平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1.doc

1、坐标的应用（讲义）知识点睛yOx平面直角坐标系知识回顾：1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，当我们把两条数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水平方向的数轴我们叫 x轴或横轴，铅直方向的数轴我们叫 y轴或纵轴；2、我们用有序实数对（ a,b ）来表示平面直角坐标系内的坐标；数轴把平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。每一个象限内的符号： （，），（，），（，），（，）；3、每一个点（ a,b ）的坐标由两部分组成： A、它的符号，由它在坐标系中的位置决定； B、它的长度， a的绝对值表示点到纵轴的距离， b 的绝对值表示点到横

2、轴的距离，一般需做横平竖直的垂线；4、关于x轴对称的两个点， x相同， y相反；关于 y轴对称的两个点， x 相反， y相同；关于原点对称的两个点， x、 y都相反；于 x轴平行的直线， y相同， x不同，可表示为 y=b；于 y轴平行的直线， x相同， y 不同；可表示为 x=a；坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于 x轴或 y轴，则其线段长等于大坐标小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离22公式： L= （x1x2） （y1y2） ；5、牢记中点坐标公式：x1x2 ，y1y2226、平面直角坐标系中坐标的处理原则：A、过点做平行于 x轴、 y轴的垂线；B、 坐标转线段长，线段长

3、转坐标；4) 点的存在性问题：3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：；4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标：精讲精练1. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点 A（- 1，0），B（0，4），顶点 C，D在第二象限内，则C，D两点的坐标分别是 _，_CyBDAOx（分别过 C、D两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。）在平面直角坐标系中， 四边形 ABCD各顶点的坐标分别是 A（- 2，- 3），B（5，- 2），C（2，4），D（- 2，2），求四边形 ABCD的周长和面积yOx（构造直角三角形， 将坐标转化为线段长， 利用勾股定

4、理求出各边长即可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。）9.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点y4C32A1PBO123x（1）求 ABC的面积1（2）如果在第二象限内有一点 P（m， 2 ），是否存在点 P，使四边形ABOP的面积与 ABC的面积相等？若存在， 求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由总结提升：1、此题需将坐标转化为线段长，方法是：如果两个点的连线平行于 x 轴或 y轴，则其线段长等于大坐标小坐标；如果不平行，则运用两22点之间的距离公式： L= （x1x2） （y1y2） ；2、平面直

5、角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。比如此题就可以 OA为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。18. 如图，在平面直角坐标系中， A（x1，y1），B（x2，y2），取线段 AB的中点 M，分别作 A，B到x轴的垂线段 AE，BF，取 EF的中点 N，则 MN 是梯形 AEFB的中位线，故 MNx轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点 M 的坐标是 _（用 x1，y1，x2，y2表示）yBMAOENFx（牢记中点坐标公式）已知点 M（- 4，2），将坐标系向下平移 3个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点 M在新坐标系内的坐标为 _（总结提升： 牢记点的

6、平移和坐标系的平移不同； 坐标系的平移相当于把点向反方向平移；）34. 如图， 35. 将 ABC绕点 C（0，36. - 1）旋转 180得到 ABC，37.设点 A的坐标 38. 为（ a，39. b），40. 则 点 A 的 坐 标 41.为（）A（- a，- b）B（- a，- b- 1）C（- a，- b1）D（- a，- b- 2）yBAOxCAB（总结提升：由于旋转 180，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。）42. 如图，已知 A（ 2 3 ，0），B（0，2），把 AOB绕点 A顺时针旋转 60后得到 AOB，

7、则点 B的坐标是（）A（4， 2 3 ）B（ 2 3 ，4）（ 3，3）D（2 3+2 ，2 3）CyB OBOAx（总结提升：首先把坐标转化为线段长， 可以得出三角形 AOB是一个含有 30角的直角三角形，又由于旋转角是 60，所以 A B垂直于横轴，再把线段长转化为坐标即可。）50. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（4，1），B（0，3），请在 x轴上找一点 P，使得点 P到点 A， B两点距离之和最小，则点P的坐标是_y43B21AO12345 x- 1- 2- 3（总结提升：这是一个典型的奶站问题，做点 B关于横轴的对称点，连接此对称点和 A点，于横轴的交点就是所求的点。求出直线的

8、表达式，然后求出和横轴的交点即可。 ）62. 如图，把一个矩形纸片 OABC放入平面直角坐标系中， 其中 A（2，0），B（2，2 3 ），连接 OB，将纸片 OABC沿 OB折叠，使点 A落在 A的位置上，则点 A的坐标为 _yCBAOAx总结提升：欲求点 A的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于 G点；根据折叠的轴对称性质， 折叠是一种全等变换， 则 BOA=BOA=60，则 AOG也=60，则我们构造的小直角三角形是一个含有 30角的直角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐标即可。74. 如图，在平面直角坐标系中， 四边形 OABC是正方形， A点坐标为（0，2）

9、，E是线段 BC上一点，且 AEB= 60，沿 AE折叠后 B点落在点 F处那么 F点的坐标是 _yBAEFCOx（总结提升：此题道理同上，我们过 F点做横轴的平行线，与 BC相交与点H；根据折叠的轴对称性质， BEA=AEF=60，则角 FEH=60，我们构造的是一个含有 30角的直角三角形，根据其三边关系比，分别求出三边的长度， 然后用 2BH即是 F的纵坐标， 2HF的相反数就是 F的横坐标。）86. 已知 A（- 2，0），B（3，0），C（0， - 1），以 A， B， C三点为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：y21- 6- 5- 4- 3 - 2- 1 O123456x-

10、1- 2总结提升：1、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线，以便不重不漏，由于在平面直角坐标系中，我们选择横轴或纵轴上的线段，以方便计算；2、若以 AB为边，根据平行四边形的对边平行且相等， 我们过点 C 做AB的平行线，则有两种情况，分别过两个 D点做此平行线的垂线，则可以构造两个小直角三角形，与相应的三角形对应全等，借助于其三边的关系即可求出点D的坐标；3、若以 AB 为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等，分别做两边的平行线相交与 D点即可，然后再过 D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。97. 如图，在平面直角

11、坐标系中，已知 A（2， - 2），在 y轴上确定点 P，使 AOP为等腰三角形，则符合条件的点 P坐标为：y321O123x- 1- 2A- 3- 4（总结提升：这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。我们常用的处理模式是： “一条线，两个圆”，也就是先做定线段 OA 的垂直平分线，与纵轴的交点即是其中的一个点，然后分别以两个定点为圆心， 定长线段为半径画圆， 与纵轴的交点即是其他的点。当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。 ）如图， O为坐标原点，四边形 OABC为矩形， A（6， 0），C（0，2），点M是OA的中点，点P在线段 BC上运动，当 OMP是腰长为

12、 3的等腰三角形时，则P点的坐标为： yCPBOMAx总结提升：1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型，我们先判断谁是定点，谁是动点，然后按照“一条线、两个圆”的模型解题；2、由于此题的特殊性，一条线不再使用，我们只考虑分别以两个定点为圆心，定长线段为半径做圆，然后过这两个圆与 BC的交点向横轴做垂线，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可。总共三个点。113. 如图，方格纸中的每个小方格是边长为 1的正方形， A， B两点在小方格的顶点上，位置分别用（ 2，2），（4，3）来表示，请在小方格的顶点上确定一点 C，连接 AB，AC，BC，使 ABC的面积为 2个平方单位，则

13、点 C的位置有个BA总结提升：1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置；2、由于 A、B两点是定点，而 C是动点，我们先随意确定一个 C点的位置，使得由此构成的三角形的面积是 2；3、根据平行线间的距离处处相等，为此我们过确定的 C的位置做线段 AB 的平行线，这条平行线上的格点即是我们所求的点；4、同时在线段 AB 的另一侧，也一定存在着另一条等距离的平行线，我们再看看有几个格点，两项相加，即是全部的点。三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1坐标转线段长，线段长转坐标；过点作横平竖直的线2平移线段一线两圆二、精讲精练1（- 4，5），（- 5，1）65255525，213（1）6；（2）

14、存在，（- 3， 2 ）x1x2 ，y1 y24225（- 1，5）6D7B8（3，0）9（- 1，3 ）10（- 1， 23 ）11（1，1），（5，- 1），（- 5，- 1）12（0， 2 2 ），（0，- 2），（0，- 2 2 ），（0，- 4）13（5，2），（3- 5 ，2），（3+ 5 ，2）147坐标的应用（随堂测试）1如图，平面直角坐标系中有一矩形OABC，其中 A（4 3 ，0），C（0，4），若将 AOB沿OB所在直线翻折，点 A落在点 D处，则 D点的坐标是_yDCBOAx2如图，在平面直角坐标系中，其中 A（2， 0）， ABO=30，在 y轴上取一点P，使PAB是

15、等腰三角形，则符合条件的点P坐标为_yBOAx【参考答案】1（2 3，6）232（0， 42 3 ），（0， 3 ），（0， 4 2 3 ），（0， 2 3 ）坐标的应用（作业）4. 在平面直角坐标系中， ABC三个顶点的坐标分别为（ 2，3），（5， - 2），（- 2，0），求 ABC的周长和面积yOx（分割以求和，补形以作差）10. 如图，已知 A（0，4），B（2，0），把线段 AB绕点 A逆时针旋转 90，点B落在点 B处，则点 B的坐标是（）A（6，4）B（4，6）C（6，5）D（5，6）yBAOBx（构造双垂直模型解题即可）15. 如图，图形关于点 D（0，- 2）成中心对称，

16、若点 A的坐标是（2，3），则点的坐标为yAOxDM（运用中点坐标公式解题即可）22. 在平面直角坐标系中，点 C坐标为（ 0， 3 ），点E坐标为（ 1，0），将 COE沿直线 CE折叠，点 O落在点 D处，则点 D的坐为yCDOEx（过点 D做横轴的垂线，构造含30角的直角三角形，利用其三边关系比解题即可）30. 在平面直角坐标系中， A，B，C三点的坐标分别为（ 0，0），（0，- 3），（ - 2，- 1），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个点的坐标为：y4321- 3 - 2 - 1 O123 x- 1- 2- 3- 4（按照“三个定点、一个动点”求平行四边形的村庄行解题模型解

17、题即可）36. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 P（2，1），点 T是x轴上的一个动点，当 PTO是等腰三角形时，点 T的坐标为：y32P1- 3- 2- 1 O1234x- 1（根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性解题模型解题即可）41. 如图，在平面直角坐标系中， 四边形 OABC是矩形，点B的坐标为（5，4），点 P为线段 BC上动点，当 POA为等腰三角形时，点 P的坐标为：yCPBOAx47. 把 ABC放在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（ 0，1），点B的坐标为（ 2，1），点 C的坐标为（ 4， 3），如果要使 ABD与 ABC 全等，则点 D的坐标为：y54321

18、-6-5-4 -3-2 -1O1 2 3 4 5 6 x- 1- 2- 3- 4- 5（总结提升： 由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边 AB，因此此题实质上是一个轴对称性质的题；由于 AB平行于横轴，所以我们以 AB 为折痕，把原三角形翻折过去，对应的点就是 D点的一个位置；再做出线段 AB的垂直平分线，以之为折痕，把原三角形再翻折过去，对应点则是另一个 D点的位置。最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个再翻折一次就可以得到第三个 D点的位置。利用中点坐标公式求即可。）【参考答案】29134535，22B3（- 2，- 7）3， 34225（2，- 3），（- 2，- 7），（- 2，3

19、）5（ 4，0），（ 5 ，0），（4，0），（5 ，0）65，4），（3，4），（2，4）（ 278（- 2，3），（4，- 1），（- 2，- 1）坐标的应用 (每日一题 )1.如图所示，已知边长为 1 的正方形 OABC在直角坐标系中， B，C两点在第二象限内， OA与x轴的夹角为 60，求点 B的坐标（注意到此题中出现了含有 30角的直角三角形，过点 A分别做横轴和纵轴的垂线，构造双垂直模型即可）2.慧慧在一次数学课上，将一副30， 60， 90和 45， 45， 90的三角板如图放在直角坐标系中，发现点 A的坐标刚好是（ 9 3 3 ，0），求图中两个三角板的交点 P的坐标（注意到此

20、题中出现了含有30角和 45角的特殊直角三角形， 我们可以利用其三边关系比，先求出有关线段的长，然后过点 P做横轴的垂线，设此垂线长为 a，把OA表示为含有 a的代数式，列方程解题即可。）3.如图所示， A（- 3 ，0），B（0，1）分别为 x轴， y轴上的点， ABC 为等边三角形，点 P（3，a）在第一象限内，且满足 2S ABP = SABC，求 a 的值总结提升：1、首先根据题目中提供的条件，计算出等边三角形的面积；2、我们利用“坐标系中求三角形面积的模型”来求三角形 ABP的面积；先求出直线 AP的表达式，设其与纵轴的交点是 H，然后用“大坐标小坐标”求出 BH的长，则三角形 AB

21、P就被我们分隔成了分别以BH为共同底边的两个小三角形，左边小三角形的高是 A点横坐标的绝对值，右边小三角形的高是 P点横坐标的绝对值，据此列方程解题即可。4.如图，在平面直角坐标系中，点 B在x轴正半轴上，点 A在第一象限，OE是 AOB的中线，已知 OBOE5，SAOB 15求A、E两点的坐标（总结提升：1、为了求点 E的坐标，我们过点 E做横轴的垂线，根据等底同高的两个三角形面积相等，则三角形 OEB的面积等于大三角形面积的一半；然后根据三角形面积公式求出高即是 E点的纵坐标，然后再用勾股定理求出其横坐标即可；2、为了求点 A的坐标，注意到点 E是AB两点的中点，代入中点坐标公式求解即可。

22、）5.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为平行四边形，其中 O为坐标原点，且点 B（4，4），C（1，3），OB，AC相交于点 D.求A，D两点坐标；求四边形 OABC的面积 .总结提升：1、根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此 D点是 O、B两点的中点，先利用中点坐标公式求出点 D 的坐标，再根据点D也是 A、 C两点的中点，代入中点坐标公式求出点A的坐标即可；2、22利用两点之间的距离公式： L= （ x1 x2） （y1y2） ，分别求出有关线段的长，可以判定此平行四边形是菱形，根据菱形面积公式 =两条对角线乘积的一半， 分别计算出两条对角线的长度即可求出。【参考答案】1.解：过点 B作BEy轴，垂足为 EOA与x轴的夹角为 60 AOE=30在RtAOD中， OA=1， AOD=30 AD= AB=132 33 ，OD= 3， ADO=603BD=1- 33在RtBDE中， BD=1- 3 ， BDE=601331DE= 26 ，BE=2 OE=OD+DE=B在二象限3 121331点 B的坐标为（2，2）2.解：过点 P作PDx轴，垂足为点 D设AD=x，在RtAOB和RtAOC， AOB=30， OAC=45 PD=AD=x，OD= 3 x，A（ 9 3 3 ，0）， OD+DA=9 3 3 ，即 x+ 3