第一章 矢量分析B

1、电电 磁磁 场场 理理 论论第一章 矢 量 分 析一、矢性函数1、矢性函数的引入 标量 矢量（常矢、变矢） 矢性函数：2、矢性函数的表示 矢端曲线 矢量方程 矢径 或 1.1 矢性函数及基本运算矢性函数及基本运算( )FF t)()()()(tFztFytFxtFzyx)(tr)(Mr 连续：连续：若矢性函数 在点 的某个邻域内有定义，且 则称 在 处连续。 00limttF tF t)(tF0t)(tF0tt0F二、基本运算 1 1、极限和连续、极限和连续 极限极限：设 在点 的某个邻域内有定义（但在 点也可以没有定义）， 为一常矢。若对任意给定的正数，都存在一个正数，使得满足 时，有 则称

2、，当 时矢性函数 有极限，记作)(tF0t0t00tt 0F tF0tt 00limttF tF)(tF2 2、导数与微分、导数与微分 导数导数：设矢性函数 在 上连续，且 和 都在此区间内，如果极限 存在，则称这个极限值称为在处的导数导数，简称导矢导矢。即 几何意义：几何意义： )(ttF F tF M o )(tF N )(tF 图14 矢量的导数 l )(tF),(21tttttttFttFtFtt)()(limlim000( )()( ) ( )limtd F tF ttF tFtd tt ttFttFtFtMN)()( 表示 的矢端曲线上M点处的切线 上的一个矢量，其方向指向t增大的

3、方向。 Ft F t微分：微分：称 为矢性函数 在 处的微分微分 )0(dtFd )(tF )(tF ) 0(dtFd M o 图15 矢量的微分 l dttFFd)( )(tFt几何意义：几何意义：方向 dt 0 与 的方向一致 dt 0 与 的方向相反 模值 222)()()(zyxdFdFdFFd矢径函数矢径函数 的微分的微分 模值 弧微分所以( )r t222)()()(dzdydxrd222)()()(dzdydxdllleeldrdldrd说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。le是曲线 l 上指向正方向的单位矢量 Ft Ft3 3、积分、积分不定积分：不定积分：

4、若 ，则称 为 的一个原函数， 的原函数的集合叫做的 不定积分，记作 定积分：定积分：若矢性函数 在区间 上的极限存在 则称 为 在区间 上的定积分。)()(tFtA)(tA)(tF)(tF)(tF,21TTniiinTTtFdttF10)(lim)(21,21TT21( )TTF t dt)(tF)(tFtdtF )( )A tC三、多元矢性函数的运算 1、偏导 2、全微分dzzFdyyFdxxFFdzxFyxFxxFzyxFx1.2 正交曲线坐标系正交曲线坐标系 一、正交曲线坐标系的概念一、正交曲线坐标系的概念 1 1、广义坐标、广义坐标 直角坐标系中 考虑(,)MM xyz123(,)M

5、M uuu若存在单值关系),(11zyxuu ),(22zyxuu ),(33zyxuu ),(321uuuxx ),(321uuuyy ),(321uuuzz 反过来，同样有单值关系则称 为广义坐标系下M点的曲线坐标曲线坐标。321,uuu2 2、广义坐标曲面、广义坐标曲面若 为任意常数 ，则称 广义坐标曲面注：单值性决定了空间任意一点都对应三个等值曲面，该点是三曲面的交点。 112233(,)(,)(,)u xyzcuxyzcu xyzc321,ccc3 3、广义坐标曲线、广义坐标曲线两坐标曲面相交所成的曲线称为坐标曲线坐标曲线 2u 1u 33cu 2e 1e 3e 22cu 11cu

6、图16 广义坐标系 3u 2233(,)(,)uxyzcuxyzc1u线：1133(,)(,)u xyzcu xyzc1122(,)(,)u xyzcuxyzc线：线：2u3u4 4、正交曲线坐标系、正交曲线坐标系 过任意点M的三条坐标曲线都相互正交 ，构成正交曲线坐标系。二、单位矢量1 1、坐标单位矢量、坐标单位矢量引入：性质：模值方向： 在M点分别与 线相切， 正方向指向 增加的方向。 正交性1231eee321,eee321,uuu321,uuu0323121eeeeee213132321,eeeeeeeee2 2、拉梅系数、拉梅系数 空间任意一点 ，矢径),(321uuuM),(321

7、uuurr),(33221cucuur 若M点在 线上，则矢径1u111rreuu于是，单位矢量表示为iirhuiiihure)3,2,1( i若记 ，则单位矢量为hi称为拉梅系数拉梅系数（Lame）或度量因子度量因子3 3、求解拉梅系数、求解拉梅系数 直角坐标系 正交坐标系 根据定义式zzyyxxr123123(,)(,)rx u u uxy u u u123( ,)yz u u u zzuzyuyxuxurhiiiii222)()()(iiiuzuyux4 4、拉梅系数的几何意义、拉梅系数的几何意义 线上的弧微分 iu222()()()iiiiixyzdlduuuuiih du表明：拉梅系

8、数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。 三三. . 线元、面元和体元线元、面元和体元 ),(332211duuduuduuM )(Mr )(Mr )( rdld o 图 1 7 矢 量 线 元 x y ),(321uuuM z 1 1、矢量线元、矢量线元根据矢量运算法则根据全微分运算法则引入拉梅系数,矢量线元表示为其中 ,是矢量线元在M点坐标线ui上的投影模值： 332211duurduurduurrdl d333222111eduheduheduhl d332211edledledll deduhdliiii233222211)()()(duhduhduh

9、l ddl()()dldrr Mr M n s ds 图18 矢量面元 2 2、矢量面元、矢量面元dsnsd321coscoscoseeen321coscoscosedsedsedssd332211edsedseds321212313113232)()()(eduduhheduduhheduduhhsd引入拉梅系数法向矢量于是 M 1dl 2dl 3dl 图19 体元 3 3、体元、体元332211321duhduhduhdldldld引入拉梅系数 x y z O P(x0,y0,z0) x0 y0 z0 Fxeyeze四四. . 常用坐标系常用坐标系 1 1、直角坐标系、直角坐标系矢径矢径单

10、位矢量单位矢量拉梅系数拉梅系数线元线元面元面元体元体元zeyexe,3211,1,1321hhhdzdldydldxdl321,dydxdsdzdxdsdzdyds321,dzdydxd zzyyxxr矢径矢径拉梅系数拉梅系数单位矢量单位矢量矢量线元矢量线元矢量面元矢量面元体元体元2 2、圆柱坐标系、圆柱坐标系 z 图110 圆柱坐标系 x y z o z rM 1231,1hhhsincos11yxhrecossin22yxhre zhrze33 dzzddl d321dszdsdssdddzdzddzd dzdddzzyxsincosr r r 图111 球坐标系 x z y 1231 ,

11、sinhhr hr 矢径矢径拉梅系数拉梅系数单位矢量单位矢量3 3、球坐标系、球坐标系cossinsincossinrzryrxrcossinsincossin11zyxhrrresinsincoscoscos22zyxhrecossin33yxhre 矢量线元矢量线元矢量面元矢量面元体元体元drdrdrrl dsin321dsdsdsrsdddrrddrrddrrsinsin2dddrrdsin2五、矢量的变换五、矢量的变换 直角坐标系中某正交坐标系中则各分量zyxFzFyFxF332211FeFeFeFzyxFzeFyeFxeFeF11111zyxFzeFyeFxeFeF22222zyxF

12、zeFyeFxeFeF33333 1.3 梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度一、标量场与矢量场1、场的分类场的分类 如果在全部空间或部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，就说在这个空间里确定了该物理量的场场。标量场标量场 若该物理量是数量，就称这个场为标量场标量场（或数量场数量场） 例如：温度场、密度场、电位场 矢量场矢量场 若该物理量是矢量，就称这个场为矢量场矢量场 例如：力场、速度场、电场、磁场 2 2、场的描述、场的描述标量场标量场 函数描述 或 或 等值面描述 等值面的特性 a.等值面是互不相交的 b.等值面的疏密程度反映着场的分布情况),(321uuuff )(Mff )(

13、rffcuuuf),(321等高线图矢量场矢量场 函数描述 矢量线描述 在矢量线上面每一点M 处的切线 方向与该点矢量 的方向相重合。 矢量线的特性 a.矢量线是互不相交的 b.矢量线的疏密程度反映着场的分布情况 求矢量线方程 由矢性函数微分的几何意义可知 而 所以矢量线的微分方程是)(),(321rFuuuFF 图112 矢量线 F1 11222333re hdue h due h du233222111FduhFduhFduh 0drF r二、标量场的方向导数和梯度 1、方向导数方向导数 定义式 意义 函数 f 在给定点处沿某个方向对距离的变化率f 在给定点处沿 方向增加f 在给定点处沿

14、方向减小f 在给定点处沿 方向不变 图113 方向导数 M l l M lMfMflflM)()(lim00lf0lf0lflll计算公式由全增量公式 luufuufuuffMfMf332211)() (代入定义式中)111(lim3333222211110luhufhluhufhluhufhlflMcos;cos;cos332211luhluhluh若 用分别表示M点处 与 的夹角，则 ,321,eeelcos1cos1cos1332211ufhufhufhlf代入上式，考虑当l0 时， 0 ，略去下标M，得 iiuhl 在坐标曲线上ui的投影 luhii/对坐标单位矢量 的方向余弦 lie

15、引入将方向导数表达式写成 123123112233111(coscoscos)()ffffeeeeeelhuhuhuleG333222111111ufheufheufheGcoscoscos321eeeel其中方向上的单位矢量 lf 在M点处的梯度2、梯度梯度定义式 方向函数在该点变化率最大的方向 模值最大变化率 maxgradldffGedl性质 方向导数等于梯度矢量在该方向上的投影场中每一点 M 处的梯度，垂直于过该点等值面， 且总指向函数 增大的方向 (grad)lffel)(rf哈密顿（Hamilton）算子 矢量微分算符 梯度表示为333222111111uheuheuhegrad

16、ff 性质：同时具有矢量和微分的性质错例ffffzzzyyyxxxR)()()(222)()()(zzyyxxRR 例1.2 已知 试证明RRRR11311122zRzzyRyyxRxxRRRR33 )()()(1RRzzzyyyxxxR 11122zRzzyRyyxRxxRRRRRRRzzzyyyxxxR1 )()()(133证明：注意：这是一个常用的结果，需要记忆。 三. 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 矢量场的通量 1 1、通量、通量微分定义cosdF dsFds 2/2/0d0d对于有向曲面SSF dS 若曲面S是闭合曲面( )sF rd S物理意义：a) 若 ，闭合面内有正源；

17、0 b) 若 ，闭合面内有负源；0 c) 若 ，闭合面无源。0 2 2、散度、散度物理意义物理意义2) 矢量场的散度值表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处单位体积所穿出之通量，也称为源强度。 在场空间 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为： ( )F r( )F r0( )div( )limsF rdF rS1) 矢量场的散度是一个标量；定义定义 讨论：讨论：1）若 ，则该矢量场称为有源场有源场；div( )0F r 2）若 处处成立，则该矢量场称为无源场无源场。div( )0F r div( )0F r 有正源div( )0F r 有负

18、源( ( 无源无源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 负负源源) )( )0divF r计算公式计算公式 利用散度的定义式，可以推导出散度运算的微分表达式. 1232 1 33 121231231div()()()FFh hF hhF hhhh huuu111332211333222111FeFeFeuheuheuhedivFF 利用哈密顿算子的运算法则，可得 注意：注意：通常按上面的哈密顿算子展开计算是十分繁杂的（因为微分运算不 仅要对矢量场各分量进行，而且要对单位方向矢量进行），故一般 不用哈密顿算子点乘来计算散度，而是直接使用微分式。()11( )zFFF

19、F rz2) 圆柱坐标系22111( )()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr3) 球坐标系( )yxzFFFF rxyz1) 直角坐标系常用坐标系下的散度计算常用坐标系下的散度计算)(3)(323arrrarrarD例例1.3 球心在坐标原点，半径为a的球形域内均匀分布有密度为的电荷，则空间任意点的电通量密度矢量可用下式表达 求：?D3. 散度定理散度定理 证明证明从散度定义，可以得到：0( )( )limlimsF r dSdF rd 则在一定体积V内的总的通量为：( )F r d 式中：式中：S为包围为包围的闭合面的闭合面( )sF rdS( )( )sF r dF r d

20、S数学表达式数学表达式 矢量场的散度在给定体积的体积分，等于此矢量场在该体积外表面上的闭合面积分。 意义意义三. 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 1. 环量与环量密度环量与环量密度 t F ld 图117 环量 l 环量：环量：在矢量场中，矢量沿某一闭合有向曲线 l 的曲线积分，称为该矢量按所取方向沿曲线的环量环量 lldlFl dFcos注意：注意：当闭合曲线所围曲面的方向取定后，曲线的方向总是按右旋法则确定。 n F l d 图118 环量密度 l ns M 环量密度环量密度nlsnsl dFn0lim意义：意义：该点给定方向上的单位面积的环量 在矢量场 中，围绕空间某点M取一面元S

21、n，其边界曲线为l，面元法线方向为 ，当面元以任意方式向M收缩时，则 在l上的环量与的比值的极限称为环量密度。 ( )F r n( )F r2. 旋度旋度0(rot)limnlsnF dlFns定义式定义式特点：特点：旋度矢量的模等于该点的最大环量密度，其方向就是取得该最大环量密度的方向。 00000000lim)(nnlssl dFFrotnnFrotnFrotn0)(lim00nnlsnFrotnnFrotnFrotsl dFn物理意义物理意义1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2）在矢量场中，若 A 0，称为有旋场；3）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度。计算公式计

22、算公式)()()(1332211321332211321hFhFhFuuuehehehhhhFrot通常使用行列式计算3 3、斯托克斯定理、斯托克斯定理()SlF dlFdS意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的 闭合曲线上的线积分。应用：将曲线积分转换为曲线积分，进而简化计算。（见习题）2sin1sinsinrrrrFrrFrFrF3) 球坐标系2) 圆柱坐标系1) 直角坐标系常用坐标系下的旋度计算常用坐标系下的旋度计算xyzxyzFxyzFFF1zzFzFFF1.4 几种重要的矢量场几种重要的矢量场一一. . 有势场有势场 1、定义：定义：对于一个矢量场 ，若在给定的区

23、域内存在单值数性函数 满足则称此矢量场为有势场，称 为矢量场 的势函数或位函数 。 )(MF()MF )(MF2、性质：性质： 证明：设 和 是 的任意两个势函数，则 1F2F0)(21c2112F于是因此势函数不唯一势函数不唯一线积分与积分路径无关线积分与积分路径无关)()(dzzdyydxxzyyxxl dl dFlllllddzzdyydxx)( 证明：),(),(000),(),(0000zyxzyxddlzyxMzyxM),(),(000zyxzyxl dFl0ll dF推论：推论：有势场的闭合回路线积分恒等于零，即 保守场：保守场：线积分与路径无关的矢量场常常被称为保守场。 有势场

24、必为保守场有势场必为保守场 ),(001zyxM x z y 图120 折线积分 o ),(0000zyxM ),(02zyxM ),(zyxM 求解势函数求解势函数1） 选取参考点取点M0为参考点，而M表示任意场点，则0()0M()lMF dl 于是2) 选取积分路径000010020, , ,Mxy zMx y zMx y zM x y z3) 计算积分000( , , )( ,)xxxx y zF x yz dx 00( , ,)yyyF x y z dy0( , , )zzzF x y z dz 0100 xMMF dxdydz1200yMMF dydxdz200zMMF dzdxdy

25、因为所以有势场与无旋场等价有势场与无旋场等价 推论：推论：无旋场必为保守场 有势场无旋场 保守场 3 3、对势函数的说明、对势函数的说明利用势函数求解有势场较为方便如果一个矢量场 在给定的区域内存在着 的点，则不可随便利用 来定义辅助的势函数 F0FF二二. . 管形场管形场 1 1、定义：、定义：对于矢量场 ，若在其定义域内的每一点上都有 ，则称 为管形场。管形场就是无散场。 F0FF在面单连域内，管形场在任一个矢量管的两个任意横截面上 的通量都相等，即 2 2、性质、性质2121sssdFsdF 1n 3S 1n 图122 管形场的性质 2n F F 1S 2S 说明：管形场中穿过同一矢量

26、管的所有截面的通量都相等 在面单连域内，矢量场 为管形场 的充要条件是它为另一矢量场 的旋度，即 AAFF注意：注意：1）与有势场中的势函数类似， 的选择也不是唯一的，满足 的矢势函数有无穷多，且具有不同的函数形式。因此，在实际物理应用时，为了避免矢势函数的这种多值性，往往要加以另外的限制条件，以使其具有唯一确定的形式。 AAF2）如果一个矢量场 在给定的区域内存在着 的点，则不可随便利用 来引入辅助的矢势函数 ，因为若对 两边取散度，并注意 ，就会在这些点上出现 的矛盾。 F0 FAFAAF0A00AF 三三. . 调和场调和场 1 1、定义：、定义：若对于矢量场 ，恒有 和 ， 则称此矢量

27、场为调和场。 换言之，调和场就是既无散又无旋的无源矢量场。 F0 F0F2 2、注意：、注意：对于一个实际的物理场，调和场只能在有限的区域 内存在，其原因是场的散度和旋度代表着产生场的两种源， 若在无限空间内既无散源又无旋源，这个场也就不存在了。 3.3.拉普拉斯方程拉普拉斯方程0FF 0 F()0F ()0 F调和场 引入拉普拉斯算子 或，则有220 拉普拉斯(Laplace)方程 满足拉普拉斯方程的标量函数 叫做调和函数调和函数，2 称作调和量调和量。1.5* 函数、格林定理与亥姆霍兹定理函数、格林定理与亥姆霍兹定理一一. . 函数函数 1 1、定义、定义0 xxxx1()()0()baaxb