b无穷小量无穷大量阶的比较PPT学习教案

1、会计学1b无穷小量无穷大量阶的比较无穷小量无穷大量阶的比较定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, , 那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小量量, ,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 0)(lim)(0 xfxxx 语言表述 当 时 ,有 则)(X ,

2、 )0or ( 0, 0 X )(xf)(00Xxxx 第1页/共41页例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn第2页/共41页 （4）不能说函数 是无穷小, 应该说在什么 情况下的无穷小. 即指出自变量的变化过程.)(xf（5) 同样有 xxxxxx , , 0 , 000时无穷小.注意:（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.0lim nnx （3）此概念对数列极限也适用.

3、 若 ,称 数列 为 的无穷小。nx n第3页/共41页有界量与无界量)(0 xUo若存在 的某空心邻域 ，使f (x) 在 内有界，则称f (x)当 时是有界量。0 x)(0 xUo0 xx 对 无论多么小的某空心邻域 ，任给M 0 ，存在 x ,使|f (x)| M，称 f (x) 当 时是无界量。0 x0 xx ),(0 xUo ),(0 xUo定义：定义：第4页/共41页2、无穷小与函数极限的关系: 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);).(,)()(

4、20 xAxfxxf 误差为误差为式式附近的近似表达附近的近似表达在在）给出了函数）给出了函数（ 第5页/共41页3、无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使得使得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时恒有时恒有当当Nx,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 , )(0 x第6页/共41页注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn第7页/共41页定理3 有界函数与无穷小的乘积是无

5、穷小.证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx .0, 0, 0202Mxx 恒有恒有时时使得当使得当,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx第8页/共41页推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.例如,xxx2sinlim).1 (xxx1coslim).2(02arctanlim).3(xxxxxx2sin1lim.

6、0. 0 xxxarctan1lim2. 0注意无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.第9页/共41页例如,.1sin,sin,022都都是是无无穷穷小小时时当当xxxxxx 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.;32要要快快得得多多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xxxxx3lim20 xxxsinlim0观察各极限2201sinlimxxxxxx1sinlim0 型）型）（00不可比.不存在.第10页/共41页定义:. 0, 且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C;, 1lim 记作记作是

7、等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(第11页/共41页是是等等价价无无穷穷小小与与时时，当当xxxsin0，1sinlim0 xxx).0(sinxxx即即;302高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比时，时，当当xxx ，03lim20 xxx).0()3(2 xxox即即例如，, 639lim32 xxx是是同同阶阶无无穷穷小小与与时时当当39,32 xxx., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk )(ko 记作：记作：第12页/共41页例：证明1)1()1(11)1(

8、lim111lim2100 nnnnnnxnxxxxnxxnx11)1()1(lim210 nnnnxxxn)0(111 xxnxn第13页/共41页的的主主要要部部分分是是称称为为必必要要条条件件是是等等价价无无穷穷小小的的的的充充分分与与定定理理 ).(o 证必要性，设设 1limlim ，0 ，即，即)()( oo充分性设设)( o )(limlimo）（ )(limo，1 第14页/共41页定义定义 设函数设函数)(xf在在0 x某一去心邻域内有定义 （或某一去心邻域内有定义 （或x大大于某一正数时有定义） 如果对于任意给定的正数于某一正数时有定义） 如果对于任意给定的正数M( (不不

9、论它多么大论它多么大),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合使得对于适合不等式不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数对应的函数值值)(xf总满足不等式总满足不等式 Mxf )(, , 则称函数则称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷大时为无穷大, ,记作记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 第15页/共41页 , | , 0 , 0有有时时当当若若XxXM Mxf | )(| , )( ,记为记为时的无穷大量时的无穷大量为为则称则称成立成立 xxf. )( )( )(lim xxfxfx或或 .

10、)(lim ,)( 称为正无穷大量称为正无穷大量则则换成换成 xfMxfx . )(lim ,)( 称为负穷大量称为负穷大量则则换成换成 xfMxfx : )(时的无穷大量时的无穷大量当当 xxf第16页/共41页注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;第17页/共41页xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充分大时充分大时当

11、当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大无界， 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第18页/共41页.11lim1 xx证明证明例例证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy第19页/共41页 ,)(lim ) 1( xf若若 . | )(|lim xf则则(2)在某极限过程中, 无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.(3)在某极限过程中,有限个无穷大量之积

12、仍是一个无穷大量.第20页/共41页 , 0 , , 0 , 0 :nnyx , 8 , 6 , 4 , 2 :nnyx ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :nxnn ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :1nynn此时此时时时显然显然 . , , , nnyxn考察第21页/共41页有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , )1 | ( 2 xxgxx时时不妨设不妨设当当 . )( 011)()( 21 xxxxxgxf而而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxgxf考察 无穷大量与有界量

13、之积不一定是无穷大量.第22页/共41页定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 第23页/共41页. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第24页/共41页.11lim:21 xx求求

14、例例解:. 0)1(lim21 xx由于由于.)1(1lim21 xx所以所以.01)1(1lim,)1(1lim:2121 xxxx但不能写成但不能写成或者可以直接写成或者可以直接写成注意注意第25页/共41页(1)1sinlim0 xxx证明)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ACoBD,tansinxxx ,1sincos xxx即即四、两个重要极限四、两个重要极限BD第26页/共41页.02也成立也成立上式对

15、于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxxxxysinXX第27页/共41页xxtanlimx0 解解xcoslimxxsinlimxx100 111nsinnlimn312 解解xxxtanlim0例. 求xcosxxsinlimx10 nsinnlimn312 例.求nnsinlimn2131 323131 nnsinlimn32)lim(sinlim01 推广:0)(xtan:xx即即第28页/共41页

16、xxarcsinlimx0 1 xxarcsinlimx0例. 求解. usinulimuxarcsinu0 xsinxsinlimx350例. 求xsinxsinlimx350解. 3533550 xxsinxxsinlimx3520cos1limxxx 例. 求220)2(sin2limxxx ).0(arcsin:xxx即即.2122sin21lim20 xxx).0(21cos1:2 xxx即即第29页/共41页xxx)11(lim 限限我我们们讨讨论论另另一一个个重重要要极极定义：ennn )11(lim第30页/共41页,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(

17、1 xxxxxx.)11(lim)11(lim)11(lim1exxxxxxxx 而而.)111(lim)111(lim)111(lim11exxxxxxxx .)11(limexxx 第31页/共41页, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim综上所述恒有综上所述恒有,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim第32页/共41页例： 求.)11(limxxx 解 原式xxx )11 (1lim1)11(lim xxx.1e 第33页/共4

18、1页例.)23(lim2xxxx 求求解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 第34页/共41页定理(等价无穷量替换定理).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证 lim)lim( limlimlim.lim 意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数极限要存在或为无穷大。注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，用因式来替换。第35页/共41页例 求xxx5sin2tanlim0解5252lim5sin2tanlim,55sin,22tan,000 xxxxxxxxxxx时时当当例 求xxxx3sinlim30 解3131lim3lim3sinlim203030 xxxxx