量子力学12套内部模拟试题

1、 模拟试题 试题1 一. （20分）设氢原子处于 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。 二. （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是，如果哈密顿算符变成（为实参数），求变化后的能级。 三. （20分）质量为的粒子处于如下的一维位势中 其中， 且 ，, 求其负的能量本征值。 四.（20分）已知在与的共同表象中，算符的矩阵形式为 求的本征值和归一化的本征矢。五.（20分）两个线谐振子，它们的质量皆为，角频率皆为，加上微扰项（分别为两个谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 试题2 一.（2

2、0分）质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态 上，求其动量与动能的取值几率分布及平均值。二. （20分）质量为的粒子处于如下一维势阱中 若已知该粒子在此势阱中存在一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。 三. （20分）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢、和构成的，以其为基矢的两个算符和的矩阵形式如下 其中，为实常数。证明算符和是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。 四. （20分）固有磁矩为的电子，时处于的状态，同时进入方向均匀磁场中。求时测量得的几率是多少。为已知常数，为自旋算符。 五.（20分）一个电荷为、质量为和角频率为的线谐振子，受到恒定弱电场的作用，即，

3、求其能量近似到二级修正、波函数到一级修正。 试题3 一.（20分）质量为的粒子，在阱宽为的一维无限深势阱中运动，当时，粒子处于状态 其中，为粒子的第个本征态。（1） 求时能量的取值几率；（2） 求时的波函数；（3） 求时能量的取值几率。 二.（20分）设体系的哈密顿算符为 利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。 三. （20分） 自旋为、固有磁矩为（为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设时，粒子处于的状态，求出时的波函数，进而计算与的平均值。 四.（20分）若一维体系的哈密顿算符不显含时间，在能量表象中证明：(1) (2) (3) 五. （20分） 各向同性三维谐振子的哈密顿算符为

4、 加上微扰之后，用微扰论求第一激发态的一级能量修正。 试题4一.（20分）质为的粒子处于一维位势 中，导出其能量本征值时满足的方程。 二.（20分）质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态 上，求其动量与动能的其中几率分布及平均值。 三.（20分）若一维体系的哈密顿算符不显含时间，在能量表象中证明：（1）（2）（3） 四.（20分）求自旋角动量在任意方向（方向余弦为 ）的投影算符 的本征值和相应的本征矢。五.（20分）设有一量子体系，其能量算符的本征矢记为，给定厄米特算符及。设体系受到微扰的作用，若已知，试在微扰后的基态（无简并）下计算的平均值，准确到量级。 试题5一.（20分）氢原子在

5、时刻处于状态 式中，为氢原子的第个本征态。（1） 计算；（2） 计算时能量的取值几率与平均值；（3） 写出任意时刻的波函数。 二.（20分） 证明：（1） 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易； （2）在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性之积为最小。三. （20分）有一质量为的粒子，在如下势场中运动 试求出束缚能级所满足的方程。 四.（20分）由两个自旋为的粒子构成的体系，若两个粒子的自旋态分别处于 ； 的态上，求体系分别处单态与三重态度几率。 五.（20分）一个质量为、角频率微的线谐振子，受到微扰的作用，（1） 用微扰论求能量的一级修正；（2

6、） 求能量的严格解，并与（1）的结果比较。 试题6 一. （20分）设氢原子处于 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。 二.（20分）已知算符满足，证明，并在表象中求出的矩阵表示。 三.（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是，如果哈密顿算符变成（为实参数），求变化后的能级。 四. （20分） 两个自旋为的非全同粒子，自旋间的相互作用是，其中，是常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设时，粒子1的自旋沿轴的正方向，粒子2的自旋沿轴的负方向，求时测量粒子2的自旋处于轴负方向的几率。 五（20分）三维各向同性谐振子的能量算符为

7、试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰的作用，用微扰论求基态能量到二级微扰修正，并与精确解比较。 试题7 一. （20分） 线谐振子在时处于 态上，其中为线谐振子第个本征值对应的本征函数。（1） 求在态上能量的可测值、取值几率与平均值；（2） 写出时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。二.（20分）对一维定态问题，若哈密顿量为 且设其具有断续譜，即，证明（1） （2） 若与无关，则 三.（20分）两个自旋为的粒子，它们之间的相互作用为是，其中，是常数。设时，粒子1的自旋沿轴的正方向，粒子2的自旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋沿轴正方向的几率。 四.（20分）质量为、电荷为的粒

8、子，在方向互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动，取电磁场的标势和矢势分别为和，其哈密顿算符为 找出包括在内的力学量完全集，并进而求出能量的本征值和本征矢。 五.（20分） 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为 （为核电荷）当核电荷变为时，相互作用能增加，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。 试题8一. （20分）质量为的粒子，在如下势场 中运动，其中， 、为两个正实数, 求能量本征值。 二.（20分） 质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态，（1） 若弹性系数突然变成，即势场变成，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场基态度几率； （2） 势场突然由变为后，不进行测量，经过一段

9、时间后，势场又恢复成，问取什么值时粒子仍恢复到原来势场的基态（几率为100）。三.（20分） 若一维体系的哈密顿算符为，且假设其具有断续谱，即，试证明： 四.（20分） 由三个自旋为的非全同粒子组成的体系，哈密顿算符为 其中，为实常数，分别为三个粒子的自旋算符。试求出体系的守恒量，确定体系的能级和与简并度（取）。五.（20分） 氢原子受到均匀电场和均匀磁场的扰动，在非旋的情况下，证明在第一激发态的一级近似计算中，微扰的矩阵形式（在未受微扰的能量表象中）为 并给出常数的表达式（基矢是按量子数从小到大的顺序排列），进而讨论能级的劈裂情况。 试题9 一.（10分）设是粒子数算符的本征函数，相应之本征

10、值为，算符和满足对易关系。证明：（其中）和也是征值分别为和。 二. （15分）质量为的粒子在一维势阱 中运动，若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。三. （15分）设作一维自由运得粒子时处于 态上，求和时粒子动量与动能的平均值。 四. （20分）对于类氢离子的任何一个本征态，利用维里定理、费曼-海尔曼定理计算与。 五.（20分）设两个自旋为粒子构成的体系，哈密顿量， 其中，为常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知时，粒子1的自旋沿轴的负方向，粒子2的自旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋处于轴负方向的几率。 六（20分）粒子在一维势场中运动，非简并能级为，如受到微扰

11、的作用，用微扰论求能量到二级修正，并与精确解比较。 试题10 一. （20分）质量为的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若时，粒子处于 状态上，其中，为粒子的第个本征态。(1) 求时能量的可测值与相应的取值几率；(2) 求时的波函数及能量的可测值与相应的取值几率二. （20分）一个电子被禁闭在线谐振子基态，若在此态上有 求激发此电子到其第一激发态所需要的能量（用表示）。提示：利用维里定理。三. （20分）设厄米特算符的本征矢为，构成正交归一完备系，定义一个算符 （1） 计算对易子 ；（2） 证明 ；（3） 计算迹 ；（4） 若算符的矩阵元为，证明 四. （20分）自旋为、固有磁矩为（其中为实常

12、数）的粒子，处于均匀外磁场中，设时，粒子处于的状态，（1） 求出时的波函数；（2） 求出时与的可测值及相应的取值几率。五.（20分）两个质量皆为的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是，加上微扰项（分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 试题11 一.（20分）证明： （1）若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易； （2）在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性为最小。 二.（20分）粒子作一维运动，当总能量算符为时，能级是，如果总能量算符变成（为实参数），求粒子能级的严格解。三. （

13、20分）一维谐振子的哈密顿算符为 引入无量纲算符， ；（1） 计算 ，；（2） 将用与表示，并求出全部能级。 四.（20分） 有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场的作用，磁场指向轴电正方向，磁作用为。设时，电子的自旋向上，即，求时的平均值。 五.（20分）有一量子体系由哈密顿量描述，其中，可视为微扰，是厄米特算符，且有。 （1）若算符在的非简并基态上的平均值已知，且分别记为，求在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到量级。（2） 将上述结果用在如下三维问题上， 计算在微扰后非简并基态上的平均值，准确到量级。 习题12 一、（30分）回答下列问题 1、何谓微观粒子的波动-粒

14、子两象性？ 2、波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什么？3、分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？4、物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？5、坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。6、线性厄米特算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？ 二、（20分）设氢原子处于 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。 三、（25分）有一质量为的粒子，在如下势场中运动 试求出束缚能级所满足的方程。 四、（25分）设厄米特算符的本征矢为，构成正交归一完备系，定义一个算符 （1） 计