信号与系统Lecture2Chapter1-2

1、Signals and Systems1 1 1/49/49/492021年10月16日Lecture 2Lecture 2SignalsSignals and Systems2 2 2/49/49/492021年10月16日Lecture 2n 信号的对称性与分解信号的对称性与分解周期性周期性奇偶性奇偶性共轭对称性共轭对称性n 常用的连续时间常用的连续时间信号信号n 常用的离散时间信号常用的离散时间信号OutlineSignals and Systems3 3 3/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis一一 、周期性、周期性 对于连续时间信号，

2、对于连续时间信号，周期信号周期信号(Periodic Signal)是定义在是定义在(-，)区间，每隔一定时间区间，每隔一定时间T T ，按相同规律重复变化的信号。，按相同规律重复变化的信号。连续周期信号连续周期信号x(t)满足满足 x(t) = x(t + mT)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小满足上述关系的最小T T称为该信号的称为该信号的基波周期基波周期T T0 0或或周期周期( (Period) )。 1. 1. 周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号周期信号周期信号时移时移T T 后，其值不变。后，其值不变。Signals and Systems4 4 4/49/49/49

3、2021年10月16日Lecture 2Signal Analysis 对于离散时间信号，对于离散时间信号，周期信号周期信号(Periodic Signal)是定义在是定义在(-，)区间，每隔一定区间，每隔一定整数整数N ，按相同规律重复变化的信号。，按相同规律重复变化的信号。离散周期信号离散周期信号xn满足满足 xn = xn+mN ，m = 0,1,2,满足上述关系的最小满足上述关系的最小N N称为该信号的称为该信号的基波周期基波周期N N0 0或或周期周期( (Period) )。周期信号周期信号时移时移N N 后，其值不变。后，其值不变。Signals and Systems5 5 5

4、/49/49/492021年10月16日Lecture 2例例1 确定所给的信号是否是周期性的。确定所给的信号是否是周期性的。 cos( )0( )sin( )0ttx ttt解：由于解：由于x(t)在在t=0处有唯一的一个间断点，故不存在处有唯一的一个间断点，故不存在T0，使得，使得 x(t+T)=x(t) 所以所以x(t)不是周期信号。不是周期信号。Signals and Systems6 6 6/49/49/492021年10月16日Lecture 2例例2(P40 1.25(b)、(c)判断信号判断信号x(t) = ej(p pt-1)和和x(t) = cos(2t-p p/3)2是是

5、否为周期信号，若是，确定其基波周期。否为周期信号，若是，确定其基波周期。 (1)( )jtx tepjj te epp2( )cos(2)3x ttp1cos2(2)123tp12cos(4)123tp由于由于ejt的基波周期为的基波周期为2p p，故故x(t)是周期信号，其基波周期为是周期信号，其基波周期为2 2。故故x(t)是周期信号，其基波周期为是周期信号，其基波周期为p p/2/2。Signals and Systems7 7 7/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis例例3 3(P40 1.26(b)(P40 1.26(b)、(c) (

6、c) 判断正弦序列判断正弦序列xn = cos(n/8/8p p)和和xn = cos(p p/8n2)是否为周期信号，若是，确定其基波周期。是否为周期信号，若是，确定其基波周期。解解: : coscos2,0, 1, 2,88nnx nmmppp 由于由于2m2mp p/8/8为无理数，故不存在为无理数，故不存在整数整数N满足满足 x(k) = x(k + mN)。所以该正弦序列不是周期信号。所以该正弦序列不是周期信号。222cos()cos(2)88x nNnNnNNppN=8k时，时，p p/8(2N+N2)=2kp p(1+4k)，所以该序列是周期信号，基，所以该序列是周期信号，基波周

7、期为波周期为N=8。Signals and Systems8 8 8/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis例例4 4(P41 1.32) (P41 1.32) 若若y1(t)=x(2t)，y2(t)=x(t/2)；(1)若若x(t)是周期的，则是周期的，则y1(t)也是周期的。也是周期的。(2)若若y1(t)是周期的，则是周期的，则x(t)也是周期的。也是周期的。(3)若若x(t)是周期的，则是周期的，则y2(t)也是周期的。也是周期的。(4)若若y2(t)是周期的，则是周期的，则x(t)也是周期的。也是周期的。(P41 1.33) 若若y1n

8、=x2n，y2n=xn/2；(1)若若xn是周期的，则是周期的，则y1n也是周期的。也是周期的。(2)若若y1n是周期的，则是周期的，则xn也是周期的。也是周期的。(3)若若xn是周期的，则是周期的，则y2n也是周期的。也是周期的。(4)若若y2n是周期的，则是周期的，则xn也是周期的。也是周期的。T1=T/2T2=2T对，对，N1=ceil(N/2)错错对，对，N2=2N对对Signals and Systems9 9 9/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis例例5 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列信号是否为周期信号，若

9、是，确定其周期。（1）x1(t)=2cos(10t+1)-sin(4t-1) P31 1.10 （2）x2(t)=cos2t + sinp pt解：（解：（1） 由于由于2cos(10t+1)=2cos(10t+1+2p p)=2cos10(t+2p p/5)+1 故故2cos(10t+1)是周期信号，其周期为是周期信号，其周期为T1= 2p p/ W W1= 2p p/5； 同理可得同理可得sin(4t-1)也是周期信号，其周期为也是周期信号，其周期为T2= 2p p/ W W2= p p/2. 由于由于T1/T2= 4/5为有理数，故为有理数，故x1(t)为周期信号，其周期为为周期信号，其

10、周期为T1和和T2的最小公倍数，即的最小公倍数，即T=2p p。 （2） cos2t 和和sinp pt的周期分别为的周期分别为T1= p p， T2= 2，由于，由于T1/T2为为无理数，故无理数，故x2(t)为非周期信号。为非周期信号。 若两个周期信号若两个周期信号x1(t)和和x2(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2， 而对而对x(t)=x1(t)+x2(t)，只有当，只有当T=k1T1=k2T2时，时，x(t)才是周期的。即才是周期的。即要求要求 为为不可约整数不可约整数时，时，x(t)才是周期信号。才是周期信号。2112T TkkSignals and Systems10101

11、0/49/49/492021年10月16日Lecture 2Classification of Signal由上面几例可看出由上面几例可看出： 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。定是周期序列。 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。记住！期序列之和一定是周期序列。记住！ 两连续周期信号周期之比为有理数，则其和信号两连续周期信号周期之比为有理数，则其和信号仍然是周期信号，其周期为两周期信号周期的最仍然是周期信号，其周期为两周期信号周期的最小公倍数。小公倍数。Si

12、gnals and Systems111111/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis)()()(tftftfDA ：信号的直流分量，即信号的平均值信号的直流分量，即信号的平均值 tfD TttDttfTtf00d)(1)(信号的平均功率信号的平均功率 = = 信号的直流功率信号的直流功率 + + 交流功率交流功率)(tfEEOttt)(tfA)(tfDOO ttfTtfttftfTttfTPTttADTttADTttd)(1)(d)()(1d)(10000002222 2. 2. 信号的直流分量与交流分量信号的直流分量与交流分量Signals

13、and Systems121212/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis二二 、奇偶对称性、奇偶对称性1 1、偶信号与奇信号、偶信号与奇信号如果一个信号如果一个信号x(t)或或xn,以纵坐标为轴反转后不变以纵坐标为轴反转后不变,则为则为偶偶(even)信号。信号。对连续信号有对连续信号有x(-t)=x(t)对离散信号有对离散信号有x-n=xn如果一个信号如果一个信号x(t)或或xn,以纵坐标为轴反转后有以纵坐标为轴反转后有x(-t)= - x(t)x-n= - xn则为则为奇奇(odd)信号。一个奇信号在信号。一个奇信号在t=0或或n=0时其值

14、必须为时其值必须为0。Signals and Systems131313/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis例例7 : f(t)如图所示，问如图所示，问f(t+1) 和和 f-(t+1) 是否关于是否关于t=0对称对称? 强调：对自变量的变换始终是围绕自变量强调：对自变量的变换始终是围绕自变量t（或（或n）进行的）进行的t-t+1t-t-1t-tSignals and Systems141414/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis对任何对任何信号信号而言：而言：信号的平均功率信号的平均功率

15、= = 偶分量功率偶分量功率 + + 奇分量功率奇分量功率 ( )( )( ):eoeeoox tx tx txtxte evenxtxto odd 1 ( )( )( )()2eEv x tx tx txt1 ( )( )( )()2oOd x tx tx txt2 2、信号的奇偶分解、信号的奇偶分解(P64 1.34)Signals and Systems151515/49/49/492021年10月16日Lecture 2例例7 画出画出f(t)的奇、偶两个分量的奇、偶两个分量1-10t21f(t)t1-1021f(t)t1-10fe(t)0.51.5t1-1f0(t)0.5-0.5Si

16、gnals and Systems161616/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis瞬时值为瞬时值为复数复数的信号可分解为实虚部两部分之和。的信号可分解为实虚部两部分之和。即即实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。研究实信号。共轭复函数共轭复函数)()()(tjftftfir )()()(*tjftftfir )()(21)(*tftftfr )()(21)(*tftftjfi 三、共轭对称性三、共轭对称性、信号的实虚分解、信号的实虚分解Signals and Systems1717

17、17/49/49/492021年10月16日Lecture 2 如果一个复信号如果一个复信号x(t)或或xn，取共轭后与原信号偶，取共轭后与原信号偶对称，则称其为对称，则称其为共轭对称信号共轭对称信号。即有：即有：x*(-t)=x*(t)或或x*-n=x*n 共轭偶信号的模值和相角均为偶函数，即若共轭偶信号的模值和相角均为偶函数，即若x(t)或或xn为共轭对称函数，则有为共轭对称函数，则有 |x(t)|= |x(-t)|或或|xn|= |x-n| 及及 argx(t)=argx(-t) 或或arg(xn)= arg(x-n)Signal Analysis2 2、共轭对称信号与反对称信号、共轭对

18、称信号与反对称信号Signals and Systems181818/49/49/492021年10月16日Lecture 2 如果一个复信号如果一个复信号x(t)或或xn，取共轭后与原信号奇，取共轭后与原信号奇对称，则称其为对称，则称其为共轭反对称信号共轭反对称信号。即有：即有：x*(-t)=-x*(t)或或x*-n=-x*n 共轭奇信号的模值为偶函数，相角为奇函数，共轭奇信号的模值为偶函数，相角为奇函数，即若即若x(t)或或xn为共轭奇函数，则有为共轭奇函数，则有 |x(t)|= |x(-t)|或或|xn|= |x-n| 及及 argx(t)=-argx(-t) 或或arg(xn)=-ar

19、g(x-n)Signal AnalysisSignals and Systems191919/49/49/492021年10月16日Lecture 2Signal Analysis对任何对任何复信号复信号而言：而言：信号的平均功率信号的平均功率 = =共轭对称分量功率共轭对称分量功率 + +共轭反对共轭反对称功率称功率 *( ):( )( )( )( ):eeooeooof tf tf tf tf tftfte evenftfto odd 共轭对称分量共轭反对称分量*1( )( )()2ef tf tft*1( )( )()2of tf tft3 3、信号的共轭对称分解、信号的共轭对称分解Si

20、gnals and Systems202020/49/49/492021年10月16日Lecture 2n 信号的对称性与分解信号的对称性与分解n 常用的连续时间常用的连续时间信号信号正弦信号正弦信号 实指数信号实指数信号 虚指数信号虚指数信号 复指数信号复指数信号 抽样函数抽样函数n 常用的离散时间信号常用的离散时间信号OutlineSignals and Systems212121/49/49/492021年10月16日Lecture 2连续时间信号的时域描述连续时间信号的时域描述典型普通信号典型普通信号 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样函数奇异信号奇异信号 单位阶跃信号

21、 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号Signals and Systems222222/49/49/492021年10月16日Lecture 21 1 正弦信号正弦信号t)sin(0tAA0)sin()(0tAtfA: 振幅振幅 0:角频率（弧度角频率（弧度/秒）秒） :初始相位初始相位周期周期T=2p p/ 0，时移，时移t0=- / 0000000sin()cos()cos()sin()ddtdtdtttt000000sin()cos()c11os()sin()dtdtttttSignals and Systems232323/49/49/492021年10月16日Lecture 22 2 指

22、数信号指数信号实指数信号实指数信号 tAetf)(At00tAetf)(1tatatateeeddtdteSignals and Systems242424/49/49/492021年10月16日Lecture 22 2 指数信号指数信号虚指数信号虚指数信号tjetf0)(复指数信号的周期：)()(Ttftf)(00Ttjtjee2, 1,20nnTp00/2pT复指数信号的基波周期：)(21)cos(tjtjeet)(21)sin(tjtjeejtEuler公式：Signals and Systems252525/49/49/492021年10月16日Lecture 2Basic Conti

23、nues-Time Signals成谐波关系的复指数信号成谐波关系的复指数信号即周期复指数信号的集合即周期复指数信号的集合，该集合内的全部信号都，该集合内的全部信号都是周期的，且有一个公共周期是周期的，且有一个公共周期T0.这就是说：一个成谐波关系的复指数信号的集合就是一这就是说：一个成谐波关系的复指数信号的集合就是一组其基波频率是某一正频率的整数倍的复指数信号，即组其基波频率是某一正频率的整数倍的复指数信号，即0( )0,1, 2,jktktek 因为复指数信号因为复指数信号ej t要成为周期为要成为周期为T0的周期信号的必要条件是的周期信号的必要条件是 这意味着这意味着由此，若定义由此，若

24、定义 0 =2/T0, 则有则有 = k 001j Te02,0, 1, 2,Tkkp （1）当）当k=0时，时，k(t)是一个常数；是一个常数；（2）当）当k0时，时， k(t)是周期信号，其基波频率为是周期信号，其基波频率为|k| 0，基波周，基波周期为期为 002kTTkkpSignals and Systems262626/49/49/492021年10月16日Lecture 22 2 指数信号指数信号复指数信号复指数信号0)(jsAetfsttjteAetf0)(tjAetAett00sincosttet0sinttet0sin0Signals and Systems272727/4

25、9/49/492021年10月16日Lecture 2Basic Continues-Time Signals其中，其中，s一般为复数，一般为复数， s = +j ( ),stx tet 指数信号的一个重要性质就是它的微分与积分仍然是指数信号的一个重要性质就是它的微分与积分仍然是指数信号，它是信号与系统中的一个重要信号之一。指数信号，它是信号与系统中的一个重要信号之一。特殊情况：特殊情况： =0时，时，s= ，x(t)为实指数信号；为实指数信号； =0时，时，s=j ，x(t)为虚指数信号；为虚指数信号；a= =0时，时，s=0，x(t)为直流信号。为直流信号。Signals and Syst

26、ems282828/49/49/492021年10月16日Lecture 21ppp2p3t)(Sa tttt/sin)(Sa1)0(Sa2, 1, 0)(Sakkppdtt)(Sa-)/()sin()(sinctttpp3.3.抽样函数抽样函数抽样函数具有以下性质：与Sa(t)函数类似的是sinc(t) 函数，其定义为Signals and Systems292929/49/49/492021年10月16日Lecture 2Basic Continues-Time Signals4、钟形脉冲函数钟形脉冲函数(高斯函数高斯函数)2e)( tEtfOt tfE 2 eEE78. 0在随机信号分析

27、中占有重要地位。在随机信号分析中占有重要地位。Signals and Systems303030/49/49/492021年10月16日Lecture 2n 信号的对称性与分解信号的对称性与分解n 常用的连续时间常用的连续时间信号信号n 常用的离散时间信号常用的离散时间信号 实值数序列实值数序列 复指数序列复指数序列 正弦序列正弦序列 单位冲激序列单位冲激序列 单位阶越序列单位阶越序列 斜坡序列斜坡序列OutlineSignals and Systems313131/49/49/492021年10月16日Lecture 2DT Complex Exponential Signals 离散时间复

28、指数信号离散时间复指数信号二、离散时间复指数函数与正弦信号二、离散时间复指数函数与正弦信号 nCrnxn nCenx where e 1.3.2 Discrete-Time Complex Exponential and Sinusoidal SignalsSignals and Systems323232/49/49/492021年10月16日Lecture 2DT Complex Exponential Signals1. 实指数序列实指数序列rreal nrnxkr 10 r 1kr 1k1 r 0kSignals and Systems333333/49/49/492021年10月16

29、日Lecture 2DT Complex Exponential Signals2. 周期复指数序列与正弦序列周期复指数序列与正弦序列 为为纯虚数，即纯虚数，即 =j . 此时此时xn)为为周期复指数函数周期复指数函数. 平均功率平均功率 Euler s 公式公式0 jnx nen 000000cossincos()22jnjnjnjjenjnAAAne eee( )1P x n功率信号功率信号Signals and Systems343434/49/49/492021年10月16日Lecture 2DT Complex Exponential Signals3. 一般复指数信号一般复指数信号

30、)sin()cos(00nCjnCCnnn 其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。当当 时幅度呈指数增长，时幅度呈指数增长， 时时幅度呈指数衰减。幅度呈指数衰减。1111Signals and Systems353535/49/49/492021年10月16日Lecture 2DT Complex Exponential Signals4. 周期性质周期性质( a) 0=0 N=1 ( b) 0= p p /8 N=16 ( c) 0= p p /4 N=8 ( d) 0 = p p /2 N=4 ( e) 0 = p p N=2 (

31、f) 0 =3p p/2 N=4 ( g) 0 =7p p/4 N=8 ( h) 0 =15p p/8 N=16 ( i) 0 =2 p p N=1 Low FrequencyHigh Frequency nnx0cos 图图 1.27p p 2 , 00 0=2 kp p, low frequency 0=(2 k+1)p p, high frequency00(2 )jnjneep频域周期性频域周期性Signals and Systems363636/49/49/492021年10月16日Lecture 2DT Complex Exponential Signals cos(8/31)x

32、nnp cos( /6)x nn周期信号周期信号N=31非周期信号非周期信号时域周期性时域周期性 000()jnjn Nee当2p/0=N/m为有理数时，为周期序列，其基波周期为N0=N/gcd(m,N)。（P42 1.35）Signals and Systems373737/49/49/492021年10月16日Lecture 2例例1(P42 1.35)判断信号判断信号xn=2cos(np p/4)+sin(np/p/8)-2cos(np p/2+p p/6)是是否为周期信号，若是，确定其基波周期。否为周期信号，若是，确定其基波周期。 由于各正弦信号的基波周期为由于各正弦信号的基波周期为N

33、1=8,N2=16,N3=4;它们的最小公倍数为它们的最小公倍数为16，是整数。，是整数。故故xn是周期信号，其基波周期为是周期信号，其基波周期为N=16。DT Complex Exponential SignalsSignals and Systems383838/49/49/492021年10月16日Lecture 2DT Complex Exponential Signals例例2(P42 1.36)对基波周期为对基波周期为T0的连续时间复指数信号的连续时间复指数信号x(t)以周期以周期T进行等间隔采样，得到离散时间复指数序列进行等间隔采样，得到离散时间复指数序列xn。分析。分析xn的的

34、周期性。周期性。0( )jtx te0 ()jnTx nx nTe00022(2 /)TTT TTppp故故T0/T为有理数时，序列为有理数时，序列xn为周期的。为周期的。由于由于2p p/( 0T)=T0/T=q/p,为有理数，故序列为有理数，故序列xn的的基波周期为基波周期为N0=q/gcd(q,p)，基波频率为基波频率为W W0=2p p/N0= 2p p/q/gcd(q,p)= 0T/p*gcd(q,p)连续信号的重复周期为连续信号的重复周期为N=p/gcd(q,p)Signals and Systems393939/49/49/492021年10月16日Lecture 2CT&DT

35、Complex Exponential SignalsSignals and Systems404040/49/49/492021年10月16日Lecture 2CT&DT Complex Exponential SignalsSignals and Systems414141/49/49/492021年10月16日Lecture 2CT&DT Complex Exponential SignalsSignals and Systems424242/49/49/492021年10月16日Lecture 2CT&DT Complex Exponential Signals0不同不同, ,信号不同

36、信号不同. . 0相差相差2 kp p,信号相同信号相同. 0越大越大, ,频率越高频率越高. .0 =2 k p p时时,频率低频率低; 0 =(2 k+1)p p时时,频率高频率高.对任意的对任意的0, ,信号均为周期的信号均为周期的. . 为有理数时为有理数时, , 信号为周期的信号为周期的. .tje0 nje0 p p 2 , 00002 p pTmN02 p pp p 2/0Table 1.1 Comparison of the andtje0 nje0 Signals and Systems434343/49/49/492021年10月16日Lecture 2DT Complex Exponential Signals 谐波关系谐波关系2 jknNknep0, 1, 2k 该信号集中的每一个信号都是以该信号集中的每一个信号都是以N为周期的为周期的, N是它们的是它们的基波周期。基波周期。称为直流分量，称为直流分量， 称为基波分量。称为基波分量。0k 1k 称为二