数学：1.2排列与组合课件二(新人教A版选修2-3)

1、组合组合2.2.1排列与组合排列与组合2.1?1?,23有有什什么么联联系系与与区区别别一一节节开开头头提提出出的的问问题题这这一一问问题题与与上上有有多多少少种种不不同同的的选选法法一一项项活活动动名名去去参参加加名名同同学学中中选选出出从从甲甲、乙乙、丙丙探探究究:23如下名的可能选法可以列举名同学中选出从.;乙、丙甲、丙甲、乙.,23, 1 ,1,23:1问题这是上一节研究的排列列的顺序排下午在后上午在前还要将他们按照而且名名同学中选出不仅要从这个问题时因此解决两种不同的选法是甲下午乙上午与乙下午甲上午由于名参加下午活动动名参加上午的活其中名去参加一活动选出名同学中从甲、乙、丙上一节开头

2、的问题:,.,23我们可以把它概括为去具体背景舍序而不需要排列他们的顺名去参加活动名同学中选出从本节要研究的问题只是.?,23的问题是我们接着要研究这有多少个不同的组一共个合成一组个不同的元素中取出从.ncombinatiomn,nmmn,个元素的一个组合个元素的一个组合个不同元素中取出个不同元素中取出叫做从叫做从元素合成一组元素合成一组个个个不同元素中取出个不同元素中取出从从一般地一般地?区别吗区别吗间的联系与间的联系与你能说说排列与组合之你能说说排列与组合之思考思考.,baab.,;.,;,nmmn,但它们却是同一个组合但它们却是同一个组合不同的排列不同的排列是两个是两个与与例如例如都是相

3、同的组合都是相同的组合素的顺序如何素的顺序如何元元不论不论同同只要两个组合的元素相只要两个组合的元素相排列才是相同的排列才是相同的相同的两个相同的两个只有元素相同且顺序也只有元素相同且顺序也元素的顺序无关元素的顺序无关组合与组合与排列与元素的顺序有关排列与元素的顺序有关它们的不同点是它们的不同点是点点这是排列、组合的共同这是排列、组合的共同个元素个元素元素中取出元素中取出个不同个不同两者都是从两者都是从以知道以知道从排列与组合的定义可从排列与组合的定义可 .mn,binationcomC表示表示数还可用符号数还可用符号组合组合第一个字母第一个字母的的组合组合是英文是英文 .C,mn,nmmn:

4、,mn表示表示用符号用符号个元素的个元素的个不同元素中取出个不同元素中取出从从叫做叫做个数个数元素的所有不同组合的元素的所有不同组合的个个个不同元素中取出个不同元素中取出从从我们引进如下概念我们引进如下概念类比排列问题类比排列问题组合数组合数.C67,C58,6758个个元元素素的的组组合合数数表表示示为为个个元元素素中中取取出出从从个个元元素素的的组组合合数数表表示示为为个个不不同同元元素素中中取取出出从从例例如如.?C,mn题题我我们们先先来来看看几几个个具具体体问问的的值值等等于于多多少少呢呢那那么么.3C,3,23,23即即的的选选法法种种不不同同共共有有名名参参加加一一项项活活动动名

5、名同同学学中中选选出出从从上上面面?,3d, c, b, a,有有多多少少不不同同的的子子集集共共个个元元素素组组成成三三元元子子集集中中取取出出从从集集合合那那么么ddccbbadcb72.1图图:, 因因此此问问题题的的本本质质是是无无序序性性由由于于集集合合中中元元素素的的?C34d, c, b, a34是是多多少少素素的的集集合合个个不不同同元元个个元元素素中中取取出出这这从从.4C.bcd,acd,abd,abc:).72.1(,34即即合合由由此此可可以以写写出出所所有有的的组组图图图图我我们们可可以以利利用用树树形形为为了了回回答答这这个个问问题题?CA,.,mnmn呢呢来求出组

6、合数来求出组合数通过排列数通过排列数否利用这种关系否利用这种关系我们能我们能组合与排列有相互联系组合与排列有相互联系前面已经提到前面已经提到探究探究:, .34d, c, b, a系系组合之间的如下对应关组合之间的如下对应关并建立起排列与并建立起排列与将排列分类将排列分类为标准为标准元素相同元素相同我们以我们以发发得到启得到启不同的两个排列不同不同的两个排列不同元素相同顺序元素相同顺序以及以及合相同合相同个组个组元素相同顺序不同的两元素相同顺序不同的两从从素的排列与组合的关系素的排列与组合的关系个元个元个元素中取个元素中取这这下从下从下面我们还是先分析一下面我们还是先分析一组合组合排列排列ab

7、ccbabcaacbcabbacabcdbabdaadbdabbadabdabddcacdaadcdaccadacdacddcbcdbbdcdbccbdbcdbcd组合组合排列排列abccbabcaacbcabbacabcdcbcdbbdcdbccbdbcddcacdaadcdaccadacddbabdaadbdabbadabdabdacdbcd.ACA,.AA1232346244C:.4624,333434333434我们有我们有于是于是的的好处好处历的方式表述是非常有历的方式表述是非常有其来其来果用一种能够使人看出果用一种能够使人看出把上述结把上述结组组个不同排列的个不同排列的个排列分成每

8、组有个排列分成每组有以把这以把这可可为标准为标准元素相同元素相同以以因此因此,.34,?计计数数原原理理使使我我们们联联想想到到分分步步乘乘法法个个数数相相乘乘右右边边的的两两个个元元素素的的排排列列数数个个不不同同元元素素中中取取出出从从左左边边就就是是显显然然义义呢呢上上述述等等式式有有什什么么实实际际意意:于于是是可可以以将将它它解解释释成成为为);(C34,1.A343434不不考考虑虑顺顺序序个个元元素素的的组组合合数数中中取取出出个个不不同同元元素素求求从从步步第第可可以以分分两两步步完完成成个个的的排排列列数数个个不不同同元元素素中中取取出出求求从从.A,3,233个个排排列列数

9、数各各有有全全排排列列个个不不同同元元素素作作将将每每一一个个组组合合中中的的步步第第.,.方方法法是是很很重重要要的的思思想想从从另另一一个个角角度度解解释释问问题题的的方方法法决决问问题题到到了了解解而而且且使使我我们们找找理理解解们们对对问问题题的的这这种种解解释释不不仅仅加加深深了了我我价价解解释释个个等等是是对对同同一一个个问问题题作作出出两两的的两两边边等等式式:2,mn.个步骤得到的可看作由以下个元素的排列数个不同元素中取出求从般情形上述解释可以推广到一;C,mn,1mn种不同的取法有共个元素个不同元素中取出从这步第.A,m,2mm种不同的排法共有个元素做全排列将取出的步第.AC

10、A,mmmnmn有根据分步乘法计数原理因此因此.!m1mn2n1nnAACmmmnmn 这个公式叫做这个公式叫做并且并且这里这里. nm,Nm, n.数公式数公式组合组合还可以写成还可以写成上面的组合数公式上面的组合数公式所以所以因为因为,!mn!nAmn.!mn!m!nCmn.C1710用计算器计算用计算器计算例例.1207nCr10由计算器可得解 ?,112?171:,11,172式式做做这这件件事事情情那那么么教教练练员员有有多多少少种种方方门门员员还还要要确确定定其其中中的的守守名名上上场场队队员员时时如如果果在在选选出出上上场场方方案案种种学学员员名名学学员员中中可可以以形形成成多多

11、少少这这位位教教练练从从这这问问人人员员是是时时一一个个足足球球队队的的上上场场队队比比赛赛按按照照足足球球比比赛赛规规则则赛赛以以前前没没有有一一人人参参加加过过比比他他们们中中名名初初级级学学员员一一位位教教练练的的足足球球队队共共有有例例 ;1117,17,1个个元元素素的的组组合合问问题题选选出出个个不不同同元元素素中中因因此此这这是是一一个个从从地地位位完完全全一一样样名名学学员员没没有有角角色色差差异异根根据据题题意意对对于于分分析析 守守门门员员的的位位置置对对于于,2.,合合问问题题这这是是一一个个分分步步完完成成的的组组因因此此有有差差异异其其余余上上场场学学员员的的地地位位

12、没没是是特特殊殊的的 .37612C,11117种的学员上场方案有所以可以形成差异由于上场学员没有角色解 :2这件事情教练员可以分两步完成;C,1117,11117种选法共有名组成上场小组名学员中选出从步第.C,111,2111选法种共有名守门员人中选出从选出的步第种的方法数有所以教练员做这件事情136136CC1111117 ?,2法吗法吗你还能想到别的解决方你还能想到别的解决方对于本题的对于本题的探究探究 ?2,102?2,1013的的有有向向线线段段共共有有多多少少条条个个点点为为端端点点以以其其中中每每个个点点平平面面内内有有端端点点的的线线段段共共有有多多少少条条个个点点为为以以其其

13、中中每每个个点点平平面面内内有有例例 .452910C,210,2101210条即线段共有素的组合数个元个不同的元素中取出就是从线的条数个点为端点的线个点中每以平面内解 .90910A,210,10,2210条线段共有即有向的排列数个元素同元素中取出个不就是从数为端点的有向线段的条个点中每两个点以平面内一个是终点另一个是起点由于有向线段两端点中 .,2;,1,3是排列问题是排列问题个端点的顺序个端点的顺序小题要考虑线段两小题要考虑线段两第第是组合问题是组合问题顺序顺序点的点的小题不考虑线段两个端小题不考虑线段两个端第第中中在例在例 ?133?132?1.3100.2,98,1004种种件件是是

14、次次品品的的抽抽法法有有多多少少件件中中至至少少有有抽抽出出的的种种件件是是次次品品的的抽抽法法有有多多少少件件中中恰恰好好有有抽抽出出的的有有多多少少种种不不同同的的抽抽法法件件件件产产品品中中任任意意抽抽出出从从这这件件次次品品件件合合格格品品有有件件产产品品中中在在例例 种所以共有件的组合数出件产品中取就是从所求的不同抽法的种数解7001611239899100C,3100,13100 .9506CC13,C298,C1222981229812种件次品的抽法有恰好有件中因此抽出的种件合格品的抽法有品中抽出件合格从件次品的抽法有件次品中抽出从 .6049CCCC13,CC12.21,131

15、0013198222981229812种件是次品的抽法有件中至少有抽出的原理因此根据分类加法计数种法有件次品的抽小题中已求得其中在第情况件次品两种件次品和有包括有件是次品件中至少有件产品抽出从解法.6049096152700161CC,33100,1323983100种即数的种件中都是合格品的抽法抽法种数减去件的件中抽出也就是从的抽法的种数件是次品件产品中至少有抽出的解法探究与发现探究与发现组合数的两个性质组合数的两个性质 3107101518318812412CC;CC;CC?,与与与与与与你你能能解解释释你你的的发发现现吗吗么么你你发发现现了了什什组组合合数数的的值值用用计计算算器器计计算

16、算下下列列各各组组探探究究 1037 ,18153,1284,如如和和等等于于下下标标标标之之而而且且两两个个组组合合数数的的上上等等各各组组的的两两个个组组合合数数都都相相不不难难发发现现?如如何何解解释释上上述述结结果果呢呢.CC,CC,48, 812C, 412C,812412412812812412即即有有动动的的人人员员选选法法种种数数就就等等于于参参加加活活选选法法种种数数所所以以不不参参加加活活动动的的人人员员动动的的人人就就是是参参加加活活人人后后其其余余由由于于留留下下加加活活动动的的选选法法种种数数人人不不参参名名学学生生中中留留下下让让可可以以解解释释为为那那么么法法种种

17、数数人人参参加加某某项项活活动动的的选选名名学学生生中中选选出出从从解解释释为为果果把把如如启启发发我我们们题题的的两两个个等等价价解解释释等等式式的的两两边边是是对对同同一一问问我我们们有有于于是是个个元元素素的的组组合合数数同同元元素素中中取取出出个个不不等等于于从从这这个个元元素素的的组组合合数数中中取取出出个个不不同同元元素素从从这这样样元元素素的的组组合合一一一一对对应应个个与与剩剩下下的的个个元元素素的的组组合合中中取取出出个个不不同同元元素素因因此此从从个个元元素素必必然然剩剩下下个个元元素素后后个个不不同同元元素素中中取取出出从从一一般般地地.mnn,mn,.mn,mn,mn,mn,1性性质质,CCmnnmn们们规规定定我我时时也也能能成成立立为为了了使使