[其它考试]材料力学课件

1、中国考研专业课资料第一品牌！中国考研专业课资料第一品牌！考研资料网 www.k材 料 力 学辅导课件辅导课件第一部分第一部分绪论绪论材料力学的任务材料力学的任务 一、研究构件的强度、刚度和稳定一、研究构件的强度、刚度和稳定 1强度要求强度要求 所谓强度，是指构件或材料抵抗破坏的能力。为了保所谓强度，是指构件或材料抵抗破坏的能力。为了保证构件的正常工作，首先要求构件应具有足够的强度，在证构件的正常工作，首先要求构件应具有足够的强度，在荷载作用下不发生破坏。荷载作用下不发生破坏。 2刚度要求刚度要求 所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。工程中对构件所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。工程中对构件的变形

2、根据不同的工作情况给予一定的限制，使构件在荷的变形根据不同的工作情况给予一定的限制，使构件在荷载作用下产生的弹性变形控制在一定的范围内，这就是要载作用下产生的弹性变形控制在一定的范围内，这就是要求构件具有足够的刚度。求构件具有足够的刚度。 3稳定要求稳定要求 所谓稳定要求，就是指承受荷载作用时构件在其原有形状所谓稳定要求，就是指承受荷载作用时构件在其原有形状下的平衡应保持为稳定平衡。对于受压杆件要求它在压力作下的平衡应保持为稳定平衡。对于受压杆件要求它在压力作用下不丧失稳定，而具有足够的稳定性。用下不丧失稳定，而具有足够的稳定性。二、研究材料的力学性质二、研究材料的力学性质 材料力学还要通过试

3、验来研究材料在荷载作用下表现材料力学还要通过试验来研究材料在荷载作用下表现的力学性质，并在此基础上为构件选择合适的材料。的力学性质，并在此基础上为构件选择合适的材料。 三、合理解决安全与经济的矛盾三、合理解决安全与经济的矛盾 在满足强度、刚度及稳定性的条件下，以最经济的代价，在满足强度、刚度及稳定性的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，以及为构件选择所适宜的材为构件确定合理的形状和尺寸，以及为构件选择所适宜的材料。并为设计提供必要的理论依据。料。并为设计提供必要的理论依据。 第二部分第二部分拉伸与压缩拉伸与压缩一、轴向拉伸（压缩）时的内力与应力一、轴向拉伸（压缩）时的内力与应力

4、 1横截面上的内力、轴力图及应力横截面上的内力、轴力图及应力 a内力及轴力图内力及轴力图 内力的符号规定为：拉伸为正，压缩为负。内力的符号规定为：拉伸为正，压缩为负。 例例1 求图示杆各段的内力并绘轴力图。求图示杆各段的内力并绘轴力图。例例1图图 解解 （1）采用截面）采用截面法，分别绘出求解各段法，分别绘出求解各段内力的脱离体图，并在内力的脱离体图，并在切开的面上以内力切开的面上以内力n表表示。示。 一般内力（轴力）一般内力（轴力）以拉力表示。由平衡条以拉力表示。由平衡条件件 分别解出各段分别解出各段内力为：内力为：ni=4kn（拉）（拉）nii=1kn（拉）（拉）niii=-2kn（压）（

5、压）0 x 脱离体图脱离体图（2）绘制轴力图）绘制轴力图轴力图轴力图 例例2 一悬挂杆件长一悬挂杆件长 l ，横截面面积为，横截面面积为 a ，容量为，容量为 。试求杆件在自重作用下内力沿杆轴的变化并绘出轴力图。试求杆件在自重作用下内力沿杆轴的变化并绘出轴力图。 例例2图图 当当x=l时，为轴力最大处，其值为时，为轴力最大处，其值为maxnal 设立坐标如图，在任意位置设立坐标如图，在任意位置 x 处截取一段脱离体作为研处截取一段脱离体作为研究对象。根据平衡条件究对象。根据平衡条件 ，可得：，可得： n xqxax 0 x 解解 （1）内力沿杆轴的分布）内力沿杆轴的分布首先将杆的自重简化成沿杆

6、轴均匀分布的荷载。首先将杆的自重简化成沿杆轴均匀分布的荷载。 va lqall 脱离体图脱离体图（2）绘制轴力图）绘制轴力图 轴力图轴力图 b横截面上的应力横截面上的应力 平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面。平面。 由实验观察后得出的平面假设，可推断横截面上的正应由实验观察后得出的平面假设，可推断横截面上的正应力均匀分布的。其表达式为：力均匀分布的。其表达式为： na (2-1) n 为正时，为正时， 为拉应力；为拉应力；n 为负时，为负时， 为压应力。为压应力。 图图 2-1所示杆件，各所示杆件，各段的应力可表达为：段的应力可

7、表达为： ,iiinii ii iiia 图图2-1式式(2-1) 的应用：的应用： 图图 2-2 所示杆件为所示杆件为变截面杆，任意横截面变截面杆，任意横截面上的内力上的内力 n=p ，其应，其应力则根据横截面面积的力则根据横截面面积的不同而发生变化。不同而发生变化。 nxa x 图图2-2 图图 2-3 所示为例所示为例2 之悬挂杆，其轴力上面已求出，为：之悬挂杆，其轴力上面已求出，为： n xa x 任意横截面上的应力为：任意横截面上的应力为： n xxxa图图2-3 2斜截面上的应力斜截面上的应力图图2-4a 任意斜面上的应力（任意斜面上的应力（m-m面）可表达为：面）可表达为：2co

8、s1sin22 (2-2) 当当 时，即为横截面，此时正应力达最大时，即为横截面，此时正应力达最大0 maxna 其中：其中： （横截面上的正应力）（横截面上的正应力） m-m面上的正应力面上的正应力 m-m面上的剪应力面上的剪应力na 当当 时，剪应力达最大值和最小值时，剪应力达最大值和最小值45 max45min22 见图见图2-4b 图图2-4 b二、轴向拉伸（压缩）时的强度条件二、轴向拉伸（压缩）时的强度条件 maxna (2-3) 为许用应力，它是由材料的极限应力除以安全系数而为许用应力，它是由材料的极限应力除以安全系数而得出的，即得出的，即 k 对于塑性材料：对于塑性材料： ssk

9、 对于脆性材料：对于脆性材料： bbk 根据强度条件式根据强度条件式(2-3) ，我们可以对构件进行三种不同情，我们可以对构件进行三种不同情况下的强度计算：况下的强度计算： 1强度校核强度校核 在已知荷载，构件的截面尺寸和材料的情况下，可对构在已知荷载，构件的截面尺寸和材料的情况下，可对构件的强度进行校核，即件的强度进行校核，即 na 2截面设计截面设计 在已知荷载和选定了制造构件所用材料的情况下，可确在已知荷载和选定了制造构件所用材料的情况下，可确定构件所需的横截面积，即定构件所需的横截面积，即 na 3计算容许荷载计算容许荷载 在已知构件的横截面面积及材料的容许应力的情况下，可在已知构件的

10、横截面面积及材料的容许应力的情况下，可确定构件能够承受的轴力，即确定构件能够承受的轴力，即 na 再由轴力再由轴力n与外力与外力p之关系，确定容许荷载之关系，确定容许荷载p。 （1）若）若 p=10kn ，校核两杆的强度；，校核两杆的强度； （2）结该构架的容许荷载）结该构架的容许荷载 p； （3）根据容许荷载，试重新选择杆）根据容许荷载，试重新选择杆的直径。的直径。 例例3 钢木构架如图，杆钢木构架如图，杆为钢制圆杆，为钢制圆杆，a1=600mm2， ；杆；杆为木杆，为木杆，a2=10000mm2， 。 1160mpa 27mpa 例例3图图 解解 （1）校核两杆强度，先绘节点）校核两杆强度

11、，先绘节点 b 受力图，由静力平受力图，由静力平衡条件得：衡条件得：节点受力图节点受力图两杆强度均满足。两杆强度均满足。 0,sin300,2iiynpnp （拉）（拉） 0,cos300,3iiiiixnnnp （压）（压） 111222233.316031.737iiiiiinpmpampaaanpmpampaaa （2）确定该构架的容许荷载）确定该构架的容许荷载 p 。 由杆由杆： 11196nakn 代入式代入式得：得： 11482pnkn 22270nakn 由杆由杆 ：代入式代入式得：得： 2140.43pnkn为了使两杆均安全，最终确定容许荷载为了使两杆均安全，最终确定容许荷载p

12、=40.4kn。 （3）由容许荷载）由容许荷载 p=40.4kn ，设计杆，设计杆的直径。的直径。 当构架在当构架在 p=40.4kn 作用下，杆作用下，杆横截面上的应力恰到好横截面上的应力恰到好处，正好是达到处，正好是达到 值，对杆值，对杆来说，强度仍有余，即杆来说，强度仍有余，即杆的截面还可减小。根据强度条件：的截面还可减小。根据强度条件： 2 1421125.05 10425.4iiiinapnaimadmm 三、轴向拉伸（压缩）时的变形计算及刚度条件三、轴向拉伸（压缩）时的变形计算及刚度条件 1轴向变形，虎克定律，泊松比轴向变形，虎克定律，泊松比nllea (2-4)e 以应力一应变表

13、示的虎克定律以应力一应变表示的虎克定律 (2-5) 式中式中 e弹性模量弹性模量 v泊松比泊松比 (2-6) 1113nni ii iiin lln lneaea 2式式 (2-4)的应用的应用 a. 等直杆受图等直杆受图 2-5 所示荷载作用，计算总变形。（各段所示荷载作用，计算总变形。（各段 ea均相同）均相同）图图2-5 b. 阶梯杆，各段阶梯杆，各段 ea 不同，计算总变形。不同，计算总变形。 13ni iiiin llne a 图图2-6总变形：总变形： 0lln x dxldxea n xax 内力：内力： dx段的变形：段的变形： n x dxdxea图图2-7 c. 受轴向均匀

14、分布荷载作用的杆。（图受轴向均匀分布荷载作用的杆。（图2-7所示悬挂杆在所示悬挂杆在自重作用下，容重为自重作用下，容重为 ） 内力：内力： n=p dx段的变形：段的变形： ndxdxea x总变形：总变形： 0lndxlea x d. 图图2-8所示所示变截面杆的变形计算变截面杆的变形计算 图图2-8 e. 静定汇交杆的位移计算，以例题说明。静定汇交杆的位移计算，以例题说明。 例例4 图示结构由两杆组成，两杆长度均为图示结构由两杆组成，两杆长度均为 l，b 点受垂直点受垂直荷载荷载 p 作用。作用。 （1） 杆杆为刚性杆，杆为刚性杆，杆刚度为刚度为 ea ，求节点，求节点 b 的位的位移；移

15、； （2） 杆杆、杆、杆刚度均为刚度均为 ea，求节点，求节点 b 的位移。的位移。例例4图图节点节点b受力图受力图 解解 （1）a. 绘节点绘节点 b 受力图，并求出两杆内力。受力图，并求出两杆内力。由平衡条件可解得：由平衡条件可解得： 122npnp b. 绘节点绘节点 b 的位移图，求解节点的位移图，求解节点 b 的位移。的位移。12202ln lplleaea （刚性杆）（刚性杆） 由节点位移图由节点位移图1可得节点可得节点 b 的位移：的位移： 222bpllea 节点节点b位移图位移图1 解解 （2）节点受力图同上，节点位移图）节点受力图同上，节点位移图 2 见图。见图。 1122

16、2n lplleaean lplleaea 节点节点b位移图位移图2由节点位移图由节点位移图 2 可得节点可得节点 b 的水平及垂直位移分别为：的水平及垂直位移分别为： 12145cos4523bxbybybyplleall tgplplpleaeaea 节点节点 b 的总位移的总位移 2222310bbxbyplplplbbeaeaea 节点节点b位移图位移图22轴向拉（压）杆的刚度条件轴向拉（压）杆的刚度条件 和和 视结构的适用条件而定。视结构的适用条件而定。 l ll 或或 (2-7) (2-8)四、轴向拉伸（压缩）强度计算和刚度计算四、轴向拉伸（压缩）强度计算和刚度计算小结小结（见框图

17、）（见框图） 五、拉压超静定问题五、拉压超静定问题*注：杆件内力与杆件变形必须相一致。注：杆件内力与杆件变形必须相一致。 1简单超静定问题的求解方法简单超静定问题的求解方法（见框图）（见框图） 例例5 图示结构由刚性杆图示结构由刚性杆 ac，bc 和三根弹性杆和三根弹性杆、铰接而成。杆铰接而成。杆、材料和截面尺寸相同。已知，材料和截面尺寸相同。已知， 试确定容许荷载及三杆的内力。试确定容许荷载及三杆的内力。 2100,100mpa amm 例例5图图 解解 （1）画节点）画节点 c、d 的受力图，并列出平衡方程。的受力图，并列出平衡方程。 节点节点c、d受力图受力图 230,cos3001xn

18、n 由节点由节点 c 受力图：受力图： 130,cos3002xnnp 由节点由节点 d 受力图：受力图：（2）画节点位移图并建立变形几何关系方程。）画节点位移图并建立变形几何关系方程。213cos30cos30cdlll节点位移图节点位移图将物理关系代入得：将物理关系代入得： 123cos30cos30cos30cos30llnnn leaeaea化简后得：化简后得： 2312cos 3003nnn 23132312cos3001cos3002cos 3003nnnnpnnn （3）确定容许荷载）确定容许荷载p及各杆内力及各杆内力 由于三杆材料截面相同，各杆容许轴力相等。由于三杆材料截面相同

19、，各杆容许轴力相等。 12310nnnakn 1230.7190.4360.378npnpnp （拉） - a（拉） - a（压） - b （压） - b （拉） - c（拉） - c 联立联立(1)、(2)、(3)式可求得：式可求得： 代入上面代入上面 (a)、(b)、(c) 三式可分别得三式可分别得 11223313.90.71922.913.90.43626.50.378npknnpknpknnpkn 将将p代入代入(a)、(b)、(c)式可得各杆内力为式可得各杆内力为 123106.065.25nknnknnkn （拉）（拉）（压）（压）（拉）（拉） 在加工构件时，由于尺寸上的一些微小

20、误差，对超静在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。 2装配应力装配应力 例例6 两杆两杆 ea 相同，水平杆为刚性杆。杆相同，水平杆为刚性杆。杆比设计长度比设计长度 l 短了短了 ，求安装后两杆的内力和应力。，求安装后两杆的内力和应力。例例6 图图 解法一解法一：（一）绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，：（一）绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，杆杆在在 c c 点安装后，点安装后，杆杆受拉，杆受拉，杆受压，受力图如图示。受压，受力图如图示。受力图一受力图一 12120,20,2amn

21、ananna 根据平衡条件得：根据平衡条件得：（二）绘变形几何关系图如图示（二）绘变形几何关系图如图示122 ll 即：即： 122n ln lbeaea 根据图可得变形几何关系方程为根据图可得变形几何关系方程为变形几何关系图一变形几何关系图一（三）求解内力和应力（三）求解内力和应力12225555iiieaenlleaenll联立联立(a)、(b)可得：可得： 1212120,20,22amnanannan ln lbeaea 12120,20,2amnananna =0=0 解法二：解法二：（一）如不清楚两杆受拉还是受压，可先假定（一）如不清楚两杆受拉还是受压，可先假定两杆均受拉。绘出受力

22、图二，并列平衡方程两杆均受拉。绘出受力图二，并列平衡方程 受力图二受力图二根据变形几何关系图二可列出变形几何方程为根据变形几何关系图二可列出变形几何方程为 122 ll 即：即： 122n ln lbeaea （二）绘变形几何关系图二（二）绘变形几何关系图二 变形几何关系变形几何关系 图二图二n1的负号表示与假设拉力不符，杆的负号表示与假设拉力不符，杆应是受压力。应是受压力。 12225555iiieaenlleaenll 联立联立(a)、(b)可解得：可解得：（三）求解内力和应力（三）求解内力和应力 121222nnan ln lbeaea =0=03温度应力温度应力 在超静定结构中，由于各

23、个杆件的变形受到相互的在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。 式中：式中： 为材料的线膨胀系数。为材料的线膨胀系数。 对于无约束的杆件，当温度变化为对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆时，杆件的变形为：件的变形为： 21ttt 212tlttl (2-9)例例7 图图 例例7 图示结构，杆图示结构，杆、杆、杆 均相同，当杆均相同，当杆温温度升高度升高 度时，两杆的内力和应力为多少？度时，两杆的内力和应力为多少

24、？ ea t 解（一）解（一）绘受力图如图示（设二杆均受压）绘受力图如图示（设二杆均受压） 12120,2 ,21amnana nn 列平衡方程列平衡方程受力图受力图（二）绘变形几何关系图如图示（二）绘变形几何关系图如图示22nl 即即 122tnnlll 化简后得化简后得 12222n an ataeaea 由图可列出变形几何关系方程由图可列出变形几何关系方程 动画动画（三）求解内力和应力（三）求解内力和应力1244552255iiineatetsneatet联立（联立（1）、（）、（2）可解得：）可解得： 121221222nnn an ataeaea 第三部分第三部分剪切剪切 设两块钢板

25、有设两块钢板有 n 个铆钉联接，钢板两端受拉力个铆钉联接，钢板两端受拉力 p 作用作用（见图（见图3-1）。）。一、剪切强度计算及挤压强度计算一、剪切强度计算及挤压强度计算1单剪单剪 pp钢板联接图钢板联接图t2ppt1图图3-1（1）绘铆钉受力图：）绘铆钉受力图：t2t1p/np/n| d |pc= p/npqn | d |铆钉受力图铆钉受力图图图3-2式中：式中：aq剪切面积剪切面积 24qad 材料的容许剪应力材料的容许剪应力 （2）剪切强度条件为：）剪切强度条件为： 31qqqpana式式(3-1)还可计算接头所需的铆钉个数：还可计算接头所需的铆钉个数： 32qpna 式中：式中：ac

26、 挤压面积挤压面积材料的容许挤压应力材料的容许挤压应力 c ac = dt（钢板厚度不同时取小值）（钢板厚度不同时取小值）（3）挤压强度计算）挤压强度计算 33cccccppana计算铆钉个数时：计算铆钉个数时： 34ccpna 2双剪双剪 设图示接头有设图示接头有 n 个铆钉连接。个铆钉连接。 pp接头连接图接头连接图图图3-3p/2p/2pt1t1t2t1t1t2p/2n =pc1pc2= p/np/2n| d |t2p/n2pqn 2pqn | d |（1）绘铆钉受力图：）绘铆钉受力图：铆钉受力图铆钉受力图图图3-4式中：式中： ac1=t1d ; ac2=t2d 。 （2）剪切强度条件

27、为：）剪切强度条件为： 312qqqpana 如需求铆钉的个数，则如需求铆钉的个数，则 322qpna 挤压强度条件：挤压强度条件： 11112222233ccccccccccppanappana 二、连接件强度计算实例二、连接件强度计算实例 在连接件强度计算中，除了要满足连接件的剪切强度和在连接件强度计算中，除了要满足连接件的剪切强度和挤压强度外，还必需满足连接件的抗拉强度。挤压强度外，还必需满足连接件的抗拉强度。 t1=7p = 200kn1002pkn 1002pkn t2=12t1=7主板主板盖板盖板铆接接头图铆接接头图20p = 200knp = 200kni iii iib1=16

28、0b2=200例例1图图 例例1：图示一铆接接头，已知材料的容许应力分别图示一铆接接头，已知材料的容许应力分别为为 ，试校核该，试校核该接头的强度。接头的强度。 160,120,300cmpampampa1202cppknn240cppknn1202cppknn202pqknn202pqknnpc2=40kn铆钉受力图铆钉受力图解：解：（一）绘铆钉受力图。（一）绘铆钉受力图。 （二）铆钉的剪切强度校核（二）铆钉的剪切强度校核 22063.74qqknmpaad （三）挤压强度校核（三）挤压强度校核 22222111112ccccccccpppanant dpppanant d 比较：比较： 2

29、1cc 3226200 101675 1220 10ccmpa （四）绘主板和盖板的轴力图并进行强度校核。（四）绘主板和盖板的轴力图并进行强度校核。 ii-ii截面截面 362233200 105571.4320032012 10iiiipmpabd t 3622200 10104220022012 10iipmpabd t i-i截面截面（1）主板：）主板：p35piiiiii主板轴力图主板轴力图 （五）综合各项强度计算的结果可知，该接头的强度是（五）综合各项强度计算的结果可知，该接头的强度是足够的。足够的。 ii-ii截面内力比截面内力比i-i截面大，而截面积比截面大，而截面积比i-i截面

30、小，故只截面小，故只需校核需校核ii-ii截面。截面。 3611100 10214331603207 10iiiipmpabd t ii-ii截面截面（2）盖板：）盖板：盖板轴力图盖板轴力图p/5p/2iiii第四部分第四部分扭转扭转一、扭转时的内力及扭矩图一、扭转时的内力及扭矩图 扭转时横截面上的内力以扭转时横截面上的内力以 mn 表示，称为扭矩。杆件表示，称为扭矩。杆件上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。下面结合实例来加以说明。下面结合实例来加以说明。 例例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。传动轴受力如图示，试求各段内

31、力并绘扭矩图。 例例1图图解解（一）求解各段内力分别绘出求解各段内力的脱离体图。（一）求解各段内力分别绘出求解各段内力的脱离体图。 各段受力图各段受力图由平衡条件可解得各段内力为由平衡条件可解得各段内力为 ：负号说明与假设方向相反。负号说明与假设方向相反。 112123123450.862.011.4350.385nnnnmmkn mmmmkn mmmmmkn mmmkn m （二）根据求得的各段内力，绘扭矩图。（二）根据求得的各段内力，绘扭矩图。 扭矩图扭矩图二、关于剪应力的一些性质二、关于剪应力的一些性质1. 剪应力互等定理剪应力互等定理由由0zm 0dxdz dydydz dx 得：得：

32、图图4-12. 剪切虎克定律剪切虎克定律在弹性范围内应有：在弹性范围内应有：g 剪切弹性模量剪切弹性模量 g 图图4-23. . 的关系的关系 eg 、 、 、 2 1eg 542 100.258 10empagmpa 低碳钢：低碳钢： 三、圆轴扭转时的应力和强度条件三、圆轴扭转时的应力和强度条件1. . 应力应力横截面上的剪应力横截面上的剪应力 平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，两相邻截面只相对转过一角度，但两截面间距离保持平面，两相邻截面只相对转过一角度，但两截面间距离保持不变，由实验观察结果可得出横截面上只有剪应力。剪应

33、力不变，由实验观察结果可得出横截面上只有剪应力。剪应力公式推导由下例步骤可导出。公式推导由下例步骤可导出。 a. . 由圆截面杆扭转变形的几何关系可找出应变的变化规律由圆截面杆扭转变形的几何关系可找出应变的变化规律 41ddx b. . 由应变由应变应力间的物理关系可找出应力的分布规律应力间的物理关系可找出应力的分布规律 42ggc. . 根据扭转和应力间的静力平衡关系可导出应力的计算式根据扭转和应力间的静力平衡关系可导出应力的计算式 43npmi 最大剪应力发生在边缘：最大剪应力发生在边缘： maxmax44nnpnmmiw实实心心圆圆截截面面空空心心圆圆截截面面图图4-32. . 极惯性矩

34、和抗扭截面的模量极惯性矩和抗扭截面的模量 式式(4-4)中中 ip 称为极惯性矩，称为极惯性矩，wn 称为抗扭截面模量，它称为抗扭截面模量，它们均与横截面的形状、尺寸有关。们均与横截面的形状、尺寸有关。 a. 圆截面圆截面 42322003216162ddppndidadidwd 图图4-4b. 空心圆截面空心圆截面 式中：式中：dd 2322224444342132321162ddpddnidaddddipdwd 图图4-5c. 薄壁圆截面薄壁圆截面此时：此时： d0 平均直径平均直径 0ddd32002,2nipr t wr t式中：式中： 平均半径平均半径 002dr t 壁厚壁厚 3.

35、 . 剪应力强度条件剪应力强度条件 maxmax45nnmw四、圆轴扭转时的变形和刚度条件四、圆轴扭转时的变形和刚度条件 1. . 圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算 式式(4-6)、(4-7)中中 gip 称为抗扭刚度称为抗扭刚度 。单位长度的扭转角单位长度的扭转角 ： 46npmgi -相距为相距为 l 的两个截面间的扭转角：的两个截面间的扭转角： 47npm lgi 2. 式式(4-7)的应用的应用 图图4-6 所示等直圆杆，所示等直圆杆，ab 两截面的相对扭转角为：两截面的相对扭转角为： 图图 4-6 1113nnni iabni iiippm lm lngigi 图图4-7 所

36、示阶梯圆杆，如各段材料也不同，所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，ab 两截面两截面的相对扭转角为：的相对扭转角为： 图图4-7 13nni iabipim lngi 从中取从中取 dx 段，段，dx 段两相邻截面的扭转角为：段两相邻截面的扭转角为： npmx dxdgi 图图4-8 图图4-8 所示等直圆杆受分布扭矩所示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，作用，t 的单位为的单位为 。n m m ab 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为： nllpmx dxdgi从中取从中取 dx 段，该段相邻两截面的扭转角为：段，该段相邻两截面的扭转角为： npm dxdgix ab 截面相对扭转角为：截面相对扭转

37、角为： nllpm dxdgix 432ipdx 式中：式中：图图4-9所示为变截面圆杆，所示为变截面圆杆，a、b 两端直径分别为两端直径分别为 d1、d2 。 图图4-9 或或 maxmax18npmmgi 3. . 扭转时的刚度条件扭转时的刚度条件 maxmaxnpmradmgi 五、工程中的三类问题五、工程中的三类问题 maxmaxmaxmaxnnnpmwmgi 在已知荷载、构件的截面尺寸以及材料的情况下，对构在已知荷载、构件的截面尺寸以及材料的情况下，对构件进行强度、刚度校核。即件进行强度、刚度校核。即 1. 强度、刚度校核强度、刚度校核2. . 截面设计截面设计 在已知荷载和选定了构

38、件所用材料后，可确定构件所需在已知荷载和选定了构件所用材料后，可确定构件所需的横截面面积。即的横截面面积。即 maxmaxnnnpmwmig 由强度、刚度求得二个面积，取大的面积作为容许使用面积。由强度、刚度求得二个面积，取大的面积作为容许使用面积。 3. . 计算容许荷载计算容许荷载 在已知构件横截面面积及材料的容许条件下，可确定构在已知构件横截面面积及材料的容许条件下，可确定构件能够承受的荷载。即件能够承受的荷载。即 maxmaxnnnpmwmgi 由强度、刚度条件所求得的二个荷载，应取小的荷载作由强度、刚度条件所求得的二个荷载，应取小的荷载作为容许荷载。为容许荷载。 下列框图表示了求解过

39、程：下列框图表示了求解过程： 例例2图图例例2 实心圆轴受力如图示，已知材料的实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径试设计轴的直径 d 。 980,0.3,80 10mpam gpa 扭矩图扭矩图解解 （一）绘制扭矩图如图。（一）绘制扭矩图如图。 （二）由强度条件设计（二）由强度条件设计 d 。 maxmaxmax3max4.516nnnnnmkn mmwmdw 解得：解得： 66dmm （三）由刚度条件设计（三）由刚度条件设计 d 。 从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 d=102mm 。 解得：解得： 102dmm maxma

40、x4max18018032npnpmgimdig 六、矩形截面杆的自由扭转六、矩形截面杆的自由扭转 两式中两式中 是与截面尺寸有关的系数，根据是与截面尺寸有关的系数，根据 的比值可的比值可查教材中表查教材中表4-14-1。 、hb最大剪应力发生在长边中点处：最大剪应力发生在长边中点处： max249nmhb 单位长度的扭转角为：单位长度的扭转角为： 3410nmg hb 1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算矩形截面杆的剪应力及扭转角计算 剪应力分布图剪应力分布图图图4-10当当 时，为狭长矩形，此时系数时，为狭长矩形，此时系数 。 10ht 132. 狭长矩形截面杆的扭转狭长矩形截面杆的扭转

41、剪应力分布图剪应力分布图图图4-11 max234111341213nnmhtmght 第五部分第五部分平面图形的几何性质平面图形的几何性质 a. a.一般图形的静矩和形心一般图形的静矩和形心zcacyasa yydasa zzda 对对 z、y 轴的静矩分别可表示为：轴的静矩分别可表示为：（5-1）一、定义一、定义1静矩和形心静矩和形心图图5-1*对形心轴的静矩为零。对形心轴的静矩为零。 00cczyss 静矩量纲为静矩量纲为长度长度3。 平面图形的形心坐标为：平面图形的形心坐标为：zacyacsydayaaszdazaa （5-2）图图5-1b. .组合图形的静矩和形心组合图形的静矩和形心

42、11nziiiniyiisa ysa z 如有如有 n 个图形组合在一起，则静矩为：个图形组合在一起，则静矩为： （5-3）形心可表示为：形心可表示为： 1111niizicniiniiyicniia ysyaaa zszaa （5-4）式式5-4，式，式5-5中：中：a1、a2an各简单图形的面积各简单图形的面积 1212nnyyyz zz 、各简单图形的形心坐标、各简单图形的形心坐标、各简单图形的形心坐标、各简单图形的形心坐标2惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积 图图5-2a. .惯性矩惯性矩 图形对图形对z、y轴的惯性矩定义为：轴的惯性矩定义为： 22zayaiy daiz

43、 da （5-5）b. .极惯性矩极惯性矩 图形对坐标原点的极惯矩定义为：图形对坐标原点的极惯矩定义为： 2paida 又：又： pzyiii （5-6）（5-7）*圆截面对形心的极惯矩为：圆截面对形心的极惯矩为： 432pid 对形心坐标的惯性矩为：对形心坐标的惯性矩为： 41264zypdiii *空心圆截面对形心的极惯矩为：空心圆截面对形心的极惯矩为： 444413232pdidd 对形心坐标的惯性矩为：对形心坐标的惯性矩为： 4411264zypdiii c. 惯性积惯性积yzaiyzda 图形对图形对z、y两轴的惯性积定义为：两轴的惯性积定义为：（5-8）y为对称轴为对称轴图图5-3

44、*若平面图形具有一根对称轴，则该图形对于包括此对称若平面图形具有一根对称轴，则该图形对于包括此对称轴在内的一对坐标轴的惯性积恒等于零。即轴在内的一对坐标轴的惯性积恒等于零。即 120yzyzyziii惯性矩、极惯性矩、惯性积的量纲为惯性矩、极惯性矩、惯性积的量纲为长度长度4二、平行移轴公式二、平行移轴公式 上面计算式是已知对上面计算式是已知对z、y 轴（形轴（形心轴）的惯性矩和惯性积求对心轴）的惯性矩和惯性积求对 z1、y1 轴的惯性矩和惯性积。轴的惯性矩和惯性积。 （5-9）111 122zzyyz yzyiib aiia aiiaba 图图5-4如如z、y轴过图形的形心。轴过图形的形心。z

45、1平行平行z，y1平行平行y，则有：，则有： 同样也可反求，即同样也可反求，即 111 122zzyyzyz yiib aiia aiiaba （5-10）对于组合图形：对于组合图形： 111 121211iiiinzziiinyyiiinz yz yiiiiiib aiia aiia b a 图图5-5（5-11） 2203222303222233243132rzarzcsydayrydyryrrsryar 解解 （1）在距）在距 z 轴任意高度轴任意高度 y 处取处取狭长条作为微面积，即狭长条作为微面积，即 222dary dy 例例1 半径为半径为r的半圆：（的半圆：（1）求其对直径）求

46、其对直径z轴的静矩及形心轴的静矩及形心 ； （2）求对形心轴）求对形心轴zc的惯性矩。的惯性矩。 cy例例1图图（2）圆对）圆对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为： 4264zri 半圆对半圆对z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为： 4421121288zzriir 利用平行移轴公式，半圆对形心轴利用平行移轴公式，半圆对形心轴 的惯性矩为：的惯性矩为： cz 22242441418321889zczzciib aiyarrrrr 例例1图图例例2 试计算图示槽形截面的形心主惯性矩。试计算图示槽形截面的形心主惯性矩。 例例2图图 11110.589.5400 10.52 89.5 1810.522400 10

47、.52 89.5 1826.9niiyicniia zszaamm 解解 （1）形心坐标）形心坐标 的计算。的计算。czz为对称轴，形心必在为对称轴，形心必在z轴上轴上 例例2图图z 为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心为对称轴，故为形心主轴，另一条形心主轴必须过形心并与并与 z 轴垂直，即图中轴垂直，即图中 y 轴。轴。 （2）确定形心主轴）确定形心主轴 例例2图图（3）形心主惯矩计算）形心主惯矩计算 3324410.540089.5 182200989.5 1812121.736 10zim 例例2图图 232384400 10.510.526.9400 10.51221889

48、.589.5210026.989.5 18122675 10yim 例例2图图第六部分第六部分弯曲弯曲内力内力一、指定截面上的剪力和弯矩一、指定截面上的剪力和弯矩 1剪力的正负号规定：截面上的剪力使该截面的邻近微剪力的正负号规定：截面上的剪力使该截面的邻近微段作顺时针转动为正，反之为负。段作顺时针转动为正，反之为负。图图6-1 2弯矩的正负号规定：截面上的弯矩使该截面的邻近弯矩的正负号规定：截面上的弯矩使该截面的邻近微段向下微段向下凸时为正，反之为负。凸时为正，反之为负。 图图6-2解解（一）求支座反力（一）求支座反力 0,44360,70,40,3abbabamrmqprknyrrpqrkn

49、 例例1 求图示梁求图示梁 c、b 截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。 例例1图图0,1110,2132caccayqrqknmmrmqkn （二（二）c 截面的剪力和弯矩，取脱离体图如图截面的剪力和弯矩，取脱离体图如图 a 所示。所示。 图图 a（三）（三）b 截面的剪力和弯矩，分别取截面的剪力和弯矩，分别取 b左左 截面和截面和 b右右 截面截面脱离体图如图脱离体图如图 b、c 所示。所示。 图图 b33:33352babaqrqknbmrmqkn m 右右左左左左14:12152bbqpqknbmpqkn m 右右左左右右图图 c二、剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图二、剪力方程和

50、弯矩方程，剪力图和弯矩图 1. 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化，如梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化，如以横坐标表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪以横坐标表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可表示成力和弯矩可表示成 x 的函数。的函数。 剪力方程：剪力方程：q=q(x) 弯矩方程：弯矩方程：m=m(x)2. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 同拉伸（压缩）、扭转一样，我们也可用图来表示梁在同拉伸（压缩）、扭转一样，我们也可用图来表示梁在各横截面的剪力和弯矩，沿轴线的变化情况。这种图可分别各横截面的剪力和弯矩，沿

51、轴线的变化情况。这种图可分别称为剪力图和弯矩图。绘图时，将正号的剪力和弯矩画在称为剪力图和弯矩图。绘图时，将正号的剪力和弯矩画在 x 轴的上面，负号的剪力和弯矩画在轴的上面，负号的剪力和弯矩画在 x 轴的下面。轴的下面。 下面以实例来加以说明。下面以实例来加以说明。 解解（一）求支座反力（一）求支座反力 0,0,0,0,abbabapamparlrlpbyrrprl 例例2 绘图示梁的剪力图和弯矩图。绘图示梁的剪力图和弯矩图。 例例2图图（二）列出各段的剪力方程，弯矩方程（二）列出各段的剪力方程，弯矩方程 11111100aapbq xrxalpbm xrxxxalac 段：段： 222222

52、2aapaq xrpaxllpam xrxp xalxaxll cb 段：段： （三）绘剪力图和弯矩图（三）绘剪力图和弯矩图 由上面的剪力方程和弯矩方程可绘出由上面的剪力方程和弯矩方程可绘出 q 图和图和 m 图如图示。图如图示。 故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突变值的大小等于该集中力的大小。变值的大小等于该集中力的大小。 从从 q 图可看图可看 c 截面：截面： ,ccpbpaqqll 左右左右剪力图在剪力图在 c 截面发生一突变，其大小为：截面发生一突变，其大小为： 。pbpapll 从从 m 图可看出，最大弯矩发生在集中力作

53、用处的截面上，图可看出，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，其值为：其值为： 。maxpabml 解解（一）求支座反力（一）求支座反力 0,0,0,0,baaabbammrlmrlmyrrrrl 例例3 绘图示梁的剪力图和弯矩图。绘图示梁的剪力图和弯矩图。 例例3图图（二）列出各段的（二）列出各段的 q、m 方程方程 ac 段：段： 11111100aamq xrxalmm xrxxxalcb 段：段： 22221aamq xraxllmm xrxmlxl （三）绘（三）绘 q 图，图，m 图图 由剪力方程和弯矩方程可绘出由剪力方程和弯矩方程可绘出 q、m 图如图示。图如图示。 弯矩图在弯矩图

54、在 c 截面发生一突变，其大小为：截面发生一突变，其大小为： 。mambmll 由此可得出结论：在集中的偶作用处，弯矩图上发生突由此可得出结论：在集中的偶作用处，弯矩图上发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。变，其突变值等于该集中力偶的大小。 对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。对剪力图而言，集中力偶作用的截面并无改变。 从从 m 图可看出，在图可看出，在 c 截面：截面： ,ccmambmmll 左右左右解解 （一）求支座反力（一）求支座反力 0000110,0,23610,0,23baaabblmrlq lrq llyrrq lrq l 例例4 绘图示梁的剪力图和弯矩图。绘图示梁的

55、剪力图和弯矩图。 例例4图图 2200021312626aq lq xq lxq xrq xxll距支座距支座 a 为为 x 处截面上的剪力为：处截面上的剪力为： 30012366aq lq xxm xr xq xxxl相应位置的弯矩为：相应位置的弯矩为： （二）列出剪力方程和弯矩方程（二）列出剪力方程和弯矩方程 （三）绘（三）绘 q 图和图和 m 图图 当当 x=0 时，时， ；当；当 x=l 时，时， ； 06aq lq 03bq lq 当当 时，时， 。 2lx 024q lq 中中极值极值： ，x=0 处有最大值处有最大值 。 0dq xqxdxl 0max6aq lqq 2020d

56、q xqldx 凹向判定凹向判定： ( )1. 由剪力方程可知，由剪力方程可知，q(x) 为二次曲线。为二次曲线。 2200021312626aq lq xq lxq xrq xxll作作 q 图。图。 当当 x=0 时，时，ma=0 ；当；当 x=l 时，时，mb=0 。 ( )凹向判定凹向判定： 2020d m xq xldx 此方程式说明是此方程式说明是 q(x)=0 时弯矩有极值。时弯矩有极值。 极值极值： 200062dm xq lq xdxl解得：解得： 时，时， 。3lx 20max9 3q lm 2. 由弯矩原方程可知，由弯矩原方程可知，m(x) 为三次曲线。为三次曲线。 30

57、012366aq lq xxm xr xq xxxl作作 m 图。图。 三、分布荷载集度三、分布荷载集度 q(x) 、剪力、剪力 q(x )、弯矩、弯矩 m(x) 三者间的关系三者间的关系 剪力对剪力对 x 的一阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。的一阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。 61dq xq xdx弯矩对弯矩对 x 的一阶导数等于梁上相应位置上的剪力。的一阶导数等于梁上相应位置上的剪力。 62dm xq xdx弯矩对弯矩对 x 的二阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。的二阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。 2263d m xq xdx 根据上面三个关系式，对正确绘制剪力图

58、和弯矩图有很根据上面三个关系式，对正确绘制剪力图和弯矩图有很大帮助。大帮助。下面来分析一下绘剪力图和弯矩图时常见的几种情下面来分析一下绘剪力图和弯矩图时常见的几种情况。况。1. 在梁某一段内无荷载作用。在梁某一段内无荷载作用。在该段内剪力图必是一平行于在该段内剪力图必是一平行于 x 轴的直线。轴的直线。常数，常数， 0,0,dq xq xq xdx常数，常数，m(x) 是是 x 的一次函数。的一次函数。 dm xq xdx在该段内弯矩图必是一斜直线。在该段内弯矩图必是一斜直线。 q0，m图（图（ ）q0 ，所以，所以 m 为为一上升斜直线。一上升斜直线。 b、a 两截面的弯矩两截面的弯矩之差即

59、为剪力图（之差即为剪力图（ ab 段）段）的面积。的面积。即即7 17bammkn m （三）作弯矩图（三）作弯矩图 在在 bc 段内剪力为段内剪力为常数常数 q=-3kn ，所以所以 m 为一下降斜直线。为一下降斜直线。c左左 、b 两截面弯矩之差两截面弯矩之差等于等于 bc 段剪力图的面段剪力图的面积，即积，即 3 1734cbmmkn m 左左448ccmmmkn m右左右左 c 处有集中力偶作处有集中力偶作用，弯矩图在用，弯矩图在 c 处有处有突变，突变值就突变，突变值就是是 ，所所以以 c右右 截面的弯矩为截面的弯矩为 4mkn m 在在 cd 段内，由于段内，由于 q(x)=-2k

60、n/m ，所以，所以 m 图在该段为一上图在该段为一上凸的二凸的二次曲线。次曲线。d、c右右 截面的截面的弯矩之差就等于该段剪弯矩之差就等于该段剪力图的面积，即：力图的面积，即： 137 ,28102dcdmmmkn m 右右 de 段内段内 q=2kn0 ，所以，所以 m 为为一上升斜直线。由于一上升斜直线。由于 e 处为自由端，又没有集处为自由端，又没有集中力偶作用，故中力偶作用，故e处的处的弯矩弯矩 me=0 。全梁的全梁的 m 图见图示。图见图示。第七部分第七部分弯曲弯曲应力应力 一、梁的正应力及强度条件一、梁的正应力及强度条件 1.1.矩形截面梁纯弯曲时，横截面上的正应力。矩形截面梁