四边，在四边形形ABCD中，中，BC9

13、0，AB4，CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30的角的角.(1)求证：求证：CM平面平面PAD；(2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PAD.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记以以C为坐标原点，为坐标原点，CB为为x轴，轴，CD为为y轴，轴，CP为为z轴建立如图所示轴建立如图所示的空间直角坐标系的空间直角坐标系Cxyz.PC平面平面ABCD，PBC为为PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，PBC30.PC2，BC2 ，PB4.D(0,1,0)，B(2 ，0,0)，A(2 ，4,0)，P(0,0,2)，M( ，0， )， (0，1,2)， (2 ，3

14、,0)， ( ，0， )，(1)令令n(x，y，z)为平面为平面PAD的一个法向量，则的一个法向量，则令令y2，得，得n( ，2,1).n 201 0，n ，又，又CM 平面平面PAD，CM平面平面PAD.(2)取取AP的中点的中点E，则则E( ，2,1)， ( ，2,1).PBAB，BEPA.又又 ( ，2,1)(2 ，3,0)0， ，BEDA，又，又PADAA.BE平面平面PAD，又又BE平面平面PAB，平面平面PAB平面平面PAD.小结：小结：1.异面直线所成角： coscos, CD AB|2.直线与平面所成角： sincos, n AB|ABCD1DABOn1.若异面直线若异面直线l

15、1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为v1和和v2，它们所，它们所 成的角为成的角为，则，则cos|cosv1，v2|.2.利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有 两种办法：两种办法：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角转化为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与 平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平 面所成的角面所

16、成的角.lamb，的夹角为的夹角为 ml,|cosbaba lamb ula，的夹角为的夹角为 , l|)2cos(uaua ula sina ua u 5.如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体ABCD A1B1C1D1中，中，M和和N分别是分别是A1B1和和BB1 的中点，那么直线的中点，那么直线AM与与CN所成角的所成角的 余弦值为余弦值为.解析：解析：建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，则则A(1,0,0)，M(1， ，1)，C(0,1,0)，N(1,1， ，)则则 (0， ，1)， (1,0， ).cos . 直线直线AM与与CN所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .答

17、案：答案： (2009全国卷全国卷)如图，如图，直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABAC，D、E分别为分别为AA1、B1C的中的中点，点，DE平面平面BCC1.(1)证明：证明：ABAC；(2)设二面角设二面角ABDC为为60，求，求B1C与平面与平面BCD所成的角所成的角的大小的大小.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)证明：以证明：以A为坐标为坐标原点，原点，AB为为x轴，轴，AC为为y轴，轴，AA1为为z轴轴.建立如图所示的直角坐标建立如图所示的直角坐标系系Axyz.设设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则，则B1(1,0,2c)，E( ， ，c).于是于

18、是 ( ， ，0)， (1，b,0).由由DE平面平面BCC1知知DEBC， 0，求得求得b1，所以所以ABAC.(2)设平面设平面BCD的法向量的法向量 (x，y，z)，则则 0， 0.又又 (1,1,0)， (1,0，c)，故，故令令x1，则，则y1，z ， (1,1， ).又平面又平面ABD的法向量的法向量 (0,1,0).由二面角由二面角ABDC为为60知，知， 60，故故 cos60，求得，求得c .于是于是 (1,1， )， (1，1， )，Cos ， 60.所以所以B1C与平面与平面BCD所成的角为所成的角为30.解：解：由本例由本例(2)知，知， (1,1， )，又又B(1,0

19、,0)，A1(0,0， )， (1,0， ). 1 1，又又| |2，| | ，cos 异面直线异面直线B1C与与BA1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .在本例在本例(2)的条件下，能否求出异面直线的条件下，能否求出异面直线B1C与与BA1所成角的余弦值所成角的余弦值.A. B. C. D.练习在棱长为练习在棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M是是AA1的中点，的中点，则点则点A1到平面到平面MBD的距离是的距离是 ()解析：解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0， a)，A1(a，0，a)D

20、B(a，a,0)，DM(a,0， a)，A1M(0,0， a)设平面设平面MBD的法向量的法向量n(x，y，z)，则，则 令令x1，得，得n(1，1，2)，A1到平面到平面MBD的距离的距离答案：答案： A 利用向量法求点面距，其步骤如下：利用向量法求点面距，其步骤如下：1求出该平面的一个法向量；求出该平面的一个法向量；2找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；3求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除除 以法向量的模，即可求出点到平面的距离，如图以法向量的模，即可求出点到平面的距离，如图点点P到

21、平面到平面的距离的距离 (2009茂名模拟茂名模拟)如图所示，在四面体如图所示，在四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，CACBCDBD2，ABAD (1)求证：求证：AO平面平面BCD；(2)求异面直线求异面直线AB与与CD所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)求点求点E到平面到平面ACD的距离的距离思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)证明：连结证明：连结OC，BODO，ABAD，AOBD.BODO，BCCD，COBD.在在AOC中，由已知可得中，由已知可得AO1，CO而而AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即，即AOOC.BDOCO，AO平面平面BCD.(

22、2)以以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0， ，0)，A(0,0,1)，E( ， ，0)，异面直线异面直线AB与与CD所成角的所成角的余弦值为余弦值为=(-1，0，1)(3)设平面设平面ACD的法向量为的法向量为n(x，y，z)，则，则令令y1，得，得n( ，1， )是平面是平面ACD的一个法向量的一个法向量又又EC( ，0)，点点E到平面到平面ACD的距离的距离h 利用空间向量解决空间中线面位置关系的论利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复证、空间中各种角的求解问题，以代

23、数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索的方法另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此其已成为高考命题的热点题型学生的能力，因此其已成为高考命题的热点题型 考题印证考题印证 (2009福建高考福建高考)如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为1的正方形，的正方形，MD平平面面ABCD，NB平面平面ABCD，且，且MDNB1，E为为BC的中的中点点 (1)求异面直线求异面直线NE与与AM所

24、成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)在线段在线段AN上是否存在点上是否存在点S，使得，使得ES平面平面AMN？若存在，求线段若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由【解解】(1)如图，以如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标为坐标原点，建立空间直角坐标系系Dxyz.依题意，易得依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E( ，1,0)(2分分)所以异面直线所以异面直线NE与与AM所成角的余弦值为所成角的余弦值为 (6分分)=(-1,0,1) (3分分)(5分分)(2)假设在线段假设在线段AN上存在点上存在点S，使得，使得ES平面平面AMN.AN(0,1,1)，可设，可设ASAN(0，)，又又EA( ，1,0)， ，1，)(8分分)由由ES平面平面AMN，得，得即即 (9分分)故故 ，此时，此时AS(0， )，|AS| (10分分)经检验，当经检验，当AS 时，时，ES平