第7章电力系统小干扰稳定

1、2021-10-161电力系统小干扰法稳定分析电力系统小干扰法稳定分析n动力学系统运动的稳定性动力学系统运动的稳定性：由描述动力学系统的微分方程：由描述动力学系统的微分方程组的解来表征，反映为微分方程组解的稳定性。组的解来表征，反映为微分方程组解的稳定性。n李雅普诺夫运动稳定性理论李雅普诺夫运动稳定性理论：某一运动系统受到一个非常：某一运动系统受到一个非常微小并随即消失的力（小扰动）的作用，使某些相应的量微小并随即消失的力（小扰动）的作用，使某些相应的量X1、X2产生偏移，经过一段时间，这些偏移量都小于产生偏移，经过一段时间，这些偏移量都小于某一预先指定的任意小的正数，则未受扰系统是稳定的，某

2、一预先指定的任意小的正数，则未受扰系统是稳定的，否则不稳定。否则不稳定。 如果未受扰系统是稳定的，并且：如果未受扰系统是稳定的，并且： 则称为受扰系统是渐近稳定的。则称为受扰系统是渐近稳定的。n电力系统静态稳定属于渐近稳定。电力系统静态稳定属于渐近稳定。0)(limtXit2021-10-162二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理 非线性系统的线性近似稳定性判断法非线性系统的线性近似稳定性判断法n设有一个不显含时间变量设有一个不显含时间变量t t的非线性系统的非线性系统, ,其运动方程为其运动方程为: :nXeXe是系统的一个平衡状态是系统的一个平衡状态

3、 , ,如果系统受扰动偏离平衡状态如果系统受扰动偏离平衡状态, ,记记X=XeX=Xe+X X 将其代入运动方程并展开成泰勒级数将其代入运动方程并展开成泰勒级数: :nR(R(X )X )为为X X 的二阶及以上阶各项之和的二阶及以上阶各项之和. .n令令F(X)Xdtd)(|XRXXF(X)F(XX)(XeXXeedddtdnnijadd|AXF(X)eXX2021-10-163二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理二、运动稳定性的基本概念和小扰动法原理n矩阵矩阵A A称为雅可比矩阵称为雅可比矩阵, ,其元素为其元素为: :n计及计及 , ,展开式变为展开式变为: :n忽略高阶项忽略高阶项:

4、 : 这就是原非线性方程的线性近似这就是原非线性方程的线性近似( (一次近似一次近似) )方程方程, ,或呈线性化的小或呈线性化的小扰动方程扰动方程. .n李雅普诺夫稳定性判断原则为李雅普诺夫稳定性判断原则为: :若线性化方程中的雅可比矩阵若线性化方程中的雅可比矩阵A A没有零值或实部为零值的特征值没有零值或实部为零值的特征值, ,则非线性系统的稳定则非线性系统的稳定性可以完全由线性化方程的稳定性来决定性可以完全由线性化方程的稳定性来决定. .eXXjiijxfa|0F(Xe)0Xe 和dtd)( XRXAXdtdXAXdtd2021-10-164二、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理二

5、、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理n小干扰法小干扰法：用李雅普诺夫一次近似法分析电力系统静态稳：用李雅普诺夫一次近似法分析电力系统静态稳定性的方法，根据描述受扰系统的线性化微分方程组的特定性的方法，根据描述受扰系统的线性化微分方程组的特征方程式的根的性质来判定为受扰运动是否稳定的方法。征方程式的根的性质来判定为受扰运动是否稳定的方法。XAXdtd0detIAp线性化微分方程组线性化微分方程组特征方程特征方程01110nnnnapapapatpeinktpeiktpeiktixn2121)(2021-10-165二、运动稳定性的基本概念和小干扰法的基本原理二、运动稳定性的基本概念和小干扰

6、法的基本原理n稳定性判断稳定性判断 (1)(1)若线性化方程若线性化方程A A矩阵的所有特征值的实部均为负值矩阵的所有特征值的实部均为负值, ,线线性化方程的解是稳定的性化方程的解是稳定的, ,则非线性系统也是稳定的则非线性系统也是稳定的. . (2) (2)若线性化方程若线性化方程A A矩阵至少有一个实部为正值的特征值矩阵至少有一个实部为正值的特征值, ,线性化方程的解是不稳定的线性化方程的解是不稳定的, ,则非线性系统也是不稳定的则非线性系统也是不稳定的. . (3) (3)若线性化方程若线性化方程A A矩阵有零值或实部为零值的特征值矩阵有零值或实部为零值的特征值, ,则则非线性系统稳定性

7、需要计及非线性部分非线性系统稳定性需要计及非线性部分R(R(X )X )才能判定才能判定. .2021-10-166特征值根在复平面上的 分布微分方程式的解说明正实根解按指数规律不断增大，系统将非周期性地失去稳定负实根按指数规律不断减小，系统是稳定的。共轭虚根周期性等幅振荡，稳定的临界情况。实部为正的共轭复根周期性振荡，其振荡幅值按指数规律增大。系统发生自发振荡，周期性地失去稳定。实部为负的共轭复根周期性振荡，其振荡幅值按指数规律减小，系统是稳定的。2021-10-167三、小干扰法分析电力系统暂态稳定性三、小干扰法分析电力系统暂态稳定性2021-10-1681.1.不计发电机组的阻尼作用不计

8、发电机组的阻尼作用)(0eTJNNPPTdtddtd )(sinEqd00qEqePXVEPP),()(),(0fPPTdtddtdEqTJNN f 2220000! 21)()()(dPdddPPPPEqEqEqEqEqEqEqEqSPP)()(0略去高阶项略去高阶项0ddPSEqEqEqeeEqEqSPPPP)()(02021-10-169EqeeEqEqSPPPP)()(0),()(),(0fPPTdtd f dtd EqTJNN代入代入JEqNeJNNNTSPTdtddtddtddtddtddtd)()(0 TS dtddtdJEqN010 010,JEqNTTSdtdAXAXX202

9、1-10-1610 010,JEqNTTSdtdAXAXX000cos0dqEqEqXVEddPS01det2JEqNJEqNTSp p TS pJEqNTSp2, 1代入代入2021-10-1611n当当S SEqEq000时，特征值为一对共轭虚数时，特征值为一对共轭虚数tptpekekt2121)(随时间按指数规律增大随时间按指数规律增大jp2, 1JEqNTS对稳定性的简单分析对稳定性的简单分析JEqNTSp2, 12021-10-1612n方程的解为：方程的解为：tkkjtkkekekttjtjsin)(cos)()(212121 jBAkjBAkkkt，设应为一对共轭复数。、应为实数

10、，因而2121)(BAarctgBAktktBtAt,2)sin(sin2cos2)(22结论：当结论：当S SEqEq00时，电力系统受扰动后，功角时，电力系统受扰动后，功角将在将在0 0附近附近作等幅振荡，考虑能量损耗，振荡会逐渐衰减，系统趋于稳作等幅振荡，考虑能量损耗，振荡会逐渐衰减，系统趋于稳定。定。2021-10-1613n静态稳定判据：静态稳定判据：n稳定极限情况：稳定极限情况：S SEqEq=0=0，极限运行角，极限运行角s1s1=90=900 0，与，与此对应的发电机输出功率为：此对应的发电机输出功率为：这就是系统保持静态稳定时发电机所能输送的这就是系统保持静态稳定时发电机所能

11、输送的最大功率，称为稳定极限。最大功率，称为稳定极限。0EqS 900EqmdqsdqEqsPXVEXVEP001001sin2021-10-16142.2.计及发电机组的阻尼作用的静态稳定计及发电机组的阻尼作用的静态稳定n假定阻尼作用所产生的转矩（或功率）都与转速假定阻尼作用所产生的转矩（或功率）都与转速呈线性关系（呈线性关系（D D为综合阻尼系数）为综合阻尼系数）n计及阻尼的转子运动方程计及阻尼的转子运动方程dtdDDDPMNDD)()()(22DPPPPPdtdTEqTDeTNJ2021-10-1615n线性化的状态方程线性化的状态方程nA A矩阵为矩阵为JNJEqNTDTSdtddtdJNJEqNTDTS10A2021-10-1616nA A矩阵的特征值为矩阵的特征值为n阻尼对稳定性影响分析阻尼对稳定性影响分析（1 1）发电机有正阻尼发电机有正阻尼D0D0的情况的情况：当当S SEqEq00，且，且D D2 24S4SEqEqT TJ J/N N时，特征值为两个负实数，时，特征值为两个负实数，(t)(t)将单调衰减到零，系统是稳定的，通常称为过阻尼；将单调衰减到零，系统是稳定的，通常称为过阻尼；当当S SEqEq00，但，但D D2 24S4SEqEqT TJ J/N N时，特