流体力学讲稿第二章201510参考件

1、2021-7-51 第二章第二章 流体的平衡流体的平衡 1. 流体平衡之压强流体平衡之压强 流体静力学的研究意义流体静力学的研究意义 - 研究流体平衡的流体力学分支称为研究流体平衡的流体力学分支称为流体静力学流体静力学。 -流体静力学原理可用于流体静力学原理可用于测压计、水压机、液压机测压计、水压机、液压机械、比重计械、比重计等一系列科学与工程仪器设备的制造，等一系列科学与工程仪器设备的制造，也可应用于也可应用于水利和水工结构设计、船舶结构设计水利和水工结构设计、船舶结构设计和和静止大气与星球压强密度和温度分布的测量等，还静止大气与星球压强密度和温度分布的测量等，还可在日常生活中加以一定应用，

2、如可在日常生活中加以一定应用，如救生圈救生圈等等。 千斤顶（液压起重器）千斤顶（液压起重器）测压计测压计水压机水压机 液体比重液体比重计计200()H OVA hV2021-7-54*河水对河堤产生压力，越往下压力越大。上窄下宽的河水对河堤产生压力，越往下压力越大。上窄下宽的河堤能挡住不同的压力河堤能挡住不同的压力,还可省料还可省料,且可减轻自身压力，且可减轻自身压力，使河堤使河堤“站站”的更牢固。所以河堤是上窄下宽的。的更牢固。所以河堤是上窄下宽的。水坝水坝 水闸水闸自动开启水闸自动开启水闸斜置斜置水闸水闸 古代船只古代船只现代船只现代船只 救生圈救生圈曹冲称象曹冲称象2021-7-58 第

3、二章第二章 流体的平衡流体的平衡 1. 流体平衡之压强流体平衡之压强 流体平衡时的压强流体平衡时的压强 - 相对某一坐标系相对某一坐标系（惯性坐标系或非惯性坐标系）（惯性坐标系或非惯性坐标系）流流体静止体静止（此时流体中仅存在法向应力）即可（此时流体中仅存在法向应力）即可称流体处称流体处于平衡状态于平衡状态（流体整体性平移及旋转不影响流体（流体整体性平移及旋转不影响流体内应内应力力，也即在惯性坐标系静止流体不会因为得到一个流，也即在惯性坐标系静止流体不会因为得到一个流体整体性平移及旋转而产生切应力，此刻仍视流体处体整体性平移及旋转而产生切应力，此刻仍视流体处于平衡）。于平衡）。 - 静止流体中

4、只存在法向应力，而无切应力静止流体中只存在法向应力，而无切应力，且有，且有 ，或写为，或写为 ，式中负号表明，式中负号表明法向应法向应力总是指向面积元内侧，而力总是指向面积元内侧，而 表示静止流体中作用于某表示静止流体中作用于某点任意取向面积元之压应力大小，称为流体静力学压点任意取向面积元之压应力大小，称为流体静力学压强，单位为帕（强，单位为帕（1Pa=1N/m2）。）。2021-7-59*参考件参考件-静止流体的应力张量静止流体的应力张量 即由牛顿粘性定律，静止流体中不存在切向力即由牛顿粘性定律，静止流体中不存在切向力,故有故有其中其中由于仅存压力，则由于仅存压力，则,故可得故可得 。可令可

5、令 ,则则 , 表示流体受压表示流体受压, 为压强，应为压强，应力张量相应为力张量相应为 nnxxyyzzppppnnpp p000000pPppIp 10 2.均质流体的静平衡均质流体的静平衡 流体平衡的基本方程流体平衡的基本方程 1) 方程的一般形式方程的一般形式 - 式中式中, 为作用于单位质量流体上之体力。对于均质流体为作用于单位质量流体上之体力。对于均质流体 (即即 ),上式即为流体平衡的基本方程；对于非均质流体，上式即为流体平衡的基本方程；对于非均质流体， 若流体为正压流体，需补充关系若流体为正压流体，需补充关系 ，而对于斜压流体，而对于斜压流体， 则需补充状态方程（如则需补充状态

6、方程（如 ）以及能量平衡关系式。）以及能量平衡关系式。 分析：分析：采用采用微元分析法微元分析法，如图示，在，如图示，在x轴方向由左右两面压轴方向由左右两面压 强差（表面力仅存在压力）产生的合力为强差（表面力仅存在压力）产生的合力为 ()()22p dxp dxpdydzpdydzxxpdxdydzx c( )p( , )p T2021-7-511同理，在同理，在y和和z轴方向由压强差产生的合力应分别为轴方向由压强差产生的合力应分别为故作用于微元体上对应的总合力为故作用于微元体上对应的总合力为设作用于微元体单位质量的体力为设作用于微元体单位质量的体力为 ，则作用于微元体上的，则作用于微元体上的

7、总体力为总体力为 ，由平衡条件可得：，由平衡条件可得：即即()()22()()22p dyp dyppdxdzpdxdzdxdydzyyyp dzp dzppdxdypdxdydxdydzzzz 2021-7-512 2)流体平衡下的体力条件式流体平衡下的体力条件式 （流体平衡的基本方程流体平衡的基本方程） - 由由 ,则则 有有 相应有相应有此即流体平衡下的体力条件式。此即流体平衡下的体力条件式。 -对于均质流体对于均质流体,由由 ,即体力无旋，可即体力无旋，可定义体力势定义体力势 满足满足 ，代入平衡方程，代入平衡方程 ,得得 故故 。-对于正压流体对于正压流体,由由 ，则，则 p /p(

8、 )p13该式说明该式说明对于静止的正压流体对于静止的正压流体, 体力也应满足有势条件体力也应满足有势条件,则可设则可设 ,即即 ，可见，可见体力的等势面、等压面和等密面重合体力的等势面、等压面和等密面重合。 - 对于对于斜压流体斜压流体（ 依赖多个状态参数），一般依赖多个状态参数），一般 （等压面和等密面不重合平行，其各自法向量（等压面和等密面不重合平行，其各自法向量 和和 也就不平也就不平行重合），相应行重合），相应 ，也即体力无，也即体力无 势势,故斜压流体在有势体力作用下一般无法平衡。故斜压流体在有势体力作用下一般无法平衡。 -对于对于互不混合的两种静止流体的分界面互不混合的两种静止流

9、体的分界面,沿界面上任一微沿界面上任一微元线段元线段 之压强增量可写为之压强增量可写为 ( 与与 在分界面上连续在分界面上连续) 故得故得 即分界面为等压面。即分界面为等压面。 ( )( )f pg 0p pp流体平衡基本方程流体平衡基本方程2021-7-514-若体力有势，因若体力有势，因 ，则界面的各侧为等压，则界面的各侧为等压面，也就是各自的等密面。面，也就是各自的等密面。由由 ，故，故 与与 垂直，即分界面与体力方向垂直，垂直，即分界面与体力方向垂直，因而有势的体力其等势面（因而有势的体力其等势面（法向方向为法向方向为 ）与分界面）与分界面（等压面）重合。（等压面）重合。-常见的流体分

10、界面包括水面等自由表面（气液分界面），在常见的流体分界面包括水面等自由表面（气液分界面），在 重力重力 作用下之平衡水面与重力等势面作用下之平衡水面与重力等势面 一致。一致。 - 万有引力万有引力 之等势面为之等势面为 ，这与太空所观测的海洋表面是一致的。，这与太空所观测的海洋表面是一致的。 rc15 重力场中均质流体的静平衡重力场中均质流体的静平衡 1)流体静力学规律流体静力学规律 - 上式称为上式称为流体静力学规律流体静力学规律，它表明，它表明:在在重力作用下中重力作用下中, 均质均质流体在深度为流体在深度为 处的压强等于分界面上压强处的压强等于分界面上压强 加上高为加上高为 单单位底面积

11、流体柱重之和位底面积流体柱重之和。 分析：分析：如图示，对于重力作用如图示，对于重力作用 下的静止流体，由平衡方程下的静止流体，由平衡方程 ，得：，得： ， 积分积分 式中式中 为等效深度。为等效深度。0000()(/)eppg zzpgdg dpggd0pd0,0,pppdpgxyzdz dpdpgdzgzc 000()eppg zzpgdgded2021-7-516 * 均质静止流体中压强随深度线性增加（水坝或堤坝断面上窄下均质静止流体中压强随深度线性增加（水坝或堤坝断面上窄下宽之原因）宽之原因） 液体中曲面上的静压强分布液体中曲面上的静压强分布18 2）U形管流体测压原理形管流体测压原理

12、 如图示如图示,由流体静力学定律由流体静力学定律,有有 液柱式测压计液柱式测压计重液体重液体2021-7-520思考题思考题在水管上安装一复式水银测压计，试给出测压管在水管上安装一复式水银测压计，试给出测压管中中1-2-3-4水平液面上各自压强的大小关系水平液面上各自压强的大小关系。2134pppp2021-7-5213）帕斯卡原理及其应用）帕斯卡原理及其应用 - 若在静止均质流体的边界上施加一压强若在静止均质流体的边界上施加一压强,该压强可以均匀该压强可以均匀传遍整个流体传遍整个流体,其值不变其值不变,此即此即帕斯卡原理帕斯卡原理。 - 如图示，在活塞如图示，在活塞C加一推力加一推力Fc使流

13、体产生压强增量使流体产生压强增量 ，则，则 该压强将数值不变传至活塞该压强将数值不变传至活塞B，相应有，相应有 ，则当，则当 ,有有 ,即作用即作用 力得以放大力得以放大(可应用于进行水压加工可应用于进行水压加工 的水压机和进行举重的液压千斤的水压机和进行举重的液压千斤 顶等顶等)。 pBBBCCCFpSSFpSSBCSSBCFF000()ppg zzpgd *千斤顶（液压起重机）工作原理千斤顶（液压起重机）工作原理分析：根据帕斯卡原理，活塞分析：根据帕斯卡原理，活塞A下的增量压强与活塞下的增量压强与活塞B下的增量压下的增量压强相等，又由于活塞强相等，又由于活塞B下的面积比活塞下的面积比活塞A

14、下的大下的大1000倍，在它上面倍，在它上面的作用力就应比在的作用力就应比在A上的作用力也大上的作用力也大1000倍。因此，为了将一辆倍。因此，为了将一辆1吨重的汽车抬起来，只要吨重的汽车抬起来，只要1公斤的作用力就够了。液压制动器、压公斤的作用力就够了。液压制动器、压缩机、汽车的千斤顶、水泵等许多器械都得益于这一原理。缩机、汽车的千斤顶、水泵等许多器械都得益于这一原理。 *用一个截面为用一个截面为5平方厘米输血用的粗平方厘米输血用的粗注射器和一个截面为注射器和一个截面为05平方厘米的平方厘米的很小的注射器，将它们的开口用短管很小的注射器，将它们的开口用短管连起来。根据帕斯卡原理，力的转化连起

15、来。根据帕斯卡原理，力的转化系数大约为系数大约为10。将水、油或其他的液。将水、油或其他的液体灌满注射器，即两个活塞中间的全体灌满注射器，即两个活塞中间的全部空间，注意将气泡排除掉。然后一部空间，注意将气泡排除掉。然后一人用大姆指挤压两个活塞中的一个，人用大姆指挤压两个活塞中的一个，另一人同时用大拇指挤压另一个活塞。另一人同时用大拇指挤压另一个活塞。当然，谁挤压细小的注射器，谁就会当然，谁挤压细小的注射器，谁就会不费力气地取胜。不费力气地取胜。*一位农民想通过一根很长的细管子将珍贵的葡萄酒从自己的乡一位农民想通过一根很长的细管子将珍贵的葡萄酒从自己的乡间农舍输送到山脚下的一位朋友家里。一切都很

16、顺利：朋友家间农舍输送到山脚下的一位朋友家里。一切都很顺利：朋友家的酒桶灌满了葡萄酒，但随后液体管子内的压力很快使木桶破的酒桶灌满了葡萄酒，但随后液体管子内的压力很快使木桶破碎，葡萄酒浸泡了房子。碎，葡萄酒浸泡了房子。2021-7-5244）非均匀流体平衡的密度条件）非均匀流体平衡的密度条件 - 重力场中的非均匀流体若处于平衡重力场中的非均匀流体若处于平衡,则流体呈现分层状态则流体呈现分层状态,即即各水平层内密度不变。各水平层内密度不变。 分析：由流体静力学原理，各层压强与水平位置无关，压强差为分析：由流体静力学原理，各层压强与水平位置无关，压强差为两层间单位底面积上流体重量两层间单位底面积上

17、流体重量 ，故密度，故密度 必与水平位置无关。必与水平位置无关。 3.均质流体的相对平衡均质流体的相对平衡 1)均质流体整体进行匀加速直线运动均质流体整体进行匀加速直线运动 如图示如图示,xy平面平行容器流体之平面平行容器流体之匀加速度匀加速度为为 ,则则 为单位质量为单位质量流体上的惯性力流体上的惯性力,故有故有由由 故故gdz达朗贝尔原理达朗贝尔原理2021-7-525即即 在自由面上在自由面上 ,可得可得 即自由面为一个倾斜的平面（自由面为等压面，其法向方向为即自由面为一个倾斜的平面（自由面为等压面，其法向方向为 方向）。方向）。 2021-7-526 2) 均质流体整体匀角速旋转均质流

18、体整体匀角速旋转 如图示如图示,随容器一起整体旋转的均质流体中单位质量的惯性力随容器一起整体旋转的均质流体中单位质量的惯性力 为离心力为离心力 ，则有，则有 故自由面形状为旋转抛物面，即故自由面形状为旋转抛物面，即 由此可得由此可得0pp22min12zhrgmaxmin12 ()g hha 0mincpgh2021-7-527 4.均质流体作用于物体表面的压强合力均质流体作用于物体表面的压强合力 1)均质流体作用于平壁表面的压强合力均质流体作用于平壁表面的压强合力2021-7-528 * *作用于平板表面的压强分布作用于平板表面的压强分布 29 4.均质流体作用于物体表面的压强合力均质流体作

19、用于物体表面的压强合力 1)均质流体作用于平壁表面的压强合力均质流体作用于平壁表面的压强合力 如图示如图示,取平壁延长面与等效分界面（等效自由面）交线为取平壁延长面与等效分界面（等效自由面）交线为x轴轴, 平壁与水平面夹角为平壁与水平面夹角为,则平壁一点的压强为则平壁一点的压强为 ,相应壁面所受合力为相应壁面所受合力为 设设 作用线过作用线过 , 以以 为原点建立平行为原点建立平行x与与y轴之坐标轴之坐标 ,则则 对对 和和 轴的力矩为轴的力矩为代入代入 ,得得:sinpghgy11sinsinRcccsFpdSgydSgy Sgh Sp SRFRF2cccsssy dSydSdSySIccc

20、sssy dSydSdSySI可视质心点压强在可视质心点压强在整个平壁面均布整个平壁面均布二阶惯性矩二阶惯性矩30对对 和和 轴的力矩轴的力矩2021-7-531式中式中 ,另另 与与 为平壁表面的二阶惯性矩。为平壁表面的二阶惯性矩。结合各式可得：结合各式可得： 0,0ccII2sinsin0sincRccgdsgIIyyFgy Sy S sinsinsincRccgdsgIIxxFgy Sy S sinRcFgy S()sinsinRcsFyygy dsgI ()sinsinRcsFxxgy dsgI 2021-7-532 例例 如图示如图示,箱外大气压为箱外大气压为 , 对于情形对于情形

21、(1)水面上方压力为水面上方压力为 ; (2) ,分分别求窗口别求窗口AB两侧所受流体合力。两侧所受流体合力。51.01310 PaatmpAatmpp51.25510 PaAp0ccIyyy S ccIxxy S sinRccFgy Sgh S2021-7-5332021-7-53451.25510 PaAp51.01310 Paatmp551.089 101.488 10(0.02778)0.01604aaa形心线形心线合力线合力线a)结果结果2021-7-5352)均质流体作用于曲壁表面的压强合力均质流体作用于曲壁表面的压强合力 362021-7-5372)均质流体作用于曲壁表面的压强合

22、力均质流体作用于曲壁表面的压强合力 如图示如图示,在曲壁面任取一小微元面积在曲壁面任取一小微元面积dS,则其所受流体则其所受流体压强合力为压强合力为 ，它可分解为平行等效自由面，它可分解为平行等效自由面的分量的分量 和和 及垂直分量及垂直分量 。由。由 则则 ，同理，同理 ,这说明这说明 和和 正好正好分别等于分别等于S在在yz和和xz平面上投影平面上投影(均为平壁面均为平壁面)上所受流体上所受流体压强合力。压强合力。xdFydFzdFxxxSFpdS yyySFpdS xFyF2021-7-538 对于曲壁面受力方向的垂直分量对于曲壁面受力方向的垂直分量,由由 有有 即该微元力之大小即该微元

23、力之大小等于 以上至等效分界面对应体积充满该流体时的体重，也即整个曲壁面，也即整个曲壁面S所受力的垂所受力的垂直分量直分量 大小为大小为S S以上至等效分界面之间对应体积（压以上至等效分界面之间对应体积（压力体）充满该流体时的体重力体）充满该流体时的体重，且指向曲壁内侧垂直方，且指向曲壁内侧垂直方向。例对于图示曲面湖岸向。例对于图示曲面湖岸ABC段，其所受垂直方向合力段，其所受垂直方向合力为体积为体积ABC中充满湖水时的重中充满湖水时的重量（方向向下）。量（方向向下）。zFzdSzSFgV00zszsndVndV zSFgV zCBDABDAFgVgV zSFgVSzSVFgdV2021-7-

24、539现分析现分析 的作用线位置的作用线位置 。由合力作用线定义，有。由合力作用线定义，有 其中利用了其中利用了 关系关系 ， ，式中，式中 为曲壁面为曲壁面 以上压力体体积以上压力体体积 ， 为为压力体几何中心坐标压力体几何中心坐标。 同理利用同理利用 ， 可得可得 需要说明的是需要说明的是 、 和和 一般不共点。一般不共点。zF/zcSSSxxdVVSV(,)cccxyz/zcSSSyydVVzSFgV zFxFyFzSFgV zSFgV 2021-7-540练习练习 如图所示，试绘出各曲面如图所示，试绘出各曲面AB对应的压力体图对应的压力体图（用侧影线），并标明各压力体对应的铅直压力的（

25、用侧影线），并标明各压力体对应的铅直压力的方向方向。解：解：41压力体压力体*附加问题：求右半堰所受力、作用线及总合力及作用线。附加问题：求右半堰所受力、作用线及总合力及作用线。*附加问题：求右半堰所受力、作用线及总合力及其作用线。附加问题：求右半堰所受力、作用线及总合力及其作用线。44*附加问题：求合力作用线。附加问题：求合力作用线。及及2021-7-54546由于半球面上各点压强均过点由于半球面上各点压强均过点o，其合力必过点，其合力必过点o2021-7-547 5. 浮体的平衡浮体的平衡 阿基米德定律阿基米德定律 - 全部或部分浸没于静止均质流体中的物体在重全部或部分浸没于静止均质流体中

26、的物体在重力场中所受的浮力竖直向上且大小为它所排开的流力场中所受的浮力竖直向上且大小为它所排开的流体重量体重量。 分析分析: 如右图示如右图示, 物体左右两边物体左右两边ABC与与ADC曲面在曲面在yz平面上投影相同，平面上投影相同，所受力相反，则所受力相反，则x向合力为零，同理，向合力为零，同理，y向合力也将为零，即流体作用力只有向合力也将为零，即流体作用力只有竖直方向分量。竖直方向竖直方向分量。竖直方向合力应为物体所排开液体合力应为物体所排开液体体积的原重量。体积的原重量。2021-7-548相应称此作用力为相应称此作用力为浮力浮力，其，其作用线通过所排开流体体积作用线通过所排开流体体积的

27、几何中心的几何中心（又称（又称浮力中心浮力中心）。）。 如下图所示，对于半浸物体，由帕斯卡原理，大气压如下图所示，对于半浸物体，由帕斯卡原理，大气压对物体不产生合力，故水下部分物体所受流体压强合力对物体不产生合力，故水下部分物体所受流体压强合力为竖直向上的作用力，大小为压力体为竖直向上的作用力，大小为压力体BCD的重量，浮力的重量，浮力中心为实际排开流体体积的几何中心，中心为实际排开流体体积的几何中心，也即与全浸物体相关结论相同。也即与全浸物体相关结论相同。相关的相关的静平衡条件静平衡条件为：为：物体所受重力与浮力大小相等，物体所受重力与浮力大小相等，方向相反且作用线重合。方向相反且作用线重合。49*参考件参考件 如图示如图示,在曲壁面任取一小微元面积在曲壁面任取一小微元面积dS,则其所受压强合则其所受压强合 力为力为 ，它可分解为平行等效自由面的分量，它可分解为平行等效自由面的分量 和和 及垂直分量及垂直分量 。由。由 则则 ，同理，同理 ,这说明这说明 和和 正好正好分别等于分别等于S在在yz和和xz平面上投影平面上投影(均为平壁面均为平壁面)上所受上所受压强合力。当压强为大压强合力。当压强为大气