专题8：等差数列、等比数列

1、南京市*学校2014届高三二轮专题复习专题8：等差数列、等比数列(两课时)班级 姓名 一、课前测试1(1)已知数列an满足a14，an4(nN*且n2)，令bn，求证：数列bn是等差数列提示：用等差数列的定义来证，即证bnbn1(常数)(2)数列an前n项和为Sn，若anSnn，令bnan1，求证：数列bn是等比数列.提示：先利用数列的前n项和与通项an之间的关系,找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证即由anSnn，得an1Sn1n1，两式相减得2anan11即2bnbn1从而有(常数)2已知数列an满足an2an12n1(nN*且n2)，a12，令bn(ant) (nN*)，否存在一个

2、实数t，使得数列bn为等差数列？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由答案：存在实数t1，使得数列bn为等差数列3(1)设等差数列an的前n项和为Sn，且S3与S4的等差中项为1，而S3与S4的等比中项是S5，则an (2)已知在等比数列an中，a32，a2a4，则an 答案：(1)an1或ann； (2) an23n3或an2()n34 (1)设在等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求 ； (2)若两个等差数列an和bn的前n项之和分别是Sn、Tn，已知，则 (3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为 答案：(1)n6， q2或；(2

3、)；(3)3105 (1)已知an是等差数列，若a120，公差d2，求数列前n项和Sn的最大值(2)已知an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是 d0；a70；S9S5；S6和S7均为Sn的最大值.答案：(1)当且仅当n10或11时，Sn取得最大值110(2)二、方法联想1等差、等比数列的证明方法 证明数列是等差数列：方法1 定义法，即当nN*时，an1an为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时，2an1anan2均成立，其推广形式为：2ananmanm方法 证明数列是等比数列：方法1 定义法，即当nN*时，为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时

4、，an12anan2均成立，其推广形式为： an2anmanm2等差、等比数列的判断判断数列是等差数列方法1 定义法，即当n1且nN*时，an1an为同一常数方法2 中项公式法，即当n1且nN*时，2an1anan2均成立方法3 特殊值法，如前3项成等差，再证明其对任意nN*成等差数列方法4 通项为一次形式，即ananb方法5 前n项和为不含常数项的二次形式，即Snan2bn方法6 若数列an为等比数列，则logaan为等差数列注意 方法4、5、6只能做为判断，作为解答题需要证明判断数列不是等差数列方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列判断数列是等比数列方法1 定义法，即当nN*时

5、，为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时， an12anan2均成立方法3 特殊值法，如前3项成等比，再证明其对任意nN*成等比数列方法4 通项公式为指数幂形式，即anaqn方法5 若数列an为等差数列，则aan为等比数列注意 方法4、5只能做为判断，作为解答题需要证明 判断数列不是等比数列方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列3基本量运算基本量法：等差、等比数列中，五个元素a，q，n，an，Sn中四个量可以建立关系式，如知三求二4性质的应用方法 (1)在等差数列an中，若mnpq则amanapaq特别若mn2p，则aman2ap 在等比数列an中，若mnpq则amanapaq

6、特别若mn2p，则amanap2 (2) 在等差数列an中，由Sn得，若n为奇数，则Snna方法 在等差数列an中，Sn，S2n Sn，S3n S2n成等差数列在等比数列an中，Sn，S2n Sn，S3n S2n成等差数列5等差数列Sn的最值问题方法 在等差数列 an 中Sn 的最值问题：方法1：(1)当a10，d0时，满足的项数m使得Sm取最大值. (2)当a10，d0时，满足的项数m使得Sm取最小值，方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析三、例题分析【第一层次】例1 已知等差数列an中，公差d0，其前n项和为Sn，且满足a2a345，S428(1)求数列an的通项公式；(2)设由b

7、n (c0)构成的新数列bn，求证：当且仅当c时，数列bn是等差数列；(3)对于(2)中的等差数列bn，设cn（nN*），数列cn的前n项和为Tn，现有数列 f(n)，f(n)Tn（nN*），求证：存在整数M，使f(n)M对一切nN*都成立，并求出M的最小值 解：(1) an4n3 (3)整数M2，所以M的最小值为2 教学建议(1)主要问题归类与方法：1求数列的通项：方法:利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an利用等差(比)数列的通项公式，求通项；构造等差(比)数列求通项；用累加(乘)法求通项2证明数列是等差数列：方法：利用定义：an1and(常数)；等差中项：2an

8、an1an1 (n2，nN*)3数列求和问题：方法：利用等差(比)数列前n和公式求和；分部求和；错位相减法；裂项求和4求数列的最大项问题：方法变量分离求数列的最大项与最小项；利用数列与函数之间的特殊关系，将数列单调性转化为函数的单调性，利用函数的单调性，求最大项，但要注意通项中n的取值范围(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为本题的数列是等差数列，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择方法，因为本题可以求出数列bn的通项，所以选择方法对于问题3，学生一般会选择，因为数列的通项是分式形式，所以选择方法对于问题4，学生一般会选择，因为f(n)所对应的函数是基本函数，比较容易

9、得到函数的单调性，所以选择方法例2 已知Sn是数列an的前n项和，且anSn11(n2)，a12 (1)求数列an的通项公式；(2)对于给定的k (k1，2，n)设T(k)表示首项为ak，公差为2ak1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；(3)设bi为数列T(i)的第i项，Mnb1b2b3bn，求Mn解：(1) an (2) T(2)的前10项之和1035255 (3) Mn教学建议(1)主要问题归类与方法：1求数列的通项：方法: 利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an利用等差(比)数列的通项公式，求通项；构造等差(比)数列求通项；用累加(乘)法求通项2数列求和

10、问题：方法：利用等差(比)数列前n和公式求和；分部求和；错位相减法；裂项求和(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择，因为本题中给出数列通项an与Sn之间的关系，可以通过公式转化为数列的递推关系，由于递推关系可以很容易判定数列是否为等差数列，本题中的数列从第2项起是等差数列，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择，因为数列T(i)是等差数列，所以选择方法，数列Mn的通项是由一个等差数列与一个等比数列相应项相乘所成的，所以选择方法例3 已知无穷数列an中，a1，a2，am是首项为10，公差为2的等差数列；am1，am2，a2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m3，mN*），并对任意

11、的nN*，均有an2man成立（1）当m12时，求a2010；（2）若a52，试求m的值；（3）判断是否存在m（m3，mN*），使得S128m32014成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由解：（1）a2010a18a126()6（2）m45，或15，或9（3）当m6时，S2m取得最大值，则S128m3取得最大值为6430242007由此可知，不存在m（m3，mN*），使得S128m32014成立教学建议(1)主要问题归类与方法：1求周期数列的项：方法: 找出数列在一个周期内的通项公式，根据数列的周期，求数列中任意一项找出数列的项在第几个周期内，根据数列在一个周期内特征来归纳通项2求

12、周期数列的前n项和问题： 方法: 先求出数列在一个周期内的和，根据数列的周期确定前n项中，共含有几个周期，还剩下多项，再考虑求和3条件探索性问题： 方法: 利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件； 从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明(2)方法选择与优化建议：对于问题1，由于数列在一个周期性的各项是由一个等差数列和一个等比数列构成，数列的周期已知，所以很容易找出a2010a18，而a18是等比数列的第6项，由等比数列的通项公式可求主要是搞清楚数列在一个周期内的和，以及所求的和包含多少个周期，还剩多少项 对于问题2，学生一般会选择方法，本题中S128m3能求出，所以用方法

13、第二层次 例1 已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a2a414，S770.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的最小项是第几项，并求出该项的值解：(1) an3n2.(2)数列bn的最小项是第4项，该项的值为23.教学建议(1) 主要问题归类与方法：1求数列的通项：方法利用等差(比)数列的通项公式；构造等差(比)数列；由Sn与an的关系求通项；用不完全归纳法，猜想数列的通项，再证明2求数列的最大项问题：将数列的通项看作是n的函数，通过讨论相应函数的单调性来求最值；考察数列的单调性，求最大项；利用基本不等式求最值(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，因为

14、本题已知数列是等差数列，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择，因为本题中bn3n1便于用基本不等式求最值，但要注意这里n必须取正整数，所以选择方法例2 已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a465，a1a518(1)求数列an的通项公式an；(2)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i值；(3)是否存在常数k，使得数列为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由解: (1) an4n3.(2) i3 (3)由(1)知，Sn2n2n假设存在常数k，使数列为等差数列，【法一】由2，得k1, 当k1时，n，易知数列为等差数列【法二】假设存在常数k，使

15、数列为等差数列，由等差数列通项公式可知设anb， 得2n2(k1)n(an)22abnb2恒成立，可得a22，2abk1，b20，a22，b0，k1 n，易知数列为等差数列教学建议(1)主要问题归类与方法：1等差(比)数列基本量的计算：方法: 利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n项和公式求基本量；2条件探索性问题： 方法: 利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件； 从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明(2)方法选择与优化建议：对于问题1，一

16、般优先考虑方法，如没性质可用，就用方法，本题先用性质简化后，先求出a2和a4，再求d，然后用ana2(n2)d，求通项，当然本题用方法也很简单 对于问题2，学生一般会选择方法，由特例求k的值比较方便，所以用方法例3 已知Sn是数列an的前n项和，且anSn12 (n2)，a12 (1)求数列an的通项公式；(2)对于给定的k (k1，2，n)设T(k)表示首项为ak，公差为2ak1的等差数列，求数列T(2)的前10项之和；(3)设bi为数列T(i)的第i项，Mnb1b2b3bn，求Mn解：(1) an2n (2) T(2)的前10项之和为355 (3) Mn(2n3) 2n16教学建议(1)主

17、要问题归类与方法：1求数列的通项：方法: 利用数列的通项an与前n和Sn的关系，在已知Sn条件下求通项an利用等差(比)数列的通项公式，求通项；构造等差(比)数列求通项；用累加(乘)法求通项2数列求和问题：方法：利用等差(比)数列前n和公式求和；分部求和；错位相减法；裂项求和(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择，因为本题中给出数列通项an与Sn之间的关系，可以通过公式转化为数列的递推关系，由于递推关系可以很容易判定数列为等差数列，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择，因为数列T(i)是等差数列，所以选择方法，数列Mn的通项是由一个等差数列与一个等比数列相应项相乘所成的，所以选

18、择方法第三层次例1 已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a2a414，S770.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的最小项是第几项，并求出该项的值解 (1) an3n2.(2)数列bn的最小项是第4项，该项的值为23.教学建议(1) 主要问题归类与方法：1求数列的通项：方法利用等差(比)数列的通项公式；构造等差(比)数列；由Sn与an的关系求通项；用不完全归纳法，猜想数列的通项，再证明2求数列的最大项问题：将数列的通项看作是n的函数，通过讨论相应函数的单调性来求最值；考察数列的单调性，求最大项；利用基本不等式求最值(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，

19、因为本题已知数列是等差数列，所以选择方法对于问题2，学生一般会选择，因为本题中bn3n1便于用基本不等式求最值，但要注意这里n必须取正整数，所以选择方法例2 已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a465，a1a518(1)求数列an的通项公式an；(2)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i值；(3)是否存在常数k，使得数列为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由解 (1) an4n3. (2) i3 (3)由(1)知，Sn2n2n假设存在常数k，使数列为等差数列，【法一】由2，得k1, 当k1时，n，易知数列为等差数列【法二】假设存在常数k

20、，使数列为等差数列，由等差数列通项公式可知设anb， 得2n2(k1)n(an)22abnb2恒成立，可得a22，2abk1，b20，a22，b0，k1 n，易知数列为等差数列教学建议(1)主要问题归类与方法：1等差(比)数列基本量的计算：方法: 利用等差(比)数列的通项公式与前n项和公式，求基本量a1与d(q)，再用上述公式求数列中某项，某项数与某些项的和利用等差(比)数列的性质，把条件简化后再用通项公式各前n项和公式求基本量；2条件探索性问题： 方法: 利用分析法，从结论和已知条件入手，执果索因，导出所需条件； 从特例出发，探求结论成立的条件，再进行证明(2)方法选择与优化建议：对于问题1，一般优先考虑方法，如没性质可用，就用方法，本题先用性质简化后，先求出a2和a4，再求d，然后用ana2(n2)d，求通项，当然本题用方法也很简单 对于问题2，学生一般会选择方法，由特例求k的值比较方便，所以用方法例3：等差数列an的前n项和为Sn，且a25，S763，数列bn的前n项为Tn，满足bnTn12(n2，nN)，b12， （1）求an与bn； （2）求数列an