泰勒公式及其妙用

1、泰勒公式及其妙用学号：姓名班级：1公式形式泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由 函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导数)的导数求得对于正整数n，若函数f (刃在闭区间臨町上川阶连续可导，且在 仏孙上斤+l阶可导。任取一戋匚I忌穆是一定点，则对任意茁门甌渤成立下式：/丽豁+竽牛仪-卉讐其中尸叫幻表示f (力的n阶导数，多项式称为函数f (力在a处的泰勒展开式, 剩余的心闵是泰勒公式的余项，是 &-列的高阶无穷小。2公式的余项上-可以写成以下几种不同的形式：1、佩亚诺(Peano)余项：K1K(x)=(x-a)n这里n阶导数存在2、施勒米尔希-罗什(Sch

2、lomilch-Roche )余项：R” (x) = f(a + ff(X-(1 - 刃;；5其中 B( 0,1 )。3、拉格朗日(Lagrange)余项：心何=丹十w” *仗-码)吋其中 B( 0,1 )。4、柯西(Cauchy)余项：rjm二申叶耳個+0依_町 口时小 Ka函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中 a取0的情况，即是泰勒公式的特 殊形式，若在x=0处n阶连续可导，则下式成立：其中表示的n阶导数。2泰勒中值定理若仗在包含 刊的某开区间（a, b）内具有直到n+1阶的导数，则当x（a，b）时，有：加打如+警切+警-+.+警其中 f 彳是n阶泰勒公式的拉格朗日余项:心心严（汕严5e(j

3、R),r)4公式应用实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级 数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。 泰勒展开式 的重要性体现在以下三个方面：1幕级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。2一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并 使得复分析这种手法可行。3泰勒级数可以用来近似计算函数的值。在这里着重介绍泰勒公式在求极限中的应用，以下为常用函数的泰勒展开*0(尽)8 1# +CCOS-V =（一 1 严2!4!）!=| 一x + F 一+（ ）y1十兀lll（ 1 十-T ） = A7 +*，*+（ ） *

4、F 柑（乂）2n下而霸说明利用艸公武求极限的方肉風*r cos sinjr-cosr例1 束hm * *分折此为扌翅不定式，若克播应刖岁必携茁刖求盤馮 gspwae? 瓠由于分母赵的嗽无劣b可奇虑椭棘饮齡子时.由无洌的怡亦分子 的K开式只囂的is阶无穷小即可.* 河“t 寺” lifti ! 2d + 0(*)(3!cosiinxl- ； iin*jt+（iin4x）I1 + O（x）1 土 A討 + 0（劝OCx1） 1=t -/jt -*1 ii1 3fcos liar- cosx=-乔期i可帅出.觸鞋m开式代誹驢氯可蜒械is渊牝嘛这丸林 盘过比妊酬的棘枚轧椒却的息展开轴顶数的械骅虑到分孑莎毎的无 穷水的阶氯谕表达册曼注糞无穷小的计1L分析此为旳型不定式.可作代換尸+并整湿梅此式代虑#型不定式*能后将 与J1”按秦勒公式展开，用类也于钏I的方協求解 令(V*則工*2时* 例 3 宋 1101（7- M V7h （QWHf可用类fit于求函JRjftfB的方法求i列的极限.因为 tf* I * Ifid * n- -|n*ii rk + Qj1 ）ffiEI L + lft + 0（- ）詁皿.古+去I卅.詁尹+（詁尸）.i魚式 n llTfl ln4（ W -占）+ 4皿（爲-（Tiiyr）+右r）卜血由上面几个例题可以看出泰勒公式可以在我们求极限的过程中