江苏省扬州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)

1、2020-2021学年度第一学期期末检测试j高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合要求）.1.命题f+x+iNO，的否定是（）A. 3x0B. 3x00, x2 4-x + l 0C. Vx 4 0，x2 + x +1 0，x2+x+l0【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题：v-a,并否定原结论即可.【详解】命题“VxKO, Y+x + ino”的否定为“3x2 -20,即三二40,x-l x-1X-1即伊-3）（1）。1002所以不等式的解集为故选：A6 .己知正方体ABC。-A

2、qGA的棱长为2,则点乂到平面4内。的距离为（）A.坐B. 72C.2D. 2/2【答案】B【解析】【分析】由垂直关系可知AA _l平而45。，根据边长关系直接求点到平面的距离.【详解】连结AR,与AQ交于点M，A,D1AD,且A _L平而A。2 AAB ADX,且 4。0 4百=A ,A AR L平面 ABC。，点4到平而AB,CD的距离为|AM| = 3AQ| = JT27 .在数列%中，如果对任意22（eN）都有乙丛一4=攵（卜为常数），则称数列“为比等差 Pn P-l数列，左称为比公差.则下列说法正确的是（）A.等比数列一定是比等差数列，且比公差k = l8 .等差数列一定不是比等差数

3、列C若数列4是等差数列,也是等比数列，则数列4也 一定是比等差数列d.若数列q满足6=%=1，q+i=q+4i（之2）,则该数列不是比等差数列【答案】D【解析】【分析】根据数列新定义，由比等差数列 性质N2（wN）有5-A = k,判断各项描述是否正确即可一P/I P -1【详解】A：若“为等比数列，公比4工。， = 7, = - 4cr + 4 J【详解】依题意，”0/。，24 + /2 ,必=0可知,+2 = 1,则 -十二一上=1一 a b a b 4=2 +3+学之2 + 2/ = 4,当且仅当上_ =牝时，即时等号成立.2a b2a b2a2 + 2-cr- = ab 9当且仅当时，

4、等号成立, 422则左右同时加上1+生得，则2 a2+ a2 + + ab = a + -444 I 2即，h2cr + 4h a + 22,当且仅当。=2时等号成立,2（ 州h故，b2 a+2）42 ，当且仅当。=时，即。=2/=4时等号成立，cr + = 82422故 （J+Z一生=1 -生-42取最值时要保证取等号条件成立.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分.有选错的得。分，部分选对的得3分）9.（多选题）已知。，b, c为实数，且则下列不等式正确的是（）A. -B ac1bc1C. yD. a2 ab b2

5、a ba b【答案】AD【解析】【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项.【详解】A.y = ：在(0,+a)上单调递减，所以当aZ?0时，-bc2不成立，故B不正确：C.当。匕0时，a2b两边同时除以c心得，故C不正确： b aD.当。0时，两边同时乘以。得，2 ab,或两边同时乘以得，加，所以。2皿，故D正确.故选：AD10.下列命题正确的是()A.已知，n是两个不共线的向量.若a = + n , 5 = 3u -2v c = 2 +3n则4，b c共面B.若向量则Z，区与任何向量都不能构成空间的一个基底C.若4(1,0,0), 8(0,1,0),则与向量而共线的单位向最为工=W,

6、0 乙 乙 /D.在三棱锥。ABC中，若侧棱。4, OB,。两两垂直，则底而a48C是锐角三角形【答案】ABCD【解析】【分析】根据空间向量的共而定理可判断A；由构成空间向量的基底不能共而可判断B：根据单位向量的计算公式AB网可判断C；利用空间向量的数量积可判断D.【详解】对于A, ；, G是两个不共线的向量，不妨假设)，B，共面则 c = G + B , KP c = (m + 3/z) z/ + (m -2n)v = 2u + 3v ,131可得7 = =, = 一二，存在一对实数相，使得 = +鼠 即假设成立，故A正确：对于B,向量7/B，则Z，坂与任何向量都共而， 所以，坂与任何向量都

7、不能构成空间的一个基底，故B正确:/、 A* ( g 应 A对于 C, AB = (-1,1,0),所以一，,o对于D, /。4, OB, OC两两垂直，故C正确;二而 = （砺-砺）.（反_而1次0,所以月耳与灰的夹角为锐角，即44C为锐角，同理NA8C, NBC4为锐角，:a48c是锐角三角形，故D正确.故选：ABCD, 、凡 i+l, = 2攵 /11 已知数列4的前项和为S“，4=l,a= t（ke，& i + 1, H = Z/C + 1N）.则下列选项正确的为（）A.q=14B.数列+3ke N）是以2为公比的等比数列C.对于任意的a2A =2”|-3D. S” 1000的最小正整

8、数的值为15【答案】ABD【解析】【分析】根据题设的递推关系可得= 1,从而可得，6+2 一 项和%i的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得，&一Wi = 1，*-2%=1,因为=1, a2-a =1,故2=1+1 = 2,所以0+2 一=1，味一 2%t = 1,所以 a2k+2 - 2a2k = 2 ,所以生+2 + 2 = 2（。24+2）,因为4+ 2 = 4。，故,+2工0,所以3+2=2,所以4+2为等比数列，a2k + 2所以a+2 = 4x2i 即a =2八|_2,故%=16 - 2 = 14,故A对，C错=2,由此可得%J的通又出 j = 27- 2 -1 = 22

9、一 3,故 、j + 3 = 2川,所以S = 2,即他j+3(人N)是以2为公比的等比数列，故B正确.“2A-1 + $S4 = a+ 氏 + +qa = q + (q +1)+ +% + (% + 1)= 2(q +%+5+%+9+。|1+43)+ 7 = 2乂(2:1-3+233+283)+7 = 981,S15 =S14+6/15 =981 + 509 = 14901000,故S” 100。的最小正整数的值为15,故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系， 另外讨论D是否成立时注意先考虑Sm的值.12.在平面直

10、角坐标系中，P（x,y）为曲线。:/+4），2=2+2国+4以上一点，则（）A.曲线C关于原点对称B. x e -1 - JI 1 +C.曲线C围成的区域而积小于18D.尸到点（0，2的最近距离为正2）2【答案】ACD【解析】【分析】当x0, y0时，曲线C为止1 +卜，一口 =1，根据点（一x,y）, （x-y）, （一乂一丁）都在曲线C上， 可得曲线。图象关于轴，）轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案一 【详解】当x0, y0时，曲线C:Y+4y2=2 + 2x + 4），即 11111_ + （）,一！丫=1，4 I 2）将三十）,2 = i中心平移到位于第

11、一象限的部分；4k 2J因为点（T,y）, （xy），（一为一y）都在曲线。上,所以曲线c图象关于。轴,）轴和原点对称，作出图象如图所示:对于选项A：由图知曲线C关于原点对称，故选项A正确；2对于选项B：令二+,2=1中),=0可得 = 2,向右平移一个单位可得横坐标为3,根据对称性可知 43KxM3,故选项B不正确；丫213对于选项C：令土-+),2=1中x = o可得),=1,向上平移7个可得纵坐标最大值为7，4223 99曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为3x = ，所以曲线C围成的区域而枳小于三(),比算即得结果.【详解】二次函数一 6 是开口向上的抛物线，故要使/(x)

12、= V 一 .x + avo有解，则需A = a2-4a0，即（。-4）。0,解得4.故实数a的取值范围为（f ,0）U（4,+s） .故答案为：（yo,0）U（4,+s）.14.已知数列4是等比数列，%=4, % =16,则% =【答案】8【解析】【分析】利用等比数列的性质：若，+ = +夕，则=4,%,即可求解.【详解】由数列4是等比数列，的=4,小=16, 则 a； =%=4x16 = 64,所以为 =8.故答案为：82215.设椭圆C:二+二=1（。人0）的左焦点为F、右准线为/,若/上存在点夕，使得线段尸产的中点 a b恰好在椭圆。上，则椭圆C的离心率的最小值为.【答案】72-1【解

13、析】【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点尸（土,2y）,得中点坐标，代入椭圆方程，整理得/，又）*2。，解不等 C式即可得离心率的最小值.22，【详解】由C:二 + =1（。0）,得/（一。,0）, /： x =,a2 b2 V 7c222设点P（t,2y）,故中点为,y）,c2c又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得（二二厂+ E = 1，4d厂 lr整理得），2=力2.口_（。一：）-20,故i_（O 20,又 = （。,1）,整理得（一3）8, 3-272 e2 /2a即，23 - 2& = （&-1尸，V2-b故答案为：V2-1.【点睛】椭圆 离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或

14、离心率的取值范围）,常见有两种方法：求出a, c,代入公式e = : a只需要根据一个条件得到关于mb, c的齐次式，结合/=/一/转化为a, c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以。或。2转化为关于。的方程（不等式），解方程（不等式）即可得的取值范围）.16.已知函数犬）=（依-4）犬+（而+ 2）1 +。+ 2（。/?）,则该函数“X）的图象恒过定点:若满足了（x）vO的所有整数解的和为-6,则实数。的取值范围是-恪案】（1）.卜同（2）.怪|）【解析】【分析】将函数/“）的解析式变形为x） = 2（a - l）x+a + 2（2x + l）,即可求得函数的图象所过定点的坐标；【详解】

15、，. /（x） = （4a-4）x+（4a + 2）x + 4 + 2 = 2（ l）x+a + 21（2x + l）,当一1 = 0时，令/（x） =。，得K=-；4 + 21当一1工0时，令力=0,得x=2U_j）或x = _）.综上所述，函数“X）的图象必过点（-；,。.分以下三种情况讨论：当一1=0时，即当“ =1时，由x） = 3（2x + l）0,可得XV-J,不合乎题意：（1 + 2（ 3 八 ” + 21当。时，即”时的一一5卜的则许,、（i + 21解不等式/（力o,可得而面工一5，由于不等式/（“0所有的整数解的和为6,则不等式/（X）。的所有整数解有一3、-2、-1,a+

16、 2. in 8所以，-4 2（ _ .） 3 解得a+213 八a+21当一IvO时，即。1时，-=-O,可得/ 八 一弓I 2 J 2（1 - ）2（1 -2/ 、1。+2解不等式人力。，可得x/或2（1二“）不等式/（x）。的解中有无数个整数，不合乎题意一综上所述，实数的取值范围是，|）.故答窠为:?。岸【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0,等于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式：（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式/与。的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的

17、大小关系，从而确定解集形式.四、解答题（本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）2217.命题夕：实数次满足不等式/-3c + 2a2v0e0）；命题q：实数小满足方程 十 L = 1表 m-1 m-5示双曲线.（1）若命题q为真命题，求实数”的取值范闱：（2）若尸是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.【答案】（1） 1cme5； （2）【解析】【分析】（1）由题意可得（加一 1）（m一5）。，即可求解.（2）若是9的充分不必要条件，则是佃的真子集，根据集合的包含关系求出实数。的取值范闱即可.22【详解】（1）若实数“满足方程-+=1表示双曲线，m - 1

18、m 一 5解得1加0）,解得。加2。，若是9的充分不必要条件，则aam 2a是川 m所以20所以若是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围是1 “ w g .【点睛】易错点睛：若是9的充分不必要条件则。I。?2a是m2m0,很明显18.如图，在三棱锥M中，M为8c的中点，PA = PB = PC = AB = AC = 3, BC = 2.（1）求二面角。一8CA的大小；（2）求异面直线AM与03所成角的余弦值.【答案】（1）?： （2）正 36【解析】【分析】（1）连接PM，则可证得NPMA就是二面角尸8CA的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解：（2）取PC中点N,连接MN,AN,则NAMN

19、就是异而直线4W与总所成的角，根据余弦定理求解即可.【详解】解：（1）连接PM，因为M为3C的中点，PB = PC = AB = AC3,所以 PM_L 8cAM _L8C,所以NPM4就是二而角P8C A的平面角.在直角尸中，PC = 3,MC =娓,则PM=省, 同理可得AM =JJ，3+3-9 _ 12x73x73 2在PM4中,由余弦定理得cos ZPMA =(2)取PC中点N,连接用MAN,则MN 必.故NAMN或其补角就是异面直线AM与必所成的角,因为等边P4C中，PC中点为N,所以4 =正尸。=越 22又 MN = $BAMf)9 27所以在aAMN中cos ZAMN = 一一寺

20、 2x/3x-因为异而直线所成角的范围为(0,工,2x/36所以直线AM与PB所成的角的余弦值为 B.6【点睛】思路点睛：平移线段法是求异而直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异而直线的问题化归为共而直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异而直线所成的角：（2）认定：证明作出的角就是所求异而直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形：（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,1,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异而 直线所成的角.19.设等差数列“的前项和为S”，数列6“为正项等比数列，其满足q =4 =2,1=%+4，

21、4+ % = 8.（1）求数列为和也的通项公式；（2）若,求数列%的前”项和乙.1,a +2在二% =+ %, 口，=。也,口。=17一这三个条件中任一个补充在第（2）问中：并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）勺= + 1, 2=2： （2）见解析.【解析】【分析】（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项.（2）根据所选的数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求7； .【详解】(1)设等差数列的公差为d,公比为夕，贝人42 +三-* = 2 + 4 + 2”2 + 24 + 29 = 8g = 2 ft/ = -3解得:，

22、或丫 , (舍)，4 = 14=6故q=2 + (-l)xl = + l, =2x2i =2.若选，c=7； + 2”=0）的焦点为尸，其准线与丁轴交于抛物线上一点的纵坐标为4,且该点 到焦点F的距离为5.（1）求抛物线的方程：（2）自M引直线交抛物线于P,。两个不同的点，设声=2而.若字,求实数4的取值 范围.【答案】/=4），：；卜。，3【解析】【分析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得4 + 2 = 5化简即可： 2（2）设尸。：），=京1,联立直线与抛物线方程设尸（再,）,。（七,当），用弦长公式表示|PQ|，由 40 = A 1,厂=4y 设产即%），。

23、（“2，力），则.所以 PQ = Jl + 公卜 _| = Jl + 6- J16攵216 = 44k2 +4 J4G-4 ,因 MP =,所以（为,X +1） = 乃+1）=%=无心代入化简得4k2 =（）2令，=止=回匕则 pq = J7TZ- =4-16因为|P04O,乎,所以0v|pq9，即0产164上= 16v 4r0/423l322-102 + 30-20）交于 8两个不同的点，点河为K3中点,点。为坐标原点.且椭圆c的离心率为,长轴长为4.2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若。4,。8的斜率分别为占，h, k;叵,求证：攵芯为定值：2 已知点当d08的面积S最大时，求砺.两的最大值.22【答案】（1）二+工=1 : （2）见解析：（3） 2. 42【解析】【分析】（1）求出后可得椭圆的方程.（2）设4（%,）,8（%,必），联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简可得所求的定值.XX2（3）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离可求而积，结合基本不等式可求aAOB何 时取最大值，再用攵，?表示两西，利用基本不等式可求（丽丽丁的最大值，从而得