典型例题(圆)

1、【典型例题】 例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示： 解： 点导火索的人非常安全 例2. 已知梯形ABCD内接于O，ABCD，O的半径为4，AB6，CD2，求梯形ABCD的面积。 分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OECD于E，延长EO交AB于F，证OFAB。 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况

2、讨论。 解：分两种情况讨论： （1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）： 过O作OECD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CEDE ABCD，OECD OFAB，即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中，EC1，OC4 （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）： 过O作OECD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 例3. 如图，已知AB为O的直径，P是OB的中点，求tanCtanD的值。 分析：为了求tanCtanD的值，需要分别构造出含有C和D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到RtACB和RtADB。可以发现ACDA

3、BD，ADCABC，于是，可以把tanCtanD转化为 解：连结BC、BD AB是O的直径，ACBADB90 ACDABD，ADCABC 作AECD于E，作BFCD于F 则AECADB ACADAEAB 同理，BDBCBFAB APEBPF P为半径OB的中点 tanCtanD3 例4. 分析：由已知条件，等边ABC可得60角，根据圆的性质，可得ADB60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BEDC，连结AE ABC是等边三角形 ACBABC60，ABAC ADBACB60 四边形ABDC是圆内接四边形 ABEACD 在A

4、EB和ADC中， AEAD ADB60 AED是等边三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA 说明：本例也可以用其他方法证明。如： （1）延长DC至F，使CFBD，连结AF，再证ACFABD，得出ADDF，从而DBCDDA。 （2）在DA上截取DGDC，连结CG，再证BDCAGC，得出BDAG，从而DBCDDA。 例5. 如图，已知四边形ABCD内接于O，AB是直径，ADDC，分别延长BA、CD交于点E，BFEC交EC的延长线于F，若EAAO，BC12，求CF的长。 分析：在RtCFB中，已知BC12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。 解：连结OD，BD ABCAO

5、D ODBC EAAO，EAAOBO AB16，BE24 四边形ABCD内接于O EDAEBC E是公共角 EDAEBC 设ADDCx，EDy，则有 AB为O的直径 ADBF90 又DABFCB RtADBRtCFB 说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。 例6. 如图，已知等腰ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC、BC于 解：连结FD AB是直径，ADBC ABAC，BDDC，FADDAB 四边形ABDF是圆内接四边形 CFDB C是公共角 ABCDFC ABA

6、C CDDF （也可以证CFDB，ABAC，BC，CCFD，CDDF。） DE切O于D FADEDF 又CDEEDFFADDAB CDEDAB CDEEDF CDFD CEEF，DECF 设CD3x，AC5x EC9 例7. 如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。 解：公共弦AB120 例8. （2003年黄冈市中考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。 （1）试计算烟盒顶盖ABCD的面

7、积（本小题计算结果不取近似值）。 （2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果 解题点拨：四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可。 解：（1）如图（2），作O1EO2O3 四边形ABCD的面积是： （2）制作一个烟盒至少需要纸张： 例9. 在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。 解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。 如图，HG为O的直径，且HGAB，AB16cm，HG20cm 故所求弓形的高为4cm或16cm 例10. CAD所夹圆内部分的面积。 解：符合题设

8、条件的图形有两种情况： （1）圆心O在CAD的内部，如图（1），连结OC、OD，过O作OEAD于点E OCAB （2）圆心O在DAC的外部时，如图（2），有： 例11. 分析：由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。 解：（1）当AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图（1）连结OD、OB。 M、N分别是弦AB、CD的中点，OD、OB过圆心O 图（1） （2）当AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图（2），连结OB、OC 图（2） （3）当AB、CD相交于点P，且圆心O在DPA的内部时，如图（3），DPA是圆内角， 图（3） （4）当AB、C

9、D相交于点P，且圆心O在DPA的外部时，如图（4） 图（4） 例12. （长沙市，2000）已知：如图，圆心A（0，-3），圆A与x轴相切，圆B的圆心B在x正半轴上，且圆B与圆A外切于点P。两圆内公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N：（1）求证AOBNPB；（2）设圆A半径为r1，圆B半径为r2，若r1：r23：2，求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式；（3）设点B（x1，0），点B关于y轴的对称点B（x2，0），若x1x2-6，求过B、A、B三点的抛物线解析式；（4）若圆A的位置大小不变，圆心B在x正半轴上移动，并始终有圆B与圆A外切，过点M作圆B的切线MC，C为切点，MC时，B点在x轴

10、的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？ 解：（1） 设直线MP的解析式为ykxb， （3）设抛物线为yax2bxc（a0） 令y0，则有ax2bxc0 B与B关于y轴对称， x1x20，即b0， 又点A（0，-3），C=-3 （4）MCMP 可证APMAOB 猜想：圆心B在x轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。 参考答案一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示：设ABC的内切圆的圆心为O 连结OA、OB、OC，则ABC可分割成三个三角形：ABO，BCO，ACO 则 应选B 4. C 提示：依题意，有： 所以，或 即，或 两圆内切或外切

11、5. C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有 因为，所以 则，是正五边形，应选C。 6. D 提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GEEFFH 设EFx，则根据勾股定理， 则有 即 应选D二. 填空题。 7. 56 8. 75或105 提示：如图所示： AFE130，的度数为260 则的度数为 F、E是的三分之一点 或 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r 则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为 因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方 即三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：（1）点E在OA上；（2

12、）点E在OB上 （1）直径AB弦CD于E， 根据垂径定理，有： A、B分别为和的中点 CD把O分成2：1两部分 的度数为120，的度数为240 连结BC，则 在中， （2）当点E在OB上时，AE6 直径为8，AE6或2 12. 解法一：如图（1），ABC是等边三角形，AB6图（1） BCABAC6，BACB60 BD：DC2：1 BD4，CD2 ADDEBDCD8 连结CE，BE60 ACBE CAD是公共角 ACDAEC 解法二：如图（2），过A作AGBC于G图（2） ABC是等边三角形，BC6 CGGB3 由解法一得：CD2，BD4 DG1 在中， 在中， 根据相交弦定理，有： 13. 证

13、明一：延长AD交O于D，连结BD，如图（1） AD是直径，ABD90，2AOAD EF切O于B 1D ACEF于C CABD90 ABCADB 即 证明二：延长AC至M，使CMAC，连结BM、OB图（2） BCAC，ACCM MBAB M2 OAOB 34 EF切O于B OBEF ACOB 23 234M 四. 解答题。 14. 证明：如图，依题意，设BDx，则AD2x AB、CD切O于B、C点 BDCDx，OCCD ACD90 AB是切线，ACE是割线 即 15. 解：如图，连结OD，OE AB、AC切O于D、E ODAB，OEAC，ADAE A90 四边形ADOE是正方形 DOE90 设ADOEx DEAD，AB3，AC4 解得： 16. 解：大小不改变 C所对的弧为 D所对的弧为 C、D的度数不变 在BCD中，不变五. 解答题。 17. 解：如图，连结AB ，BC是直径 根据垂径定理的推论，可知： ADBC，ADDE