定积分的几何应用

1、.定积分的几何应用；.定积分的几何应用内容摘要自十七世纪下半叶牛顿和莱布尼茨确定了微积分的基础以来，微积分已经经历了近四百年的发展，微积分不仅在数学领域，在现代科学各个领域都发挥了巨大的作用，微积分的思想更是达到了哲学的高度。可以预见，微积分在将来的应用会越来越广泛，越来越深入，但微积分由于其思想的复杂性、系统性，给使用者带来了不便，本文就微积分在数学几何领域的应用做了一些总结和创新，得出了在直角坐标系和极坐标系情况下，平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转曲面的面积的求解方法，以方便相关领域的人士在工作和学习中参考使用。【关键词】定积分 几何 坐标系 面积 体积 弧长The app

2、lication of definite integral geometryAbstractSince the second half of the seventeenth Century the Newtonian and Leibniz to determine the basis of calculus, calculus has experienced nearly four hundred years of development, not only in the field of mathematics calculus, in modern scientific fields h

3、ave played an important role, the calculus idea is to achieve a high degree of philosophy. Can foreknow, calculus in the future will be more widely used, more and more deeply, but due to the complexity of ideas of calculus, system, users have inconvenience, the calculus in mathematics geometry appli

4、cation some summary and innovation, derived in Cartesian coordinate and polar coordinate conditions, planar graph area, the volume of body of rotation, smooth arc length of a curve and a rotating surface area method, so as to facilitate the related people in the working and learning reference.【Key w

5、ords】Integral geometry coordinates area volume arc length目 录一、引言（1）（一）定积分的历史(1)（一）定积分思想的意义(1)二、定积分与微元法（2）（一）定积分的定义(2)（二）微元法的原理(2)（三）微元法的步骤(3)三、平面图形的面积（3）（一）直角坐标系情形(3)（二）极坐标系情形(4)四、体积(5)（一）平行截面面积为已知的立体的体积(5)（二）旋转体体积(5)五、光滑曲线的弧长（7）六、旋转曲面的面积（8）参考文献(9)致谢(10)定积分的几何应用一、 引言本文在总结前人的经验和方法的基础上，通过使用定积分的方法和思想，得

6、出了在直角坐标系和极坐标系情况下，平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转曲面的面积的求解方法。(一)定积分的历史十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在英国和德国独自研究并完成了微积分的创立工作，微积分学不仅成了推动近代数学发展强大的引擎，而且同时也极大地推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。而定积分思想是微积分学的重要组成部分，在现代科学领域有着广泛的应用。定积分的思想在古代数学家的工作中,就已经能看出端倪。在国外，古希腊时期阿基米德在公元前240年前后,就曾用求和的方法计算过抛物线、弓

7、形及其他图形的面积。在国内，公元263年我国刘徽提出的割圆术,也是同一思想。在历史上,积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前,有关定积分的种种研究成果还是孤立零散的,比较完整的定积分理论还未能形成,直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后,计算问题得以解决,定积分才迅速建立发展起来。牛顿和莱布尼茨对微积分的创建都作出了巨大的贡献,但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上,运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上,运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣精深;但莱布尼兹的表达形式简洁准确,胜过牛顿。在对微

8、积分具体内容的研究上,牛顿先有导数概念,后有积分概念;莱布尼兹则先有积分概念,后有导数概念。虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异,但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业,荣耀应由他们两人共享。定积分概念的理论基础是极限。人类得到比较明晰的极限概念,花了大约2000年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代,极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠,有些概念还比较模糊,由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,并引发了第二次学危机。经过十八、十九世纪一大批数学家的努力,特别是柯西首先成功地建立了极限理论,魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义,极限概念才完

9、全确立,微积分才有了坚实的基础。(二)定积分思想的意义定积分不仅是一种方法,又是一种基本思想。定积分的思想即化整为零、近似代替、积零为整、取极限。定积分这种求和的极限的思想,在高等数学、物理、工程技术、其他的科学领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义,很多问题的数学结构与定积分中求和的极限的数学结构是一样的,通过对曲边梯形的面积、变速直线动的路程等实际问题的研究,运用极限方法,分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程,使定积分的概念逐步发展建立起来。可以说,定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法(或思维模式),即用无限的过程处理有限的问题,用离散的过

10、程逼近连续,以直代曲,局部线性化等。定积分的概念及微积分基本公式,不仅是数学史上,而且是科学思想史上的重要里程碑定积分思想,是人类智慧的可贵结晶,已成为人类文明中的瑰宝。定积分既是一种求值的高级运算方法,又是定义函数的一种工具。例如，连续函数的变上限积分是其的一个原函数,当有些函数的原函数不是初等函数时,例如,求正弦曲线、椭圆弧长等所遇到的椭圆积分就不是初等函数,这时,我们就把这个积分本身,作为新函数的定义,以此为出发点来研究这个函数。有时,积分本身是我们熟悉的函数,也可以这样做,这也开阔了思路,增加了原来函数的一个等价定义。二、定积分与微元法(一)定积分的定义任何一个数学概念,都具有抽象性、

11、精确性、应用广泛性。数学生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象,现代教科书中有关定积分的定义是由黎曼给出的。设闭区间上有个点，依次为，把区间分成个小区间，这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记为或,小区间的长度为，并记，在各小区间上任取一点，（），并作和式，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限，我们称函数在区间上可积，极限称为函数在区间上的定积分，记为(二)微元法的原理定积分的几何应用问题普遍具有一个固定的模式，即求与某个区间上的变量有关的量,这个量可以是面积，体积，弧长等，即。在任意小区间包含于上，把的微小增量近似的表示为的线性形式，其中为

12、某一连续函数，而且当时即,因此定积分即为该问题所求的值。采用微元法时需注意两点1.所求量关于分布区间必须是代数可加的，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和。2的近似值可表示为，它们之间只相差一个的高阶无穷小量。(三)微元法的步骤1根据问题的具体情况,选取一个变量。例如为积分变量,并确定其变化区间;2在区间内任取一个小区间，求出相应于这个小区间的部分量的近似值.如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积,就把称为量的微元且记作，即3.以所求量的微元为被积表达式,在区间上作定积分,得三、平面图形的面积图1（一）直角坐标系情形1.设函数,在区间上为连续函数且（图1），则

13、所围阴影面积有：面积微元面积图22.设函数,在区间上为连续函数且（图2）则所围阴影面积有：面积微元 面积例一：求由所围图形的面积（图3）解：两曲线的交点为（2，-2），（8，4）。根据此图形特点，可以选择作为积分变量，其 变化区间为-2，4。图3图形的面积微元为：从而可得图形面积3.一般地：如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积，其中对应曲线起点与终点的参数值，在上具有连续导数，连续。图4例二：求椭圆的面积（图4）解：椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍的第一象限部分面积图5（二）极坐标系情形1.曲边扇形（图5）设图形由曲线=(q)及射线q=a,q=b所围成其中(q)在a,b上连续,且(

14、q)0.取q为积分变量,其变化区间为a,b,相应于q,q+dq的面积微元为则图形面积为2.一般图形（图6）图6由曲线=(q),=(q)及射线q=a,q=b所围图 形的面积微元为则面积为例三：求心形线所围平面图形的面积（）（图7）图7解： 利用对称性知 =四、体积图8（一）平行截面面积为已知的立体的体积设立体介于之间, 表示过点且垂直于轴的截面面积.（如图）取为积分变量,其变化范围为.（图8）体积微元为则体积为 图9例四：一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.（图9）解：取坐标系如图，底圆方程为垂直于轴的截面为直角三角形截面面积 立体体积 （二）旋

15、转体体积平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.1.设旋转体绕x轴形成.（图10）图10则如前所述,可求得截面面积则2.设旋转体绕y轴形成.（图10）同理，可得体积为 或者当不易求时可使用柱壳法：取为积分变量，其变化范围为a,b.在a,b内任取区间微元，在上任取一点，这样以为底，为高的小曲边梯形绕y轴所产生的环形薄片的体积 因此旋转体体积为 例五：求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积.图11解：可求得过点O及P(h,r)的直线方程为（图11）得例六 求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积. 图12解 ：圆的方程为（图12）则所求体积可视为分别

16、与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积之差.则图133.设旋转体绕平面直线形成（图13）取x为积分变量,其变化范围为.在内任取区间微元，则过点和作的垂线，交于点，记，在上任取一点，点到的距离记为，这样以为底，为高的小曲边梯形绕所产生的体积微元其中，记，则：曲线绕平面直线形成的旋转体体积为例七：求函数绕直线旋转所成旋转体的体积.解：4.设旋转体绕平面直线形成令,则曲线方程变为，从而同理得旋转体体积 五、光滑曲线的弧长图14（一）设光滑曲线方程: （图14）取x积分变量,变化区间为. 内任意小 区间的一段弧长可用相应的切线段近似代替.即则弧长微元(弧微分) 故弧长为 （二）若曲线方程

17、由参数方程: 则如前所述 ：弧长微元 故弧长为 （三）若曲线方程由极坐标系方程:r=r(q) (aqb). 表示则例八：求星形线的弧长.（图15）解：星形线的参数方程为 根据对称性例九：求阿基米德螺线 上相应于从到的弧长.图15解： 六、旋转曲面的面积设平面光滑曲线，取积分变量为，在上任取小区间，通过轴上的点与分别做垂直于轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带，当很小时，狭带的面积近似于一圆台的侧面积，取面积元素，则旋转曲面面积为若曲线由参数方程， 定义，面积元素，则旋转曲面面积为若曲线由极坐标系方程定义，则旋转曲面的面积例十：求半径为R的球面面积。解：球面可看作由半圆 绕轴旋转而成，于是例十一：求摆线 绕轴旋转一周所得旋转体的表面积解： 参考文献： 【1】李锐、项海容：基于两期生命周期模型的农户金融行为的计量分析，管理世界2006 年第9 期,123-126.【2】秦雅倩、 周小伟：农村居民耐用消费品购买策略模型，贵州农业科学2009年第3期,123-126.【3】杭斌：习惯