数学与应用数学毕业论文关于二次矩阵的换位子的性质的进一步研究

1、莆 田 学 院毕 业 论 文题 目关于二次矩阵的换位子的性质的进一步研究学生姓名 学 号 专 业数学与应用数学专业班 级数本062 指导教师 二零一零年四月二十日目 录1. 满足方程其中的二次矩阵换位子的性质-(5)1.1满足此条件的二次矩阵的换位子的秩的等式-(5)1.2满足此条件的二次矩阵的换位子的可逆性的等价条件-(8)2当时, 即a,b满足,时,相应换位子的性质的特殊情况-(11)3.当a是幂等矩阵，b是对合矩阵,此时矩阵a,b的换位子的性质-(13)李素英 关于二次矩阵换位子的性质的进一步研究关于二次矩阵换位子的性质的进一步研究李素英莆田学院 数学与应用数学 指导老师：杨忠鹏摘要：本

2、文从幂等矩阵与二次矩阵的关系出发，将y.tian和styan的关于幂等矩阵的换位子的秩的性质推广到了二次矩阵上，从而通过高斯消元法进一步得到了两个二次矩阵的换位子的秩的等式，接着根据矩阵a可逆的充要条件是齐次线性方程组只有零解这一性质探究出了关于两个二次矩阵的换位子可逆的几个等价条件，同时得到了两个二次矩阵可交换的充要条件；最后由一般到特殊，得到了两个特殊的二次矩阵幂等矩阵和对合矩阵的换位子的秩的等式及其可逆性的等价条件。关键词:二次矩阵 幂等矩阵 矩阵的秩 可逆性 换位子abstract: in this paper,beginning with the relation of idempo

3、tent matrices and quadratics,somerank properties for idempotent matrices commutator of y,tian and styans are generalized to the quadratic matrices.then some rank equalities of the two quadratic matricescommutator is got in gaussian elimination,and then ,according to the properties on the necessary a

4、nd sufficient conditions for the invertibility of matrices a is that there is only one zero solution.i get several equal conditions for the invertibility of the commutator.at the same time i get the necessary and sufficient conditions for the exchangeable of the commutator. at last,the commutator of

5、 two special quadratic matrices which are idempotent and involutory matrices are shown ,and again i study the rank of the commutator and its invertibility.keywords: quadratic matrices idempotent matrix rank equality invertibility commutator0引言与符号说明:幂等矩阵和对合矩阵是矩阵论中两类特殊的矩阵,文献1-4对幂等矩阵的秩的性质做了深刻的研究,其中yong

6、ge.tian 和george.p.h.styan对幂等矩阵和对合矩阵的换位子的性质做了深刻的研究;而二次矩阵也是矩阵论中一种特殊的矩阵,前人很少对二次矩阵的换位子的性质做深入探讨,因此本文在两个幂等矩阵和两个对合矩阵换位子的性质认识的基础上得出了两个二次矩阵的换位子的秩的性质及其可逆性条件.用表示复数域上的所有矩阵组成的集合;表示复数域上所有维列向量组成的集合，i表示阶单位矩阵，表示矩阵的秩.若，称a为幂等矩阵.若，称为对合矩阵;分块矩阵，.，.若称为与的换位子. 1预备定理:引理1(见2，定理2.1) 若且都为幂等矩阵，则和有下列秩等式： ， ， ， ， ， 引理2（见1定理2.1） 设，

7、是复数域上的两个阶幂等矩阵，则有下列秩的等式：引理3(见1定理2.7) 设是两个幂等矩阵，是单位矩阵，那么下面的秩等式成立：引理4(见1定理2.19) 设是两个幂等矩阵，是任意的一个矩阵，那么下面的秩等式成立：特别的,令和可以得到下列等式,推论1(见1推论2.20) 设是两个幂等矩阵，则 =引理5 若是幂等矩阵，则也是幂等矩阵.证明：因为是幂等矩阵， 所以为幂等矩阵.，所以为幂等矩阵.引理6 (见2定理2.9)设是两个幂等矩阵,则引理7 设矩阵,则.证明:因为分块矩阵初等变换不改变矩阵的秩,所以由初等变换从而由矩阵的秩的不变性,得证.引理8 (见6定理3.3) 设是两个幂等矩阵，则 引理9 设

8、，那么a可逆的充要条件是齐次线性方程组 只有零解。引理10(见5定理1) 设是两个幂等矩阵，那么下列各条件彼此等价： 1） 2） 3）;引理11(见5定理2或见12定理5.1) 设是两个幂等矩阵，那么下列各命题彼此等价： 1） 2） 3） 4）引理12(见5定理3) 设是两个幂等矩阵，a,b是两个非零复数，那么下列各命题彼此等价： 1） 2） 3）引理13 设，则有秩的恒等式 证明:式（1）是常见的矩阵秩的恒等式（见文献【5】），证明如下:因为分块矩阵初等变换不改变矩阵的秩,所以由初等变换从而由矩阵的秩的不变性,得证整理变形得: .式（2）也是常见的矩阵秩的恒等式，证明方法如下：用代替（1）式

9、中的a，有 =n+r( 得证；引理14(见7定理1(4) 设a是满足的二次矩阵,则存在幂等矩阵z,使得.2主要结果:2.1 满足方程其中的二次矩阵换位子的秩的等式:定理2.1.1 已知;其中。为幂等矩阵。下面关于满足上述条件的两个二次矩阵的换位子的秩的等式是成立的：证明：令; ; ;因为=由分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以：，所以，由高斯消元法：= =所以， 从而证得再有文献7根据幂等矩阵与二次矩阵的关系分别代入文献1的定理2.7，然后将所得的公式依次代入2.1.1.1得到(2.1.1.2),(2.1.1.3),(2.1.1.4),(2.1.1.5)，得证。定理2.1.2 设a,b是满足

10、方程的两个二次矩阵,则有下列换位子的秩的等式成立: 证明：由于分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以由高斯消元法令 则：=又=由矩阵秩的不变性得到再从另一方面来讲=从而得证式（2.1.2.1）；同理令得证式（2.1.2.2）再由文献1的引理1.1的（1.1）（1.2）得到（2.1.2.3）和（2.1.2.4）得证。推论2.1.1设a,b是满足上述方程的两个二次矩阵,则: 证明:根据引理14的二次矩阵与幂等矩阵的关系,再代入引理6就可得到结论. 定理2.1.3 设a,b是满足方程的两个二次矩阵,则有下列换位子的秩的等式成立:证明：由引理14得为幂等矩阵。又因为再将（2.1.3.1）（2.1.3.

11、2）（2.1.3.3）代入引理,得定理2.1.4 当时, 即这两个二次矩阵具有可交换性.证明:若,则由矩阵论知识得,从而得证,即a与b可交换.定理2.1.5 当时,此换位子是可逆的.2.2满足方程其中的 二次矩阵换位子可逆性的的性质.定理2.2.1 设a,b是满足上述条件的两个二次矩阵，则它们换位子的可逆性具有如下等价条件：1） ab-ba可逆；2）3）证明：先证1）等价于2）：由于从而有,，因此 =得证1）等价于2）。下证2）等价于3）：先证2）3），因为，又根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，得同样由初等变换得；再由引理2得从而由文献5的引理2式及 得出下证3）2）：由引理2可推出2）；

12、定理1得证。推论2 .2.1设a,b是满足上述条件的两个二次矩阵，a,b,那么下列各条件彼此等价：1） ab-ba可逆；2） 都可逆；3） 都可逆；4） 都可逆；证明：由定理2.2.1及引理文献12的定理4.3再利用幂等矩阵与二次矩阵的关系就得出；定理2.2.2设a,b是满足上述条件的两个二次矩阵，a,b是非零复数，则下列各条件彼此等价：1） ab-ba可逆；2） 可逆且 可逆；3） 都可逆；证明：要证1）与2）等价，只需证的充要条件是可逆；“”若则设（）x=0则 所以，又因为可逆所以,从而得证。可逆。“”若可逆，设则有从而有得出,从而得证可逆；下证1）等价于3）：由2）中的得出可逆；因为又也

13、是幂等矩阵，所以由1）与2）等价且可逆的充要条件是可逆，得证1）3）。2.3 当时, 即a,b满足,时,相应换位子的性质的特殊情况。设,是幂等矩阵,则得到了2.1和2.2的推论.推论2.3.1 设a,b满足矩阵方程,则 推论2.32 设a,b满足矩阵方程,则有下列秩的等式成立: 推论2.3.3设a,b满足矩阵方程,则有下列秩的等式成立: 推论2.3.4设a,b满足矩阵方程,则有下列秩的等式成立: 推论2.3.5 设a,b是满足上述条件的两个二次矩阵,则下列个条件彼此等价.1) 可逆; 2)可逆且可逆; 3) ;推论2.3.6 设a,b是满足上述条件的两个二次矩阵,则下列个条件彼此等价. 1)

14、可逆; 2)都可逆; 3)都可逆; 4)都可逆;推论2.3.7 设a,b是满足上述条件的两个二次矩阵,且a,b是两个非零复数,那么下列个条件彼此等价. 1) 可逆; 2)可逆 且可逆; 3)与都可逆;2.4当a是幂等矩阵，b是对合矩阵,此时矩阵a,b的换位子的性质.这样我就可以通过上述论证的二次矩阵的换位子的性质更深一层的得出一个幂等矩阵与一个对合矩阵的换位子的秩的性质。即：推论2.4.1 设a是幂等矩阵，b是对合矩阵，则 推论2.4.2 设a是幂等矩阵，b是对合矩阵，则 推论2.4.3 设a是幂等矩阵，b是对合矩阵，则推论2.4.4 设a是幂等矩阵，b是对合矩阵，则 推论2.4.5 设a是幂

15、等矩阵，b是对合矩阵，则下列各条件等价 1）可逆； 2） 3） ;推论2.4.6 设a是幂等矩阵，b是对合矩阵，a,b,那么下列各条件彼此等价： 1）可逆； 2）都可逆； 3）都可逆； 4）都可逆；推论2.4.7 设a是幂等矩阵，b是对合矩阵，a,b是非零复数，则下列各条件彼此等价： 1）可逆； 2） 3）都可逆。结束语：本论文是在认真研究阅读george p.h. styan和yongge tian 的文章（文献1 2）和有关二次矩阵的文章（文献见7）之后，查阅大量相关资料的基础上，提出了新的研究方向，即将幂等矩阵和对合矩阵的换位子的秩等式推广到二次矩阵上，并且得出了新的结果，同时对二次矩阵

16、换位子的可逆性做了深入的研究。此研究课题是在二次矩阵上研究，这是很少有人涉及到的新问题，同时得到了很多创新性的结论，本文最后采用从一般到特殊的思想方法得出了一个幂等矩阵与一个对合矩阵换位子的相应性质.本文只研究了两个二次矩阵的秩的性质，我们还可以研究三个二次矩阵的秩的性质甚至对n个二次矩阵也可做深入的研究，因此，这里还有很大的研究空间。致谢：本论文是在导师杨忠鹏的悉心指导下完成的。导师严谨的治学态度，精益求精的工作作风，对我影响深远。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向杨忠鹏教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！还要感谢数学系各老师的教育和帮助，感谢同

17、组同学和班级同学的支持，在此表示深深的感谢。参考文献:1yongge tian,george.p.h.styan.rank equalities for idempotent and involutorymatricesj.linear algebra and its applications,2001,335:101-117.2 yongge tian，george p.h. styan . rank equalities for idempotent matrices with applicationsj .linear algebra appl,2006(191):77-97. 3y.t

18、ian,problem 04.2.1:a range equality for block matrices with orthogonal projectors,econometric theory 2004,20:427.4george marsaglia,george p.h.styan,equalities and inequalities for ranks of matrices.1974,269-292.5 左可正. 幂等矩阵与对合矩阵的换位子的可逆性 j. 湖北师范学院学报(自然科学出版社)， 2007，27(2): 11-14.6张金辉,曾闽丽,杨忠鹏,一个矩阵秩恒等式与对合矩阵秩的等式的推广.北华大