位置线及船位误差

1、 任何一种测量或观测，都不可避免地存在误差，绝对正确的测量是不存在的。因此，驾驶员必须了解误差的性质、传播规律以及对它们的科学处理方法，以便对推算船位和观测船位的精度做出准确的估计，同时采取一些提高改善船位精度的措施，确保船舶航行的安全。 n第一节 航海观测误差及其分类 n一、观测误差及其产生的原因n观测结果与被测量的真值之差叫作观测的真误差（True Error），即 n式中： 被测量的真值n 被测量的观测值。 UU 0U0U 观测误差产生的原因除了有时由于人为过失之外，主要是： 1测量工具的不尽完善； 2观测方法的缺陷； 3观测方法的缺点； 4环境情况的变迁； 5所用的计量单位不能量尽被观

2、测量等等。 由于被测量的真值往往是不可能知道的，因此真误差在任何时候不可能绝对确切知道。 二、观测误差的分类及其处理 分为随机误差、系统误差和复合误差。 1随机误差 随机误差（Random error）又称偶然误差，它是以随机方式变化的误差。在一定的观测条件下，随机误差的个别值并没有任何的规律性，它们的大小和符号不断地变化。但从大量的观测中，随机误差又呈现出所谓统计学上的规律性。重复观测的次数越多，这种规律性将表现得越为明显。这些统计学的规律性是： （1）绝对值相等的正误差和负误差出现的概率是相等的，即随机误差的均值（或称数学期望）等于零； （2）绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差大；

3、（3）误差值有一定的界限。 随机误差的概率分布一般服从正态分布（即高斯分布）的规律，它的概率分布密度函数为： 式中： 随机误差； 随机误差的标准差（Standard error），又称为均方误差。22exp21)(mmfm 对于n 个观测误差 （ =1，n）的标准差。iinnmi2 随机误差出现在标准差内的概率 P（ ）=68.3%。它说明随机误差不超过标准差出现的可能性为68.3%，或者说68.3%的随机误差分布在-m， +m这个范围内，因此标准差是衡量随机误差精确程度的标准，标准差小说明观测精度高；反之，标准差大观测精度就低。 随机误差出现在-2m， +2m范围内的概率P=95.4%，出现

4、在-3m， +3m的概率P=99.7%。 mm 在航海实践中，把3m当作极限误差（Limit error）大于3m的误差则视为粗差，其观测值应剔除不用。在精度要求较高的观测中，也有把2m作为极限误差，以确保观测结果的准确性。 概率等于50%的误差界，称为概率误差（Probable error）或称中央误差。 2系统误差 固定不变的误差或者有规律变化的误差，叫做系统误差（Systematic error），它又称固定误差。 系统误差通常用下面两种方法去消除它： （1）了解系统误差的规律，并将它求出或测出来，然后从测量结果中加以改正消除。 （2）不直接求出该系统误差，而是采用适当的测量方法和步骤，

5、将它的影响消除掉。 这里需要指出的是随机误差既不能用上述改正观测结果的方法来消除，也不能用适当的观测方法来加以消除。只有通过了解随机误差的性质，掌握它的传播规律，并由此采取相应的措施，才能在一定程度上削弱它的影响。 3复合误差 复合误差（Composite error）又称综合误差和完全误差，它是系统误差与随机误差之和。 随 机 误 差 的 标 准 差 是 衡 量 观 测 精 度（Accuracy）的标准。 一、单一观测的标准差 1观测值的算术平均值 随着观测次数的增加，观测值的算术平均值L将趋近于被测理的真值X。因此，可以认为算术平均值L是真值X的最或然值（Probablest value）

6、。 2、残差 在相同的观测条件下，测得一组观测值 ，则残差 乃是观测值 与观测组的算术平均值 之差，即 将所有残差加起来，得 即任何一组观测序列的残差总和一定等于0。 nili, 2 , 1:iVilLLlVii 01nLlVnii 3、求单一观测的标准差白塞尔公式 单一观测的标准差的白塞尔（Bessel）公式：1nVVm 二、误差的传播规律 函数 其中x,y,t为独立的直接观测量，它们的标准差分别为mx,my,mt，则函数Z的标准差mz由下式决定：tyxfZ,2222222tyxzmtfmyfmxfm即函数的标准差的平方，等于该函数每个自变量的偏导数与相应自变量标准差乘积的平方和。 三、误差

7、传播规律的应用 1、求观测组最或然值的标准差 观测组的最或然值等于观测值的算术平均值。即 最或然值 的标准差由下式决定： 1nnVVMnlllLn21L 说明算术平均值的标准差等于单一观测标准差的 。也就是说，算术平均值的精度比单一观测值提高了 倍，所以对同一个量进行重复地观测，不但可以发现粗差，而且可以把观测结果的精度提高 倍。 n1nn 2、求和、差的标准差 设 ， 则有 ， 即 由此可看出，在和、差运算中，观测值的误差对所求和、差的影响是相同的。 YXZ1YXZ22221yxZmmm2222yxZmmm2221ZZmm第一节 位置线与船位线 观测值函数为常数的几何轨迹，在数学上称为等值线

8、。本课程前面所讲的等磁差曲线、等深线及等高线就是这样的等值线。 在航海定位中，测者对物标进行观测时，其观测值为常数的点的几何轨迹，称为观测者的位置线(1ineofposition，LOP)。观测者的位置线在时间上表明仅在观测的时刻，符合该观测值的船位必定在该位置线上；而不在该位置线上的任何船位上的观测值均不是该观测值。 因此，观测者的位置线具有时间性与绝对性两大特点。 航海上常用的位置线有：方位位置线、距离位置线、方位差位置线、距离差位置线等。由于位置线形状复杂，在实际应用中，经常取推算船位附近的一小段曲线或其切线去代替位置线，这样的一段曲线或切线称作船位线。 地球上测者附近的小范围内的地面可

9、视作平面，此时这四种位置线的形状与性质如下所 述： 1方位位置线：根据测者所在位置不同又可分为船测岸方位位置线与岸测船方位位置线： (1)船上测者对岸上某一已知坐标的固定物标M进行方位测量(船测岸)时，由物标M画出的与M点的子午线相交成TB+180的方位线MP，就是相应的船测岸方位位置线(图a)。在MP上任一点的测者测物标M的真方位均为TB，而在该线外任何一点观测物标M的真方位均不等于TB。 (2)从岸上某一已知坐标的固定物标M对船舶进行方位测量(岸测船)时，则相应的岸测 船方位位置线，就是由物标M画出的与M点的子午线相交成TB的方位线MP(图b)。测者在M点测量位于MP上任一点的船舶的真方位

10、均为TB，而测量在该线外任何一点的船舶的真方位均不等于TB。 总之，在平面上船测岸与岸测船的方位位置线都是船舶和物标两点之间的直线。 2距离位置线：船上测者对已知坐标的固定物标M进行距离测量时，所测得的船与物标M间的距离位置线，是以物标M为圆心，所测距离D为半径的圆(图)。可见，在该圆上任一点，到物标M(圆心)的距离均等于D，而在该圆周以外的任何一点观测物标M的距离均不等于D。 3方位差位置线：又称水平角位置线，船上测者测量岸上两个已知坐标的固定物标之间的水平角时，即测量它们的方位差时，方位差位置线是船与两物标所连的三角形的外接圆圆弧的一部分(图)。在该段圆弧上的任一点，对两物标所张的水平角，

11、均等于该圆周角 ，而在该圆弧以外的任何一点，对两物标所张的水平角均不等于该圆周角 。 4距离差位置线：船上测者若对岸上已知坐标的两个物标(例如台站)进行距离差的测量时，则距离差位置线是以两物标(台站)为焦点的双曲线(图)，在该双曲线上任一点至两焦点的距离差值均为观测所得的常数。 如果不在测者附近的小范围内研究位置线，则不应把地面视作平面，而应将地球当作圆球体更为精确，此时这四种位置线在球面上和在海图上的形状就比较复杂。 1球面方位位置线：同样，根据测者所在位置不同又可分为： (1)岸测船大圆弧 在球面上，位于已知坐标的固定物标点M上的测者，观测运动着的船舶户的方位时，其方位位置线是由测者M画出

12、，且与测者子午线(QMPNQ)相交成所测方位角为的大圆弧MPP1P2(图)。这是因为无线电波和光波都是沿球面上两点间最短距离大圆弧传播的。 (2)船测岸恒位线 在球面上，运动着的未知坐标的船上的测者P，观测岸上某一已知坐标的固定物标M的方位时，其方位位置线是通过近极点Pn、船位P和物标M所连接的恒位线(1ine of equal bearing或azimuth)。在恒位线上的每一点，对同一物标M都有相同的大圆方位 2球面距离位置线球面小圆 在球面上，对远距离物标进行距离测量时，其球面距离位置线是以物标M为极，以所测球面距离MP为极距的球面小圆（图）。在该小圆上任意一点到小圆的极点物标M的球面距

13、离都等于MP。天文位置线就属于这一种。而小圆在墨卡托海图上的投影是一条复杂的周变曲线。 3球面方位差位置线 船上测者测量岸上两个固定物标之间的球面夹角，即球面角为常数的点的轨迹为近似球 面方位差位置线。 4球面距离差位置线 在空间与两个定点的距离差为常数的点的轨迹，是一个以两个定点(主台与副台)为焦点的双曲面。该双曲面与地球面的交痕为近似球面双曲线。 位置线是观测时刻符合观测值的点的轨迹。这就是说，当观测值变化时，必然引起位置线改变。例如观测值存在误差时，船位就不可能在此位置线上。因此讨论观测值的变化与位置线变动之间的相互关系，对研究位置线误差是必需的，同时也为减少船位误差的方法提供了理论上的

14、依据。 一、位置线梯度的定义 位置线梯度(gradientofLOP)是用来表示观测值的变化量与其位置线位移量之间的比值的向量。 设，分别为观测值为u，u+u的位置线，分别为，在船位附近的一段切线船位线，n为船位线与之间的垂直距离，即位置线位移量。 当观测值增量u一定的情况下，若位置线位移量n愈小，则说明此间位置线的密度愈大，船舶运动时的观测值变化较快；反之，n愈大，则表示该处位置线较稀疏，船舶运动时的观测值变化较慢。 位置线梯度为一矢量，其方向( )与位置线法线一致，且指向观测值增大的方向，其模(g)等于观测值u在位置线法线上的导数，即： dndunugn0lim90nug 二、几种常用的平

15、面位置线梯度 1方位位置线梯度 (1)岸测船方位位置线梯度 如图所示，M为岸上已知坐标点，从M观测运动中的船舶P，MP是真方位为B的方位位置线；MP1为方位B变化B增量时的方位位置线，位移量为： n=DB 若B以度为单位，则： 因此，岸测船方位位置线梯度为： (radnmile) (nmile) 其方向，从图中可以得到： 3 .57BDnDBDBnugB1DBDBgB3 .573 .5790 B (2)船测岸方位位置线梯度 如图所示，PM为运动着的船舶P观测物标M方位为B时的方位位置线，P1M则是方位B有一微小增量AB时的方位位置线，其位移量为： 则岸测船的方位位置线梯度为： （rad/n m

16、ile） （/n mile） 其方向则是：BDPPn1DBDBnugB1D3 .5790 B 2距离位置线梯度 如图所示，距离位置线是以物标M为圆心，观测距离D为半径的圆。当观测值增加D时，位置线位移量为： n=D 则距离位置线梯度的模为： 其方向： (背离物标的方向) 1DDnugD180 TB 3方位差位置线梯度 数学证明，两个函数的代数和(差)的梯度，等于该两函数梯度的几何和(差)。因此方位差位置线梯度可以用两方位位置线梯度的几何差表示，即： 其中 所以 12ggg111Dg 221Dg cos2212221gggggcos2121222121DDDDDD21DDDhsin方位差位置线梯

17、度方向应是： 21TB22cosDh由几何学可知：圆弧的垂线必过圆心，所以方位差位置线梯度方向是从船位P指向方位差位置线圆心的方向。 4距离差位置线梯度 距离差位置线梯度可由两距离位置线梯度的几何差求得， 即 已知12gggD112 gg2sin2sin12gggD2sin12gg 2sin2 由于双曲线在P点的切线是的平分线，因此，距离差位置线梯度的方向： 即：距离差位置线的方向与双曲线P点的法线一致，并与船位P点和基线张角的平分线相垂直。 902112TBTB 列表小结位置线梯度如下： 梯度的方向反映了观测值增加时，位置线变化的方向；梯度的模反映了观测值的变化与所引起的位置线变化的量上的关

18、系。由于 ，表明当观测误差一定时，梯度g愈大，位置线位移量愈小，精度就愈高；反之，梯度g愈小，位置线位移量愈大，精度就愈低。从梯度的表达式可以找到提高位置线精度的方法。 gun 三、位置线的误差 若考虑测量值系统误差的影响，将观测值的增量用测量值的系统误差代入位置线 梯度公式，则得到位置线系统误差公式： gE 将前面导出的各种位置线梯度代入上式，便可得到各种位置线系统误差公式： 方位位置线系统误差： 距离位置线系统误差： 方位差位置线系统误差： 距离差位置线系统误差： DEBB3 .57DDEDDDE217 .73432sin2DDE 若考虑测量值随机误差的影响，将观测值的增量用测量值的标准差

19、 代入位置线梯度公式，则得到位置线的标准差公式：gE 将前面导出的各种位置线梯度代入上式，便可得到各种位置线标准差公式： 方位位置线标准差： 距离位置线标准差： 方位差位置线标准差： 距离差位置线标准差： DEBB3 .57DDEDDDE217 .73432sin2DDE 这样，只要知道测量值的系统误差和随机误差的标准差，利用上述公式，就可以确定位置线的系统误差与随机误差的标准差。位置线的误差与测量值误差成正比，与梯度成反比。 一、系统误差影响下的船位误差 cos2212221VVVVcos22122211VVVVcos2sin12121222211ggggcos2sin12121222211

20、1gggg 如果两条位置线的观测系统误差和梯度都相等，即： ， 则公式可简化为：21ggg212seccos12singg2csccos12sin1gg ， 的大小反映了观测系统误差对船位影响的大小，其不但取决于系统误差，而且还与位置线梯度及两条位置线的交角有关。在实际使用中，应根据所用测量仪器标示的系统误差予以校正，以消除其对船位精度的影响；对于未知的系统误差，可根据 ， 表达式，减少其对船位精度的影响。 11 如果同时测得三条位置线，由于每条位置线中必存在误差，因此这三条位置线通常相交成一个小三角形，叫做船位误差三角形(cocked hat)。 二、如何在航海实践中判断位置线存在系统误差

21、在航海实践中，常常需要对获得的多条位置线进行分析，以判断其是否存在系统误差。通常可以如下判断： 1如果同时测定任意三条位置线定位所形成的误差三角形的短边长超过正常界限(一般在1：200 000的大比例尺海图上边长为5mm)，则可能存在系统误差； 2如果短时间内连续测得相同类型的几个三条位置线船位，其误差三角形相近，则存在系统误差； 3如果连续观测两标方位所得船位的连线(曲线)在改换观测其他物标时发现断开现象，则存在系统误差(见图)。 三、系统误差的消除和船位校正 系统误差是观测值与真值之差，即： 在相同条件下，测得不同物标的两个观测值 ， 则得： Ll 11lL1l2l22lL1212llLL

22、表明：两物标观测值之差等于两物标真值之差，即与系统误差无关。 因此，根据这一结论，航海实践上可将三物标罗方位换成两水平角（两方位差）定位，三标距离换成三标间两距离差定位，便可消除系统误差的影响。 2系统误差产生误差三角形的船位校正 消除了系统误差后的船位，应该在船位误差三角形的内心或旁心上： （1）当三物标分布范围大于180时，校正后的船位位于船位误差三角形的内切圆圆心，即内心上（图）； （2）当三物标分布范围小于180时，校正后的船位位于船位误差三角形的中标位置线外侧的旁切圆圆心，即旁心上。 同时观测两条船位线定位时，如果船位线中仅存在随机误差，一般采用船位误差平行四边形、船位误差椭圆、船位

23、误差圆的方法评定其精度。 1船位误差平行四边形（error parallelogram） 已知观测值的标准差（ ）和船位线的标准差（ ）的概率均为68.3，根据概率乘法定理，可得两条船位线的标准差同时出现在标准误差平行四边形内的概率为： E21PPP=68.368.3=46.6 即真实船位落在标准误差平行四边形内的概率为 46.6。 真实船位落在2倍标准误差平行四边形内的概率为：95.495.4=91.0 真实船位落在3倍标准误差平行四边形内的概率为： 99.799.7=99.4 2船位误差椭圆(error ellipse of position) 由船位误差理论得知，均方误差四边形周界上各点出现真实船位的概率密度是不相等的。而将真实船位出现的概率相等的各点连接起来，将是一个椭圆。根据船位线标准差求得的椭圆，称为标准误差椭圆。 根据误差理论证明，真实船位落在标准误差椭圆内的概率为39.4；落在2倍标准误差椭圆内的概率为86.5；落在3倍标准误差椭圆内的概率为98.9%，该椭圆称为船位极限误差椭圆。 在误差椭圆短轴方向上，船位分布范围最小，精度最高；在长轴方向上，船位分布范围最广，精度最低