电容器的研究

1、创新实验研究报告电容器研究摘要电容器是一种静态电荷存储介质，应用于各种电子器件，广泛应用于电源滤波、信号滤波、信号耦合、谐振、隔直流等电路中。电容器的电容值受到很多因素影响，如极板之间的距离，极板之间的介质，极板的正对面积，测量的频率以及电容器的形状等。而我们主要研究的是由两篇铜箔缠在PVC圆管或方形管上（两篇铜箔之间有细缝）的这类特殊电容器的电容值计算以及各种因素对电容值的影响。实验中我们制作了实际的电容模型，在1kHz下对其电容值进行了测量，得到比较合理的数据，并用软件对数据进行拟合。在理论推导上，采用3种不同的测量方法求解一.物理方法：将其看作是变形的平行板电容器，利用微元法求解；二.电

2、磁场方法：将模型看作是静态场边值型问题，利用拉普拉斯方程求解；三.仿真软件模拟方法：利用电磁仿真软件，绘制模型，加予激励，求其阻抗的虚部，得出仿真结果。根据对这三种方法结果的比较和讨论，最后得出适合计算这类特殊电容的模型。但为了使使用的计算方法更为简单，在计算中，我们对模型进行了很多理想的简化，有时甚至忽略了一些关键因素，导致三种方法得出的结果存在偏差与矛盾，所以要得到更贴合实际的模型，还有待更进一步的深入研究。关键词：电容器，电磁场，静电场方程，边界条件，HFSS仿真。目录1数据表格(4号楷体字)121原理23电磁场方程计算331矩形管33. 2柱形管94HFSS仿真1241 HFSS软件简

3、介1242 HFSS仿真125结论156.研究中不成熟的地方以及今后的研究方向：156. 1成熟的地方156. 2后的研究方向157致谢、心得、体会158参考文献169附录161数据表格根据制作的模型进行测量，得出如下数据表格注：测量频率均为1000Hz表一 电容值-高度（半径为2cm，缝宽为2.5mm）高度15.120.325.4电容值（pF）10.814.117.8表二 电容值-缝宽（高度为15cm，缝宽为2.5mm）半径（cm）1.522.5电容值（pF）10.110.813.0表三 电容值-半径（高度为15cm，半径为2cm）缝宽（cm）05122.5电容值（pF）19.817.114

4、.310.82物理方法21原理将实际模型看成是平行板电容器的变形，主要采用微元法，将电容器的两片按高度方向分成极小的长方形，长为电容器的高，宽为所选微元，该微元与它正对面的另一片上的微元构成一对“平行板”，但每对微元之间的夹角不同，具体解法如下：ydrd 电容横截面图 电容模型横截面图电容整体示意图设电容的高度为H，横截面半径为rC=1dC （1）=/y dS （2）其中y是两对应微元之间的距离，即y=2rsin （3）S是两对应微元的正对面积 即S=Hrdsin （4）所以C=Hrsind2rsind （5）=22H2d （6）=H2- （7）其中，胃的大小与缝宽有关，=sin-1d2r注：

5、d为缝宽，但可知d与2r相比很小很小，约为1:500，所以其影响很小，故可以说明电容器容量的大小与半径无关。22计算公式与实际测量的偏差例如计算高度为15cm，半径为2cm，缝宽为1mm的电容值为：8.85脳0.152=2.08pF，与测量结果17.1存在较大误差，原因是电容值大小受缝宽，介质和测量的频率影响。23计算公式与实际测量的偏差若考虑中间较薄的PVC介质，则设电容器模型外径为R，内径为r由上述认为介质只有空气的情况得出:C0=0H2q0=C0U0=0H2U0E0=q00SV=E02Rsin-2R-rsin/rC=q0V=q0q00S2Rsin-2R-rsin/r=0rS2rsinr+

6、2R-rsin=20rHrsind2rsinr+2R-rsin=0rHr2rr+2R-r2-其中，的大小与缝宽有关，=sin-1d2r通过在网上查资料，得知PVC管的主要成分是聚氯乙烯，而聚氯乙烯的介电常数为2.4-2.6，取2.5，可计算出高度为15cm，外径为2cm，内径为1.9cm，缝宽为1mm的电容值为：8.850.152 2.51.921.92.5+20.1=1.02pF 2.08pF，所以可知，考虑介质使计算得出的电容值略有减小。3电磁场方程计算31矩形管X Y 0 原始模型矩形空管的相对的两面贴有铜膜，侧面铜膜之间隔开，即存在缝隙，如图：简化后模型2x2+2y2=0简化模型aAb

7、X Y 0 U02000:一、模型假设：上下两铜膜的距离和管长对静电场分布的影响先不考虑管子材料的厚度对电容值的影响忽略，以及铜膜内的介质全部设为空气，不考虑PVC管子的介电常数。二、模型建立：以上下板的对称轴为x轴，垂直x轴的方向为y轴，坐标原点选取左下角。矩形区域的截面为ab，下板电势设为+U0，上板电势设为0。根据电磁场与电磁波中静电场边值问题理论，矩形内部的电位函数满足Laplace方程。2x2+2y2=0, (0bx,0ya)x,a=U02, x,0=0,0,y=0, x,a=0,三、模型求解： 首先，蠁与管长无关，从给定边界条件看，电位沿x方向出现重复零点（x=0、b处，=0）,故

8、蠁沿x坐标呈三角函数分布，而y则选用指数函数。故=(C1eky+C2e-ky)(C3coskx+C4sinkx)现利用给定边界条件确定常数C1、C2、C3、C4、k。y=0,0xb时，=0；得C1=-C2;y=a,0xb时，=U02；得C3C1eka+e-kasinkx=U02;将U02按sinkx正交函数系展开成Fourier级数，可得其系数为 U0(1-(-1)n)nx=0,0ya时，=0;得C3=0;x=b,0ya时，=0;得k=nb，(n=1,2)；故管内电位分布为=n=1 U01-1nnenba-e-nba(enby-e-nby)Sinnbx对蠁求边界面上的法线方向上的方向导数，即可

9、求得电位移矢量D=E蔚，又D=蟽(铜膜面电荷密度)，故Q= dS。然后由C=Q U0求得电容。(1)x=n=1 U01-1nbenba-e-nba(enby-e-nby)coskxQ1=0axH dy，其中H为管子长度Q1(侧面的电荷总量)为n=1 2 HU01-1nnenba-e-nba(enba+e-nba-2)利用Mathematica求近似解，将正无穷近似取为10,100,1000，分别得结果(2)x=n=1 U01-1nbenba-e-nba(enby-e-nby)coskxQ1=0axH dy，其中H为管子长度Q1(右边侧面的电荷总量)为n=1 2 HU01-1nnenba-e-n

10、baenba+e-nba-2(-1)n(3)y=n=1 U01-1nbenba-e-nba(enby+e-nby)sinkxQ2=0byH dxQ2(底面的电荷总量)为n=1 2 HU01-1n2nenba-e-nba(enba+e-nba)随着n求和的项数越来越大，总电荷Q=Q1+Q2逐渐增加，可见电荷量的级数公式不收敛。当n取1000项时，Q近似为20.8159HU03. 2柱形管圆柱形PVC管子外贴有两边半圆柱状铜膜，两片膜之间存在缝隙，如图：=0=U0bYXO一、模型假设：1.上下两铜膜的距离和管长对静电场分布的影响先不考虑2.管子材料的厚度对电容值的影响忽略，以及铜膜内的介质全部设为

11、空气，不考虑PVC管子的介电常数。二、模型建立：以两片膜的对称轴为x轴，垂直x轴的方向为y轴，坐标原点选取圆柱截面圆的圆心。圆柱管的截面半径为b的圆，上半膜电势设为+U0/2，上半膜电势设为0。根据电磁场与电磁波中静电场边值问题理论，以及已有的公式，可得=n=1(C1nrn+C2nr-n)(C3nSinn+C4nCosn)三、模型求解： 根据边界条件有，r,=0 r0,为有限值r=b,0时，=+U0/2r=b,2，=0关于偶对称可得,C2n=0，C4n=0.=n=12U02n-1rb2n-1Sin(2n-1)利用mathematica算出当n近似取10000时，蠁已经在0上，处处逼近U0/2,

12、下图为30角度抽样点的值下图为拟合后的曲线，可以看出在U0/2上下的波动幅度很小然后对蠁求边界面上的法线方向上的方向导数，即可求得电位移矢量D=E蔚，又D=蟽(铜膜面电荷密度)，故Q= dS。然后由C=Q U0求得电容。ddr=n=12U01b2n-1r2n-2Sin(2n-1)Q=0ddrHb dQ=n=12HU0(2n-1)(1-(-1)2n-1)C=n=14H(1-(-1)2n-1)利用Mathematica算出C电容约为18.8863pF，和实际测量值相差不多。4HFSS仿真41HFSS软件简介HFSS High Frequency Structure Simulator, Ansof

13、t 公司推出的三维电磁仿真软件；是世界上第一个商业化的三维结构电磁场仿真软件，业界公认的三维电磁场设计和分析的工业标准。HFSS提供了一简洁直观的用户设计界面、精确自适应的场解器、拥有空前电性能分析能力的功能强大后处理器，能计算任意形状三维无源结构的S参数和全波电磁场。42 HFSS仿真421 圆柱形电容仿真仿真3D图形：所得数据表格：规格电容频率/MHz高50cm40cm30cm15cm15cm15cm15cm缝宽0.5mm0.5mm0.5mm0.5mm0.5mm0.5mm1mm半径2cm2cm2cm2cm3cm2.5cm2.5cm123456789100.52480.34850.27560

14、.23380.20600.18590.17050.15830.14830.13990.53040.35190.27810.23570.20760.18730.17170.15940.14920.14080.53260.35240.27780.23510.20670.18620.17060.15810.14790.13940.53260.35240.27780.23510.20670.18620.17060.15810.14790.13941.52001.00710.79400.67190.59090.53240.48780.45230.42330.39901.51801.04110.83740

15、.71850.63850.58000.53490.49870.46890.44390.02670.01760.01390.01150.01010.00910.00840.00780.00730.0069数据分析：圆柱高度对电容值的影响在实际中并不是简单的正比关系。缝宽大小对电容值的影响很大。4.2.2柱形电容仿真仿真3D图形：数据表格：规格频率电容/MHz5mm缝宽 50cm高 50*50cm5mm缝宽 30cm高 50*50cm1234567891073.203533.879423.188917.675729.394223.987122.080519.425317.747115.992982

16、.613932.686522.934441.265030.829924.995222.429619.866718.260716.6743数据分析：高度增高，电容值反而减小4.3误差分析电磁场仿真得结果与我们的猜想并不完全相同，有些甚至相反。可能原因是高频（MHz数量级）电磁场分布与低频有差异，以及我们Hfss软件使用还不够成熟，这些都有待下一步更为精确的考证。5结论（1）圆形电容器的电容量与高度成正比，与所围成的圆的半径无关。（2）圆形电容器的缝宽越窄，电容量越大（3）三段的柱形电容器的容量，随每段之间的缝宽变窄而变大。若没有中间的一段，则电容变小。（4）矩形管的电磁场方程解出的电容值是个不收

17、敛的级数，因此此方法还有待考证其正确性（5）圆柱形管的电容值解出来与实际值相差不多，故此模型应该近似成立（6）实际测量与HFSS仿真时的频率不同，得出电容值不同。6.研究中不成熟的地方以及今后的研究方向：6.1不成熟的地方（1）模型制作不做够精准，导致测量数据有误差，不能得出完全准确的结论（2）影响电容的因素有很多，比如介质等，理论计算的时候考虑不完善，有些条件设为理想情况，与实际情况存在偏差，没有得出与模型符合的很好的经验公式6.2今后的研究方向（1）充分利用HFSS仿真，得出高频下电容值（2）能在高频下测量电容值，分析与仿真值的误差，找到原因（3）进一步研究方形的电容以及三段的电容7致谢、

18、心得、体会电容器的研究，是我们所做的第一次研究未知结果的实验，自己去寻找结论的过程，虽然有时很迷茫、很艰辛，却也因为这样的挑战性使整个探索过程充满了趣味。一开始接触实验内容，会感觉计算电容是简单又枯燥的，深入研究下去，才发现看似简单的电容实际上却融合了物理学、电磁场学甚至编程的各方面知识，通过学习这些，我们各方面素质都得到了提升。实验的开始，我们尝试利用物理方法解决电容的计算问题，并验证了电容量与半径无关，与高度成正比的猜想。但电容值的计算结果与实际结果却存在很大偏差。经过思考，我们决定先做一些模型，寻找对结果影响比较大的因素，结果表明，缝宽对电容值得的影响是最明显的。为研究缝宽的影响，我们开

19、始涉及电磁场方面的理论，主要学习了电磁场与电磁波课本中第五章静态场边值型问题的解法。经过学习发现，缝作为开放的边界条件，仍不能准确的理论计算，但利用电磁场的方法，已使计算值更接近测量值。最后为了找到更切近实际的模型，我们学习电磁仿真软件HFSS，希望利用仿真得出接近测量值的数据。但得到的仿真结果都是在高频下的，而测量值是在1kHz下的，所以结果仍有偏差，还有待进一步研究。在实验中，由于自身知识有限，我们常常会遇到瓶颈，不知道接下去如何研究，但我们都没有放弃，而是集中在一起利用各种办法，做模型、找老师、查资料，最终找到突破口。总而言之，这次实验锻炼了我们分工合作的能力、查找资料利用资料的能力等，收获很