D7_2曲面方程 空间曲线 平面方程 空间直线

1、第七章空间解析几何一、 平面及其方程 二、 直线及其方程 三、 二次曲面及一般曲面 目录 上页 下页 返回 结束 Ozyx0Mn( (一一) ) 平面的点法式方程平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n一、平面及其方程一、平面及其方程 目录 上页 下页 返回 结束 ( (二二) ) 平面的一般方程平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法

2、式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x

3、+ D =0 表示 B y + D = 0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.,), 0(iCBn目录 上页 下页 返回 结束 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cba平面方程为 POzyxRQ(P250 例3)目录 上页 下页 返回 结束 ( (三三) ) 两平面的夹角两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平

4、面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 目录 上页 下页 返回 结束 2特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n),(:),(:2222211111CBAnCBAn目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例 设222101010)()()(CBA

5、zzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)目录 上页 下页 返回 结束 xyzO01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程( (一一) ) 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)二二 直线及其方程直线及其方程目录 上页 下页 返回 结束 zyx0 x0yO),(0000zyxM(二二) 点向式方程点向式方程故有说明说明:

6、某些分母为零时, 其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的点向式方程点向式方程(也称为对称式方程对称式方程)直线方程为已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0s目录 上页 下页 返回 结束 (三三) 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0过两个不同的点有且仅有一条直线。 设直线 L 过点P1(x1,y1,z1)，和 P2(x2,y2,z2)，则,111121212zzyyxxzzyyxxt于是设

7、P (x,y,z)为直线上任意一点，,/121PPPP即.,121212zzlyynxxm(P252 例7)说明说明:目录 上页 下页 返回 结束 2L1L( (四四) ) 线面间的位置关系线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线 L1, L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s(P251 例4)目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnn

8、mm212121ppnnmm21ss 21/ss),(),(22221111pnmspnms2L1L1s2s2L1L1s2s目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ns ,cossinnsns sn(P252 例5,6)目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/

9、nsLsn目录 上页 下页 返回 结束 3. 过过直线的平面束方程直线的平面束方程两不平行平面决定的直线01111DzCyBxA02222DzCyBxA对任意直线上的点(x,y,z)及数p,q，有)(1111DzCyBxAp)(2222DzCyBxAq0整理得0)()()()(21212121qDpDzqCpCyqBpBxqApA表示过直线 的所有平面，称为平面束方程。(P265 例8, 9)目录 上页 下页 返回 结束 例例的平面方程为轴且经过点垂直于)1, 3, 4(x解解:4x垂直于x轴的平面一般方程为0 BAx经过点),1,3,4(可得方程为4x(09-10, 一一(1)例例过点和)

10、1 , 2, 3 (1M解解: 由题21MM) 2 , 0 , 1(2M的直线方程为) 1 , 2 , 4(则直线方程为112243zyx(09-10, 二二.5)例例以) 1, 0 , 2(为球心，且通过坐标原点的球面方程为解解: 由题2222)01()00()02(R5所以球面方程为5) 1()2(222zyx(09-10, 二二(7)目录 上页 下页 返回 结束 三、空间曲面三、空间曲面定义定义1. 0),(zyxF如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的

11、的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形.(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 SzyxO(一一) 曲面方程曲面方程 例如，球心为2202020)()()(Rzzyyxx),(0000zyxM半径为 R 的球面方程为MOxyz0M目录 上页 下页 返回 结束 (二二) 二次曲面二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )说明说明：研究二次

12、曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 对于由方程F(x,y,z)=0所确定的曲面，坐标面的平面相截，用平行于考察交线的形状，了解曲面性质目录 上页 下页 返回 结束 zyxO1 1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax目录 上页 下页 返回 结束 1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(21222

13、1222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z目录 上页 下页 返回 结束 2. 抛物面抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222( p , q 同号)zyxOzyxO特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.:1zz 椭圆;:,11yyxx抛物线.:1zz 双曲线;:,11yyxx抛物线.目录 上页 下页 返回 结束 3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy ),(1222

14、222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: zxyO目录 上页 下页 返回 结束 虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy 相交直线: 双曲线: 0zxyOzxyO目录 上页 下页 返回 结束 (2) 双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面Ozxy目录 上页 下页 返回 结

15、束 定义定义2. . 一条平面曲线( (三三) ) 旋转曲面旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴. .例如例如 :母线母线轴轴目录 上页 下页 返回 结束 建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为, ),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点给定 yOz 面上曲线 C: ), 0(111zyM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfOzyxC),(zyxM目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如

16、何？0),(:zyfCOyxz0),(22zxyf规律：规律： 当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的正负平方根来代替方程中的另一坐标。目录 上页 下页 返回 结束 xyzO例例 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yOz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令两边平方L), 0(zyM(P255 例3)目录 上页 下页 返回 结束 ( (四四) ) 柱面柱面定义定义3.平行定直线并

17、沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.222Ryx表示圆柱面圆柱面xyzClM1MO平行 z 轴的直线 l ,沿定xOy 面上曲线222Ryx移动222Ryx准线准线母线母线平行于 z 轴Cl目录 上页 下页 返回 结束 OxyzxyzOxyz 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xOy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于O目录 上页 下页 返回 结束 ( (五五) )空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线可视

18、为两曲面的交线, 其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1OC2目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 参数方程参数方程称它为空间曲线的参数方程.目录 上页 下页 返回 结束 ( (六六) ) 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去 z 得投影柱面则C在xOy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzy