黄土公路隧道洞室开挖毕业设计

1、兰州交通大学毕业设计摘 要随着我国西部大开发战略的实施，高等级的公路得到了迅猛发展。与此同时，在高速公路建设中包含大量的黄土隧道。由于黄土公路隧道洞室开挖断面大、地质条件复杂、施工难度高、附属设施多，因此在隧道工程的建设过程中出现了诸多问题。本文基于黄土力学参数，运用岩土工程数值分析软件midas gts，进行黄土地层地下隧道开挖对周围土体变形影响的计算机模拟分析。根据黄土场地的实际条件，建立了隧道的计算模型，利用midas gts程序，模拟了黄土隧道开挖过程中前期支护条件、后期加固措施等因素对隧道内部地表、拱顶、侧墙以及地上建筑物沉降的影响程度和塑性区、位移的分布规律。仿真黄土隧道开挖数值模

2、拟，以及开挖过程对周围土层的影响，可为黄土地区的地下工程建设提供一定的参考。关键词：黄土隧道 ， 数值模拟 ， midas gtsabstractwith the implementation of the strategy of western development in our country， high-grade highway got rapid development. at the same time，contains a large number of loess tunnel in expressway construction. due to the loess high

3、way tunnel cavern excavation section of large，complex geological conditions，construction difficulty is high，the ancillary facilities，more so in tunnel engineering construction problems appeared in the process. based on loess mechanics parameters，by use of numerical analysis of geotechnical engineeri

4、ng software midas gts，loess stratum underground tunnel excavation on the surrounding soil mass deformation impact analysis of the computer simulation. according to the actual condition of the loess field，established the calculation model of the tunnel，using midas gts procedure，loess tunnel excavatio

5、n are simulated by the early supporting conditions，later in the process of reinforcement measures on the tunnel internal surface，the influence degree of the side wall and the ground settlement of buildings and the plastic zone，displacement distribution. loess tunnel excavation simulation numerical s

6、imulation，and the influence of excavation process on the surrounding soil，for underground engineering construction in loess regions provide certain reference.key words: loess tunnel， the numerical simulation， midas gts 目 录1 绪 论11.1 黄土的特性11.1.1 黄土的成分组成11.1.2 黄土的分类11.1.3 黄土的特性21.2 黄土隧道建设历史31.2.1 铁路黄土隧

7、道的建设历史31.2.2 公路黄土隧道建设历史41.3 黄土隧道建设技术问题41.3.1 大断面黄土隧道的工程特性和变形性机理问题51.3.2 适用于黄土隧道的支护结构问题51.3.3 黄土隧道地表沉降控制和地表裂缝技术问题51.3.4 黄土隧道拱脚稳定性问题51.3.5 湿陷性黄土隧道地基处理技术问题51.4 隧道开挖方法的选择61.4.1 全断面开挖法61.4.2 台阶法施工61.4.3 环形开挖留核心土法71.4.4 中隔壁法（cd法）81.4.5 交叉中隔壁法（crd法）81.4.6 双侧壁导坑法（眼镜法）91.5 研究任务92 有限元分析102.1 有限元概念102.2 有限元的发展

8、历史与现状102.2.1 有限元的发展历史102.2.2 有限元的现状102.3 有限元的数学基础研究112.4 有限元的基础理论112.4.1 离散化122.4.2 单元分析122.4.3 整体分析142.5 基本原理和数理概念152.6 位移模式及形函数162.6.1 等截面梁单元162.6.2 三结点三角形单元182.6.3 双线性矩形单元192.6.4 平面等参数单元202.7 数值方法的收敛性222.8 有限元分析的方法步骤232.9 有限元分析242.10 有限元分析的作用及特点252.10.1 有限元分析的作用252.10.2 有限元分析的特点263 有限元分析软件midas g

9、ts273.1 midas简介273.2 midas gts(岩土和隧道结构专用分析系统)简介283.3 midas/gts的数值分析模型283.3.1 岩土分析；293.3.2 坐标系和节点；293.3.3 单元类型.304 黄土隧道开挖过程的数值模拟314.1 建立模型314.1.1 隧道模型基本资料：314.1.2 模型效果图：314.2 主要运行结果324.2.1 模型开挖不同时期的应力云图324.2.2 不同施工阶段的应变等值线云图354.2.3 不同施工阶段的位移等值线云图384.2.4 不同施工阶段位移变形云图414.2.5 不同开挖阶段拱顶位移444.2.6 地面的发生竖向位移

10、444.2.7 隧道内侧变形454.3 不同施工阶段对比464.3.1 前两米隧道开挖464.3.2 后两米隧道开挖47结 论49致 谢50参考文献51兰州交通大学毕业设计1 绪 论1.1 黄土的特性1.1.1 黄土的成分组成黄土的颗粒成分以粉粒为主，在黄土中粉粒（粒径0.0050.05mm）含量一般在60%以上。黄土中普遍含有砂粒，但以极细砂（0.05-0.1mm)居多细砂含量很少，一般粒径均小0.25mm。粘土含量一般在20%左右。在黄河中游黄土颗粒组成中，由北向南和由西向东砂砾逐渐减少，而黏土含量逐渐增多。黄土中的矿物质成分包括碎屑矿物和黏土矿物。碎屑矿物主要是石英、长石和云母，这三类矿

11、物的总含量占全部碎屑矿物的80%，还有少量辉石、角闪石、绿帘石和磁铁矿等。此外，黄土中还含有碳酸盐矿物，如方解石。黏土矿物主要是伊利石、蒙脱石、高岭石、针铁矿和含水赤铁矿等。1.1.2 黄土的分类中国黄土的分布面积比世界上任何一个国家都大，而且黄土地形，在中国发育得最为完善，规模也最为宏大。中国西北的黄土高原是世界上规模最大的黄土高原；华北的黄土平原是世界上规模最大的黄土平原。中国黄土总面积达63.1万平方公里，占全国土地面积的6。从地理位置上来看，中国的黄土主要分布在北纬40以南的地区，位于大陆的内部、西北戈壁荒漠以及半荒漠地区的外缘。从区域来看，中国的黄土主要分布于广大西北地区的黄土高原以

12、及华北平原和东北的南部。黄土高原的面积约占全国黄土分布总面积的70以上，黄土层的厚度一般都达100米以上，其中陕北和陇东的局部地区达150米，在陇西地区超过200米。具体来说，黄土主要分布于甘肃的中部和东部，陕西的中部和北部，内蒙古伊克昭盟的南部和西部，山西的大部分，河南的北部、西部及西北部，山东西部以及辽宁山地一带。华北平原的黄土则多被埋藏在较深的冲积层的下部。总之，在长城以南，秦岭以北，西迄青海东部，东至海边的整个黄河流域都有黄土分布。在长城以北，黄土就逐渐消失。此外值得注意的是，天山北麓、昆仑山麓、祁连山麓也有黄土分布。一般认为中国黄土的分布南止秦岭，但事实上在宝鸡以南，秦岭中的凤县、双

13、石铺一带，再南至柴关岭也都有黄土分布。即使在汉中盆地或向东到大别山北坡、江苏北部，甚至南京附近以及长江流域的某些地区也有零星的黄土分布。1.1.3 黄土的特性黄土是最新的地质时期（距今约200万年左右的第四系）形成的土装堆积物，所以其性质比较特殊。黄土具有显著的垂直节理，土质疏松，在干燥时较坚硬，一旦遇水浸泡，通常容易剥落、侵蚀和湿陷。在黄土地区修建各种建（构）筑物时，如果对黄土的特性不了解，往往会给工程带来严重的损伤和破坏，黄土的特性很早就引起了科学工作者和工程技术人员的关注。在长期的实践和研究中，把黄土的主要特征归结为五个方面。1) 多孔性由于黄土主要是由极小的粉状颗粒所组成，而在干燥、半

14、干燥的气候条件下，它们相互之间结合得不紧密，一般只要用肉眼就可以看到颗粒间具有各种大小不同和形状不同的孔隙和孔洞，所以通常有人将黄土称为大孔土。一般认为黄土的多孔性与成岩作用、植物根系腐烂和水对黄土的作用等有关，更重要的是与特殊的气候条件有关。典型的黄土孔隙度较高，而黄土状岩石的孔隙度较低。2) 垂直节理发育当深厚的黄土层沿垂直节理劈开后，所形成的陡峻而壮观的黄土崖壁是黄土地区特有的景观。垂直节理发育，就是典型黄土和黄土状岩石所具有的普遍而特殊的性质。关于黄土垂直节理的成因，曾引起了许多学者的兴趣。目前较多的人认为，垂直节理的形成主要是由于黄土在堆积加厚的过程中受到重力的影响，土粒间的上下间距

15、变得愈来愈紧密，而土粒间的左右间距却保持原状不变。这样水和空气即沿着抵抗力最小的上下方向移动，也就是说沿着黄土的垂直管状孔隙不断地作升降运动并反复进行，这就造成了黄土垂直节理发育的倾向。3) 层理不明显凡是沉积岩一般都应具有层理，因为无论任何成因的沉积岩的形成都必须经过沉积物逐步堆积的过程。黄土既然也属于沉积岩的范畴，为什么层理却不明显、不清楚呢？ 很多学者把黄土无层理、层理不明显，作为黄土风成的标志，而有层理的黄土则认为是水成的依据。如今，有人提出不管黄土是风成的，还是水成的都应具有层理，其层理之所以不明显，主要是由于在观察过程中，人们的注意力主要集中于黄土的孔隙性和垂直节理的显著特征上，忽

16、视了对层理的研究；其次，黄土的组成物质主要物质是尘土质物质，它在渐次堆积过程中，形成非常薄的层理，用肉眼观察是不明显的；另外，黄土崖壁经过不断的雨水淋洗后，常常使表层黄土成泥浆糊状物涂于整个崖壁表面，因此从外观来看，就再也看不清层理了，就像砖砌的墙壁经过泥浆的粉刷再也看不到砖缝一样。这种说法是有一定道理的。4) 透水性较强一般典型的黄土透水性较强，而黄土状岩石的透水性较弱；未沉陷的黄土透水性较强，沉陷过的黄土透水性较弱。黄土之所以具有透水性，这是和它具有多孔性以及垂直节理发育等结构特点分不开的。黄土的多孔性及垂直节理愈发育，黄土层在垂直方向上的透水性愈高，而在水平方向上的透水性则愈微弱。此外，

17、当黄土层中具有土壤层或黄土结核层时，就会导致黄土层的透水性不良，甚至产生不透水层。5) 沉陷性黄土经常具有独特的沉陷性质，这是任何其他岩石较少有的。黄土沉陷的原因多种多样，只有把黄土本身的性质与外在环境的条件结合起来考虑时，才能真正了解黄土沉陷的原因。粉末性是黄土颗粒组成的最大特征之一。粉末性表明黄土粉末颗粒间的相互结合是不够紧密的，所以每当土层浸湿时或在重力作用的影响下，黄土层本身就失去了它的固结的性能，因而也就常常引起强烈的沉陷和变形。此外，黄土的多孔性，大气降水和温度的变化以及人为的影响，对黄土中可溶性盐类的溶解和黄土沉陷的数量与速度都有着极大的影响。黄土的上述五种特性并不是互不相干的，

18、而是相互影响，互为作用的，所以对黄土的特性必须全面综合地加以研究。1.2 黄土隧道建设历史1.2.1 铁路黄土隧道的建设历史100多年来，在我国黄土分布地区修建了大量的铁路干线、支线和专用线，比如横贯东西的陇海线、兰新线、京包线京承线、京原线、石太线、邯长线，大秦线、侯月线、；纵横南北的北同浦线、南同浦线、包兰线、西延线、太焦线、宝中线等。铁路穿越黄土塬、梁的边缘，由于下伏基岩的起伏，黄土层厚度不一，铁路隧道有全部洞身断面通过黄土，有仅在隧道上部断面或在进口、出口部分段落穿过黄土。铁路黄土隧道主要集中在河南、山西、陕西甘肃等省的铁路线上。1950年前黄土隧道施工方法采用单工序作业，先拱后墙法，

19、全部依靠人工开挖、搬运。隧道拱圈衬砌用白灰砂浆筑砌青砖，边墙用石料砌筑。20世纪5070年代，黄土隧道的施工采用上导坑法，上下导坑法。开挖以手工工具为主，用铣、镐开挖。支撑主要是木支撑，导坑采用框架式，扩大采用扇形支撑，洞内运输主要用人力推轻轨土斗车、架子车、手推车等。黄土隧道没有标准的设计图，而是套用一般土质隧道的衬砌断面，其结构形式不完全适应黄土隧道的特性，衬砌厚度偏大而且不完全合理。20世纪80年代成功采用新奥法修建了大秦铁路黄土地段的军都山隧道和神朔线黄土地段的蛇口岇隧道。例如，军都山隧道采用了近似圆形的蛋形断面的复合式衬砌结构，采用非爆破大断面长台阶开挖，断面分为上、中、下三个台阶，

20、自上而下开挖，上、中层台阶开挖采用平行作业，下台阶则与上、中台阶开挖采用交替作业。此后修建的黄土隧道基本上是采用以喷锚网为初期支护，模筑混凝土为二次衬砌的施工方法。20世纪90年代是铁路建设高潮期之一，新的干线铁路及路网建设加快，这一时期在黄土地区修建的铁路有侯月线、宝中线、神朔线、神延线、朔黄线等。我国在早期修建的黄土隧道均为普速铁路单线或者双线隧道，隧道的开挖面积为50120m2。受经济、技术水平的限制，黄土隧道一般较短，大部分穿越新黄土，埋深较浅。建设过程中为了解决黄土隧道特有的问题，广大隧道工程建设者针对性地开展了大量的试验研究工作。1.2.2 公路黄土隧道建设历史根据资料记载，在陕西

21、北部黄土高原修建的第一座隧道是黑山寺隧道，位于咸阳至宋家川公路的子长县黑山寺沟，单车道、青砖衬砌，净空为0.35m+0.35m+0.35m，界限高4m，全长250m。该隧道1958年开始试验性修建，1956年正式建成。由于大跨径、大断面和扁坦状特点，早期黄土公路隧道的施工方法主要是单侧壁和双侧壁导坑法，进入20世纪90年代后普遍采用环形开挖留核心土法，对于三车道和加宽带一般采用三台阶七步环形开挖发。随着我国改革开放的不断深入和经济的快速发展，高速公路的建设得到了迅猛的发展，修建了大量的黄土公路隧道。目前，修建的黄土隧道最大跨度为17.66m（西安绕城高速公路南段的马腾空隧道）；最大开挖断面为1

22、71m2（陕西榆林商洛线神木至府谷高速公路的墩梁隧道，开挖高度为12.19m，最大开挖跨度达17.32m）；西北地区第一长黄河隧道是羊泉隧道（长6146m）；我国第一条黄土连拱隧道是离石隧道（青岛至银川国道山西省汾阳离石高速公路，长180m），隧道开挖宽度达24.4m，开挖高度达10.05m（含仰拱），总开挖面积为224.4m2。1.3 黄土隧道建设技术问题黄土隧道，特别是大断面、特大断面的黄土隧道，由于其自身的特点（施工变形量大、地表沉降量大、新黄土湿陷性等）在建设中主要存在以下几个技术问题。1.3.1 大断面黄土隧道的工程特性和变形性机理问题大断面和特大断面黄土隧道的工程特性和变形机理不同

23、于小断面和中断面的黄土隧道。对于黄土的基本特征和小断面黄土隧道的工程特性、变形机理等，过去已有比较深入的研究，取得了很多共识。但实践证明，在大断面或特大断面的条件下，有些成果和共识已不能成立，或需要修正。因此，有必要研究提出大断面和特大断面黄土隧道的工程特性和变形机理，并以此作为建立大断面黄土隧道建设技术的基础。1.3.2 适用于黄土隧道的支护结构问题目前，黄土隧道的支护结构构成基本上与一般围岩隧道的支护结构构成相同，但从大断面和特大断面黄土隧道施工的实际看，系统锚杆的效果存在疑虑，格栅钢架和型钢钢架何者为宜？如何理解二次衬砌的安全储备？二次衬砌是否承载？以及控制支护脚部下沉的技术等一系列问题

24、都与支护结构有关。可见，加深对各种支护措施的作用的机理研究，选择经济合理的黄土隧道的支护结构是一个值得研究的重要问题。1.3.3 黄土隧道地表沉降控制和地表裂缝技术问题黄土隧道一般深埋较浅，个别隧道下穿既有建(构）筑物，施工过程中，易产生地表裂缝，如何让控制地表的沉降和裂缝，是黄土隧道需要解决的重要技术问题。当前研究成果表明，浅埋黄土隧道的地表沉降和开裂一般具有以下规律：在隧道开挖后，即发生沉降，地表出现纵向和横向裂缝，裂缝一般超前掌子面。因此，应控制隧道的施工变形，减少黄土隧道施工地表裂缝，确保黄土隧道结构的稳定和运营的安全。1.3.4 黄土隧道拱脚稳定性问题考虑到施工工序的影响，黄土隧道拱

25、脚部位受力比较复杂，一般拱脚围岩的承载力不足，容易发生屈服形成塑性区，拱脚沉降和收敛变形大，易因拱脚变形过大导致隧道整体下沉及失稳。由监控量测结果表明，拱脚变形较大地段，其地表沉降和拱顶下沉也较大，两者完全对应，并且两者发生突变时间同步，变化的幅度也同步。可见如何采取有效控制拱脚变形的措施，以有利于控制拱顶沉降和地表下沉，是需要深化研究解决的问题。1.3.5 湿陷性黄土隧道地基处理技术问题我国已在黄土地区修建大量的铁路隧道，由于列车运行速度低，对工后地基沉降控制要求不高，除将位于湿陷性黄土地层的洞门或者洞身基础进行换填处理外，一般情况下没有对基础做特殊处理。1.4 隧道开挖方法的选择在当前的施

26、工实践中，从施工造价及施工速度考虑，施工方法选择顺序为：全断面法台阶法环形开挖留核心土法中隔壁法（cd法)交叉中壁法（crd法）双侧壁导坑法；从施工安全角度考虑，其选择顺序应反过来。如何正确选择，应根据实际情况综合考虑，但必须符合安全、快速、质量和环保的要求，达到规避风险、加快进度和节约投资的目的。1.4.1 全断面开挖法1) 概念全断面开挖法就是按照设计轮廓一次爆破成形，然后修建衬砌的施工方法。2) 适用条件：iiv级围岩，在用于级围岩时，围岩应具备从全断面开挖到初期支护前这段时间内，保持其自身稳定的条件。有钻孔台车或自制作业台架及高效率装运机械设备。隧道长度或施工区段长度不宜太短，根据经验

27、一般不应小于lkm，否则采用大型机械化施工，其经济性较差。3) 全断面法施工特点1 开挖断面与作业空间大、干扰小；2 有条件充分使用机械，减少人力；3 工序少，便于施工组织与管理，改善劳动条件；4 开挖一次成形，对围岩扰动少，有利于围岩稳定。1.4.2 台阶法施工1) 概念台阶法是先开挖上半断面，待开挖至一定长度后同时开挖下半断面，上、下半断面同时并进的施工方法；按台阶长短有长台阶、短台阶和超短台阶三种。近年来由于大断面隧道的设计，又有三台阶临时仰拱法，甚至多台阶法。至于施工中究竟应采用何种台阶法，要根据以下两个条件来决定：初期支护形成闭合断面的时间要求，围岩越差，闭合时间要求越短；上断面施工

28、所用的开挖、支护、出碴等机械设备施工场地大小的要求。在软弱围岩中应以前一条为主，兼顾后者，确保施工安全。在围岩条件较好时，主要是考虑如何更好的发挥机械效率，保证施工的经济性，故只要考虑后一条件。台阶开挖法的优缺点：台阶开挖法可以有足够的工作空间和相当的施工速度。但上、下部作业有干扰；台阶开挖虽增加对围岩的扰动次数，但台阶有利于开挖面的稳定。尤其是上部开挖支护后，下部作业就较为安全，但应注意下部作业时对上部稳定性的影响。2) 台阶开挖时应注意以下几点：1 解决好上、下半断面作业的相互干扰问题。微台阶基本上是合为个工作面进行同步掘进；长台阶基本上拉开，干扰较小；而短台阶干扰就较大，要注意作业组织。

29、对于长度较短的隧道，可将上半断面贯通后，再进行下半断面施工。2 下部开挖时，应注意上部的稳定。若围岩稳定性较好，则可以分段顺序开挖；若围岩稳定性较差，则应缩短下部掘进循环进尺；若稳定性更差，则可以左右错开，或先拉中槽后挖边帮。3 下部边墙开挖后必须立即喷射混凝土，并按规定做初期支护。4 量测工作必须及时，以观察拱顶，拱脚和边墙中部位移值，当发现速率增大立即进行仰拱封闭。1.4.3 环形开挖留核心土法环形开挖进尺宜为0.5-1.0m，核心土面积应不小于整个断面面积的50%，开挖后应及时施工喷锚支护、安装钢架支撑，相邻钢架必须用钢筋连接，并应按施工要求设计施工锁角锚杆。围岩地质条件差，自稳时间短时

30、，开挖前应按设计要求进行超前支护。核心土与下台阶开挖应再上台阶支护完成后、喷射混凝土达到设计强度的70%。图1-1 环形开挖留核心土法1.4.4 中隔壁法（cd法）cd法是在软弱围岩大跨度隧道中，先开挖隧道的一侧，并施作中隔壁，然后再开挖另一侧的施工方法，主要应用于双线隧道级围岩深埋硬质岩地段以及老黄土隧道（级围岩）地段。 a b 图1-2 cd法1.4.5 交叉中隔壁法（crd法）在软弱围岩大跨隧道中，先开挖隧道一侧的一或二部分，施作部分中隔壁和横隔板，再开挖隧道另一侧的一或二部分，完成横隔板施工；然后再开挖最先施工一侧的最后部分，并延长中隔壁，最后开挖剩余部分的施工方法。采用短台阶法难确保

31、掌子面的稳定时，宜采用分部尺寸小的crd法，该工法对控制变形比较有利。cd法是“centerdiaphragm”的简称，而crd法则是crossdiaphragm”的简称。两者既有联系又有区别。它们都用于比较软弱地层中而且是大断面隧道的场合。而前者是在用钢支撑和喷混凝土的隔壁分割开进行开挖的方法；后者则是用隔壁和仰拱把断面上下、左右分割闭合进行开挖的方法，是在地质条件要求分部断面及时封闭的条件下采用的方法。因此，crd法与cd法唯一的区别是在施工过程中每一步，都要求用临时仰拱封闭断面。在crd法或cd法中，一个关键问题是拆除中壁。一般说，中壁拆除时期应在全断面闭合后，各断面的位移充分稳定后，才

32、能拆除。图1-3 crd法1.4.6 双侧壁导坑法（眼镜法）侧壁导坑开挖后方可进行下一步开挖。地质条件差时，每个台阶底部均应按设计要求设临时钢架或临时仰拱。各部开挖时，周边轮廓应尽量圆顺。应在先开挖侧喷射混凝土强度达到设计要求后在进行另一侧开挖。左右两侧导坑开挖工作面的纵向间距不宜小于15米。当开挖形成全断面时应及时完成全断面初期支护闭合。中隔壁及临时支撑应在浇筑二次衬砌时逐段拆除。图1-4 双侧壁导坑法1.5 研究任务1) 熟悉黄土隧道开挖施工的各种工法，数值模拟最常用工法施工隧道开挖过程中隧道的变形。2) 通过数值模拟，对黄土隧道在施工中产生的变形进行计算分析，提取不同开挖阶段的变形云图，

33、分析开挖方法对控制沉降的影响。2 有限元分析2.1 有限元概念有限元法( finite element method， fem) ， 是计算力学中的一种重要的方法， 它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中， 用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题， 有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合， 且单

34、元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域; 然后对单元( 小区域) 进行力学分析， 最后再整体分析。这种化整为零， 集零为整的方法就是有限元的基本思路。2.2 有限元的发展历史与现状2.2.1 有限元的发展历史1) 20世纪40年代初，欧拉等人就提出了有限单元法的基本思想；2) 1941年，hrenikoff使用“框架变形功方法”(frame work method)求解了一个弹性问题 ；3) 1943年，courant发表了一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文 ；4) 1955年德国的argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的书，为后续

35、的有限元研究奠定了重要的基础 ；5) 1960年clough在处理平面弹性问题时，第一次提出并使用“有限元方法(finite element method)的名称；6) 60年代，开始使用这一离散方法来处理结构分析、流体问题、热传导等复杂问题；7) 1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题。 2.2.2 有限元的现状 自从提出有限元概念以来， 有限元理论及其应用得到了迅速发展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题， 都得到了新的解决方案。传统的fem假设: 分析域是无限的; 材料是同质的， 甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的; 对边界条件简化处理。但实际问题往往是分

36、析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。为解决这类问题， 美国学者提出用gfem( gener-alizedfiniteelement method) 解决分析域内含有大量孔洞特征的问题; 比利时学者提出用hsm( the hybrid metis singular element of membraneplate) 解决实际开裂问题。在fem应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时， fem也从分析比较向优化设计方向发展。印度mahanty博士用ansys对拖拉机前桥进行优化设计， 结果不但降低了约40%的前桥自重， 还避免了在制造过程中的大量焊接工艺， 降低了生产成本。fem在国内的应

37、用也十分广泛。自从我国成功开发了国内第一个通用有限元程序系统igfex后， 有限元法渗透到工程分析的各个领域中， 从大型的三峡工程到微米级器件都采用fem进行分析， 在我国经济发展中拥有广阔的发展前景。目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时， 为了估计并控制误差， 常用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差， 与传统算法不同， 将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。在均匀化迭代过程中， 采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分， 以便得到一个合适的起始均匀网格; 在变密度化迭代过程中，只进行网格的细化操作， 并充分利用上一次迭代的结果， 在单元所在的曲边三角形区域

38、内部进行局部网格细化， 保证了全局网格尺寸分布的合理性， 使得不同尺寸的网格能光滑衔接， 从而提高网格质量。整个方案简单易行， 稳定可靠， 数次迭代即可快速收敛， 生成的网格布局合理， 质量高。2.3 有限元的数学基础研究1) 1943年courant的开创性的论文研究了求解平衡问题的变分方法；2) 1954年胡海昌提出了广义变分原理；3) 1963年besseling，melosh和jones等人研究了有限元方法的数学原理；4) 钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间关系；5) 冯康研究了有限元分析的精度与收敛性问题。2.4 有限元的基础理论有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中

39、的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连接而组成整体。把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。先对单元进行特性分析，然后根据各节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后作整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合的问题。因此，一般的有限元解法包括三个主要步骤：离散化、单元分析、整体分析。2.4.1 离散化一个复杂的弹性体可以看作由无限个质点组成的连续体。为了进行解算，可以将此弹性体简化为有限个单元组成的集合体，这些单元只在有限个节点上铰接，因此，这集合体只具有有限个自由度，这就为解算提供了可能。有无

40、限个质点的连续体转化为有限个单元的集合体，就称为离散化。2.4.2 单元分析单元分析首先要进行单元划分。在工程结构中，一般采用四种类型的基本单元，即标量单元、线单元（杆、梁单元）、面单元和体单元。四种基本单元的若干例子及各单元节点自由度（节点位移）表示在图（1-1）中。而单元划分一般注意下面几点：1) 从有限元本身来看，单元划分的越细，节点布置得越多，计算的结果越精确。但计算时间和计算费用的增加。所以在划分单元时对应兼顾这两个方面。2) 在边界比较曲折，应力比较集中，应力变化较大的地方，单元应划分的细点，而在应力变化平缓处单元划分的大些。单元由小到大应逐渐过渡。3) 对于三角形单元，三条边长应

41、尽量接近，不应出现钝角，以免计算出现较大的偏差。对于矩形单元，长度和宽度也不应相差过大。4) 任意一个三角形单元的角点必须同时也是相邻单元边上的角点，而不能是相邻单元边上的内点。划分其他单元时也应遵循此原则。5) 如果计算对象具有不同的厚度或不同的弹性系数，则厚度或弹性系数突变之处应是单元的边线。 图2-1 一些基本的有限元及相应的节点位移（）和转动（）6) 应力分布在载荷有突变之处或是受有集中载荷处布置点处，其附近的单元也应划分的小一点。单元划分完毕后，要将全部单元及全部节点按一定顺序编号，单元号及节点号均不能有错漏或重复。每个单元所受的载荷均按静力等效的原则移置到节点上，并在位移受约束的节

42、点上根据实际情况设置约束条件。单元分析的主要任务是：求出单元节点位移和节点力之间的转换关系。而对于一个复杂的弹性体，要用某种函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元，则在一个单元的局部范围内可以把某一点的位移近似表达为其坐标函数，这表达式称为单元位移模式。任何单元德单元分析都应首先确定其位移模式，然后逐渐推导出单元刚度矩阵，并同时求出单元内各点应变的方程。通过应变的方程推导出单元内各节点应力，最后，再根据虚功原理求单元节点力-即作用于节点的外力，同时得出节点位移求节点力的转换矩阵，即单元刚度矩阵，这样，单元分析就完成了。下面通过单元分析的公式示意图说明单元间

43、各环节的关系。图中注明了各矩阵得阶数。上式中单元节点位移：应变与位移关系矩阵矩阵；单元内各点应变；应力应变关系矩阵；单元内各点应力；t单元厚度；单元节点力单元刚度矩阵由此图得出7) 由节点位移求应力的公式： （1）8) 由节点位移求节点力的公式： （2）或写成 （3）其中 （4）2.4.3 整体分析整体分析就是建立各单元之间和整体结构之间的联系，建立起整体刚度矩阵：先对各个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到整体刚度矩阵中相应位置，在同一位置上若有几个单元的相应子块送到，则进行迭加以得到整体刚度矩阵的子块从而形成整体刚度矩阵k。然后，加入载荷向量p和边界条件，再根据整体结构矩阵可以求

44、出整体结构的节点力向量和节点位移向量之间的关系。整体刚度矩阵的建立是根据任一点中的第j个节点上的节点力等于该单元三个节点i，j，m的节点位移在节点j上的节点力之迭加。而在整体结构中一个节点往往为几个单元所共有，则在这个节点上的节点力就应该是：共有这节点的几个单元的所有节点位移在该节点上引起的节点力之迭加。2.5 基本原理和数理概念在工程技术领域中，绝大多数问题尽管已得到其基本方程和边界条件，但仍得不到解析解。于是引入简化假设，求得问题在简化状态下的近似解，由于问题的复杂性，这种近似解往往导致误差过大甚至是错误的结论。另辟蹊径的有限元法则是保留问题的复杂性，利用数值计算方法求得问题的近似数值解1

45、4。 有限元法一开始就对一个连续体用有限个（然而是大量的）坐标或自由度来近似地（然而是系统的）加以描绘。一个离散化的结构可由许多结构单元组成，这些单元仅在有限个结点上彼此铰结。每一单元所受的已知体力和面力都按静力等效原则移置到结点上，成为结点荷载。计算通常采用位移法，取结点的未知位移分量e 为基本未知量。为了在求得结点位移后可求得应力，必须建立单元中应力与结点位移的关系，由应力转换矩阵s表达。 首先利用弹性力学的几何方程写出单元应变与结点位移的关系矩阵，称应变矩阵 b，即 (5) 再由材料的本构关系（即物理方程），得到单元弹性矩阵d，从而推出用结点位移表示单元应力表达式 e=de = d be

46、 = se (6) 其中，s = db。 然后考虑结点平衡求得单元结点力与结点位移的关系，由矩阵ke 表示，称单元刚度矩阵。根据虚功原理或最小势能原理（平衡条件），也可导出用结点位移表示结点力的表达式 (7) 其中，单元刚度矩阵 (8) 利用虚功原理（或变分原理）可同时导出单元等效结点力fe。 有限元法是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。先把注意力集中在单个单元上，进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能小，以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样，边界条件就能取某一在结点间插值的光滑函数来近似，在单元内也容易建立简单的近似解。因此，比起经典的近似法，有限元法具有明

47、显的优越性。比如经典的 ritz 法，要求选取一个函数来近似描述整个求解区域中的位移，并同时满足边界条件，这是相当困难的。而有限元法采用分块近似，只需对一个单元选择一个近似位移函数，且不必考虑位移边界条件，只须考虑单元之间位移的连续性即可。对于具有复杂几何形状或材料、荷载有突变的实际结构，不仅处理简单，而且合理适宜。 在经逐个单元（逐个结点）叠加其贡献予以集合（整体分析）后，生成结构刚度矩阵k（也称总刚）、荷载列阵f和结构结点位移列阵，并利用平衡条件建立表达结构的力-位移的关系式，即所谓结构刚度方程： k = f (9) 考虑几何边界条件作适当修改后，求解上式所示的高阶线性代数方程组，得到结构

48、所有的未知结点位移（同矩阵位移法）。最后利用式（6）和已求出的结点位移计算各个单元的应力，并经后处理软件整理、显示计算结果。 单元内任一点位移与结点位移的关系，则由所选定的位移模式确定。2.6 位移模式及形函数为了能把单元的应变和应力用结点位移来表示，首先必须假定一个位移模式，也就是假定单元的位移分量为坐标的某种函数。当然，这些近似的假定函数在结点处的数值，应等于结点的位移分量。 2.6.1 等截面梁单元用结点位移表示梁单元的位移模式，轴向位移u的位移模式取x的线性函数，而挠度 v 则用三次多项式表示，即 u=a0+a1x v=b0+b1x+b2x2+b3x3 (10) 或 u=h(x)a v

49、=h(x)b (11) 式中，参数a和b是位移模式的待定常数，可以由结点位移来表示。 轴向结点位移、结点挠度和转角（如图 2-2所示） u=ui ujt v=vi i vj jt (12) 2-2梁单元将结点坐标代入（5）式，结点位移可表示为 u=a1a v=a2b （13） 于是得到用结点（杆端）位移表示的位移模式 u=h(x)a1-1u=nuu v=h(x)a2-1v=nvv （14）改写成矩阵形式，有 （15）式中 ，结点位移列阵 （16）形函数矩阵 （17）其中 （18）由于一维杆单元的位移模式，取线性代数函数；梁单元的位移模式，取三次代数多项式，正好符合杆元中常应变以及真实反映梁元的

50、弯曲变形情况，因此求得的有限元解答是精确解，用上述位移模式通过虚位移原理导出梁单元的单刚矩阵和由矩阵位移法（转角位移方程）推出的自由单刚矩阵完全相同。但一般情况下，有限元法所设位移模式并非实际位移，故协调单元的位移解答一般都小于真实解答。 2.6.2 三结点三角形单元为了简单起见，假定平面单元（如图 2-2）中的位移分量只是坐标的线性函数： ， (19)代入结点（i、j、m）的六个位移参数和六个结点坐标参数（xi、yi），联立解出上式中的六个值，如： ， ， (20)式中，等于三角形单元的面积，结点 i、j、m 的次序规定按逆时针转向。代回式（19），得位移模式用单元结点位移分量列阵e表示为

51、(21)式中: ， ， n 称插值函数矩阵或形函数矩阵。 (22)式中，改写形函数为： ( 按 i，j，m 次序轮换，下同 ) (23)其中 ， ， （i，j，m) (24)形函数是坐标的函数，取决于单元的形状，结点的类型和数目等因素，一般采用多项式作为近似函数，不仅因为运算简便，而且随着项数的增多，由低次到高次，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。但选择多项式位移模式的阶次时，要考虑解的收敛性，还要考虑位移模式应与局部坐标系的方位无关，即几何各向同性。当然，也有采用其它函数（如样条函数等）作为形函数，于是发展了各种有限单元法的分支。 2-3三结点三角形单元2.6.3 双线性矩形单元矩形单元也是常

52、用的单元，采用比常应变的三角形单元次数更高的位移模式，可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。 取矩形单元的四个角点 1234 作为结点，其边长分别为 2a、2b（如图 2-4所示），每个结点位移有两个分量，整个单元有八个自由度。单元中引入局部坐标系o(其中=x/a，=y/b)，原点取在矩形的形心(x0，y0)，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，其坐标变换关系为： x=x0+a y=y0+ (25)结点i（i=1，2，3，4）的整体坐标是（xi，yi），而局部坐标是（i，i），其值分别为1，如1= -1，1= -1。 2-4 四结点矩形单元 取位移模式 (26) 将结点的局部坐标值代入上式，列出四个结点处八个位移分量表达式，可获两组四元联立方程，解出未知参数18，回代后得到用结点位移表示的位移模式 (27)式中 (28)其中，0 =i，0 =i，i= 1，2，3，4。矩形单元的位移模式（25）比常应变三角形单元中采用的线性位移模式增加项（即相当于xy项），故称之为双线性模式。位移模式选定以后，即可按确定的公式来推导单元刚度矩阵。2.