第二节 平面向量的基本定理及坐标运算

1、第二节平面向量的基本定理及坐标运算第二节平面向量的基本定理及坐标运算1平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_向量，那么对于向量，那么对于该平面内任一向量该平面内任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1，2， 使使a_.2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x轴、轴、y轴方向相同的两个单位轴方向相同的两个单位向量向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对，有且只有一对实数实数x，y，使，使axiyj，把有序数对，把有序数对_叫做向量叫做向量

2、a的坐标，记作的坐标，记作a_不共线不共线1e12e2(x，y)(x，y)【提示】【提示】不正确求两向量的夹角时，两向量起不正确求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量点应相同，向量a与与b的夹角为的夹角为ABC.1若向量若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则，则c()A3abB3abCa3b Da3b【解析】【解析】设设cab(、R)， 则则(4,2)(，)c3ab.B2(2012中山调研中山调研)已知平面向量已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量，则向量ab()A平行于平行于x轴轴B平行于第一、三象限的角平分线平行于第一、三象限的角平分线C平行于平行于y轴轴D平行于第

3、二、四象限的角平分线平行于第二、四象限的角平分线【解析】【解析】ab(0,1x2)，ab平行于平行于y轴轴C3设向量设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量，若表示向量4a、3b2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量则向量c为为()A(1，1) B(1,1)C(4,6) D(4，6)【解析】【解析】4a(4，12)，3b2a(8,18)设向量设向量c(x，y)，依题意，得，依题意，得4a(3b2a)c0，所以，所以48x0，1218y0，解得，解得x4，y6.D1平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 1利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三

4、角利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算形法则进行向量的加减运算2(1)由向量共线定理知，任意一个向量都可用一个由向量共线定理知，任意一个向量都可用一个与它共线的非零向量表示；平面向量基本定理则说明：与它共线的非零向量表示；平面向量基本定理则说明： 平面内任一向量都可以用两个不共线的向量惟一来表示平面内任一向量都可以用两个不共线的向量惟一来表示 (2)解题时，注意待定系数法、方程思想的灵活运用解题时，注意待定系数法、方程思想的灵活运用BBbaDbaCbaBbaAAFbBDaACFCDAEODEOBDACABCD3231.4121.3132.2141.,4则若，交于的

5、延长线与的中点，是线段，交于点与中，、平行四边形ABCDOEF方法一：方法一：ABCDOEF方法二：方法二：CFACAFCDAC32【思路点拨】【思路点拨】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解坐标的关系求解平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言坐标语言”，实质是，实质是“形形”化为化为“数数”向量的坐标运算，向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代

6、数化，将数与形紧密结合起来全代数化，将数与形紧密结合起来解析法解析法【思路点拨】【思路点拨】利用向量的坐标运算与平行，构建方程，解方利用向量的坐标运算与平行，构建方程，解方程或方程组，可求参数与向量程或方程组，可求参数与向量平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 B1两平面向量共线的充要条件有两种形式：两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若若a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则则ab的充要条件是的充要条件是x1y2x2y10； (2)若若ab(a0)，则，则ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解坐标对应成比例来求解DA与平面向量有关的存在探索性问题与平面向量有关的存在探索性问题 1本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法思考方法，即假设存在法(当存在时当存在时)，假设否定法，假设否定法(当不当不存在时存在时)2向量共线的充要条件有两种不同的表示形式，向量共线的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，解题时可灵活选择更为一般的