求数列通项公式的常用方法

1、求数列通项公式的常用方法、累加法1 .适用于：累加法是最根本的二个方法之一一oan f(n)这是广义的等差数列2.解题步骤：假设an1 af(n)(n2)，a? a 贝 Ua3 a2an 1f(1) f(2) Lf(n)两边分别相加得nan 1 a1f(n)k 1an例1 数列an满足an1 an 2n 1, a1 1 ,求数列 的通项公式。解：由aan 2n 1 得 an 1 a. 2n 1 贝an (an2(2(2an 1) (an 1 an 2) L(a3 a2)(a2 aj1) 1 2( n 2) 1 L (2 2 1)(2 11) (n 2) L 2 1 (n 1) 11)n(n 1

2、) 1nnn2(n 1)(n 1) 12na11)所以数列an的通项公式为练习.数列an满足a1 3 , a 此数列的通项公式.1 (n 2) n(n 1)答案：裂项求和an评注：ai a,an 1 an f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 an. 假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法1-适用于：an 1 f(n)an 这是广义的等比数列,累乘法是最

3、根本的二个方法之二。2 解题步骤:假设空 f(n),那么-f(1),- f(2),L L ,邑 f(n) ana1a2an两边分别相乘得，加a, n f(k)a1k 1例2数列an满足an1 2(n 1)5n %，印3，求数列an的通项公式。解:因为 an1 2(n1)5nan，a13，所以an0，那么a n 1n亠 2(n 1)5n ananan 1anLa3 a2an 1 an 2a? a故2( n 11)5n12(n 21)5 2 L 2(2 1)522(11) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1 (n 2) L 21 3n(n 1)3 2n 1 5丁 n!所以数列an

4、的通项公式为an 3 2n 1 5咛n!.练习 . an 1 nan n 1,a1 1,求数列 an 的通项 公式答案： an (n 1)! (a1 1)-1.评注：此题解题的关键是把原来的递推关 系式 an 1 nan n 1,转化为an 1 1 n(an 1), 假设令 bn an 1 ,那么问题进一步转化 为b-叽形式，进而应用累乘法求出数列的通 项公式 .三、待定系数法 适用于 an 1 qan f (n)根本思路是转化为等差数列或等比数列， 而数列的本质是一个函数， 其定义域是自然数 集的一个函数。.形女口 an 1 can d，(c 0,其中 ai a)型(1) 假设c=1时，数列

5、辭为等差数列；(2) 假设d=0时，数列an为等比数列；(3) 假设c 1且d 0时，数列a为线性递推数 列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来 求.解题步骤：设 an 1c(an )，得 an 1 can (c 1)与题设 1 d比较系数得(C Dd，所以C,(c 0)，所以有:anc(ac 1a dd因此数列n c构成以a1厂为首项，以c 为公比的等比数列，d / d n 1所以an厂佝冷c即：dn 1dan + 例3数列an中，a, 1,an 2a 1 1(n 2)，求数列a 的通项公式。解:Q an2an 1 1(n 2),an 12(an 1 1)又Qa 12, a 1是首项为2,

6、公比为2的等比 数列an 1 2n，即 a 2n 1C11练习数列an中，a1 2，an1 2an 2,求通项an答案:2形如：an1 p an qn (其中q是常数, 且 n 0,1) 假设P=1时，即：am % Tn，累加即可. 假设 P 1 时，即:ani P an qn ,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以Pn1.目的是把所求数列构造 成等差数列即:瞎即丄与人bn半血宀1 bn丄即 p q p q 令 p ，贝p q ，然后累加求通项nq1ii.两边同除以 造成等差数列。目的是把所求数列构an 1n 1qbnq1q，然后转化为即:令un qn，那么可化为待定系数法第一种情况来解。

7、iii.待定系数法：目的是把所求数列构造 成等差数列设a1 q1 PaP.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求P q，否那么待定系数法会失效。例4 数列a满足时细43n1, a1 1，求数列an的通项公式。解法一待定系数法：设an1 l3 2a 31, 比较系数得i 4, 2 2 ,那么数列 431是首项为ai 4 31 5,公比为2 的等比数列，所以 an 4 3n1 5 2n1，即 an 4 3n 1 5 2n 1解法二两边同除以qn1:两边同时除以 an 12 an 43n1得：莎苕衣，下面解法略解法三两边同除以P1：两边同时除以 an1 an 4/3、

8、n2n1得：盯歹32，下面解法略3 .形如an1 Pan kn b其中k,b是常数，且k 0待定系数法解题步骤：通过凑配可转化为比较系数求x、y;解得数列 公式；得数列a的通项公式。an(an xn y) p(a. 1(axnx(n 1) y)y)的通项3例5 .在数列an中，a1 2,2anan.待定系数法解：原递推式可化为an6n3,求通项2(an xn y)x( n 1) y比较系数可得：x=-6, y=9上式即为2bn bni9 所以bn是一个等比数列，首项b1 a1 6n 9 2 , 公比为 2。 bn 2(F1即：an 6n 9 9($ ,故1an 9 ()n 6n 9练习在数列逐

9、项相减法角军： an 1 3a n两式相减得bn 3bn 12a2n,中，ai1,a3an2n,求通项an.3( an2时，2.令b3a2(n 1)，那么知 bn 5 3 2an 1再由累加法可得5 3n1253亦可联立解出a4 形如是常数，且aa n 1 pann2(其中a,b,c0)根本思路是转化为等比数列，而数列的本 质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函 数。例6 数列a满足a, 2an 3n2 4n 5, a, 1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)22y(n 1) z 2(an xn yn z)比较系数得x 3,y 10,z 18 ,所以 an 1 3(n 1)

10、2 10( n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)由 a13 1210 1 181 31320，得 an 3n2 10n 18 0那么 a1 3(n312218 2，故数列an 3n2 10n 18为以an 3n 10n 18a1 3 12 10 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数 列，因此 an 3n2 10n 18 32 2n 1 ，那么 an 2n4 3n2 10n 18。5.形如a 2 pa 1 qa时将a作为f (n)求解分析：原递推式可化为an 2 an, (p )(an, an)的形 式，比较系数可求得，数列am &为等比数 列。例7 数列an满足an2

11、 5an1 6% 1,a2 2，求数 列an的通项公式。解：设an 2an 1(5)(an 1an)比较系数得3或2，不妨取2，(取-3结果形式可能不同，但本质相同)那么an 2 2an 1 3(an 1 2an)，贝H an 1 2an是首项为 4，公比为 3的等比数列an 1 2an4 3n 1所以an4 3n 1 5 2n 1练习.数列an中，假设31 8,32 2,且满足9n2 4an1 3an 0 求an.答案：a 11 3.四、不动点法目的是将递推数列转化为等比(差)数列 的方法不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，假设存 在f(x)Xo D，使f(Xo) X。成立，那么称X)为

12、f(x)的不动点 或称(Xo, f(Xo)为函数f(x)的不动点。分析：由f(x) X求出不动点Xo，在递推公式两 边同时减去Xo，再变形求解。类型一：形如an 1 qan d例8数列an中，a1 1,an 2如1 1(n 2)，求数列K的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为f(x) 2X 1，由 f(x) X得，不动点为-1 an 112(an 1)，类型二：形如an1 aan bc an d分析：递归函数为心)c x d(1) 假设有两个相异的不动点关系式两边分别减去不动点 除得3，其中k U，an 1 q an qa qc 7(2) 假设有两个相同的不动点p，然后用1除，得系式两边减

13、去不动点 k，其中k空。p,q时，将递归 p,q，再将两式相 .a (q pq)kn1 (p pq)n p)kn 1 q)p，那么将递归关an 1 p an pa d詐,求数列 项公式(答案：an汨) 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解 解：对等式两端同时加参数t,得：7t 4(2t 5)an 7t (2t 5)an 厂2an 7例9.设数列an满足al 2,an 1an的通an 1 t5an 42an72an 77t 42t 5解之得t=1,-2an 11(2t5)-2a nc an 1an 23an 1292an 7 2an 7an 11 1 an 1an 1 2 3 an 2,即汁是

14、首项为公比为丄的等比数列，34 3n 12an 4 3n 11 .相除得an -a n111 n_ 3an24a11a12,解得an的通项答案:an13 5n10n 6五、对数变换法pan其中p,r为常数型 例10.设正项数列 求数列an的通项公式 解：两边取对数得： 设 b log2 1，那么 的等比数列， log2n 2n1 1a2练习数列a-中， 列a-的通项公式.适用于an1bn2bnd log1c2n 11nn满足a1logp0， an 02n 2an ( n 2).1 2logbn 1an12log 2n 1 2(log2n1 1)是以2为公比2n 1 log2n 1 2n 12石

15、n?2,求数2 22 n答案：an 2六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例11数列an满足2an.an 1c，a1 1an 2，求数列an的通项公式解：求倒数得丄2丄an 12 an1an 111 1 1an2an 1 an为等差数列，首项丄1,公差为a11 1an2(n 1)，七、阶差法(逐项相减法)1、递推公式中既有Sn，又有an分析：把关系通过a, S，ns1 n 2转化为数Sn Sn 1，n 2 列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求 解。例12 数列an的各项均为正数，且前 n 项和Sn满足Sn (a 1)(0, 2)，且82,84,89成等比数列，求 数列an的通项公式。解：对任意n N有Sn扣1)(an 2)当