第三章——流体流动特性

1、1流场流场流体质点在流动中所占据的空间流体质点在流动中所占据的空间1. 1. 拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法又称拉格朗日法又称随体法随体法：着眼于流体质点，通过跟踪每：着眼于流体质点，通过跟踪每一个流体质点的运动过程，研究流体质点物理量随时间变化一个流体质点的运动过程，研究流体质点物理量随时间变化规律，进而确定整个流场内流体质点的运动参数。规律，进而确定整个流场内流体质点的运动参数。B=B (a，b，c，t)式中式中a、b、c，t称为称为拉格朗日变量，拉格朗日变量，是初始时刻对质点的标是初始时刻对质点的标识识随随a、b、c的变化，得到不同流体质点参数的变化，得到不同流体质点参数B的变化的变化

2、 a、b、c=const时，时， 表示某个确定的流体质点的运动规律。表示某个确定的流体质点的运动规律。 2在在t时刻，某质点时刻，某质点a,b,c 的位置可表示为：的位置可表示为：该流体质点的速度场为：该流体质点的速度场为：),(tcbautxu),(tcbavtyv),(tcbawtzw类似的方法可得到该流体质点的加速度场类似的方法可得到该流体质点的加速度场( , , , )xx a b c t( , , , )yy a b c t( , , , )zz a b c t32. 2. 欧拉法欧拉法 又称又称局部法局部法，是以流体质点流过，是以流体质点流过空间某个点上空间某个点上时的运动特性，时

3、的运动特性，来研究整个流体的运动的。所以流体质点的流动是空间点坐标来研究整个流体的运动的。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间）和时间t的函数，任一参量的函数，任一参量B可以表示为可以表示为B=B (x，y，z，t)式中，式中，x,y,z,t 称为称为欧拉变量欧拉变量。是与流体质点无关的空间坐标值。是与流体质点无关的空间坐标值。x，y，z值不变值不变， 改变改变t，表示空间某固定点的速度随时间的变，表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。化规律。 t不变不变 ，改变，改变x，y，z，代表某一时刻，空间各点的速度分布。，代表某一时刻，空间各点的速度分布。43. 3. 两种方法的比较

4、两种方法的比较 拉格朗日法拉格朗日法欧拉法欧拉法表达式复杂表达式复杂表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空不能直接反映参数的空间分布间分布直接反映参数的空间分直接反映参数的空间分布布不适合描述流体元的运不适合描述流体元的运动变形特性动变形特性适合描述流体元的运动适合描述流体元的运动变形特性变形特性拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析流体力学最常用的解析方法方法分别描述有限质点的轨分别描述有限质点的轨迹迹同时描述所有质点的瞬同时描述所有质点的瞬时参数时参数5速度场速度场任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场，任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场， 又称速度分布。又称速度分布

5、。 1. 1. 流体流体质点质点运动的速度和加速度运动的速度和加速度 在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为 ( , , , )( , , , )( , , , )Vu x y z t iv x y z t jw x y z t k对于具体的对于具体的流体质点流体质点来说来说x，y，z有双重意义：一方面它代表有双重意义：一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。也就是说，空间坐标也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也也是流体质点位移的变量，它也是时间是时间t

6、的函数的函数x= x (t) y= y (t) z= z (t)流体流体质点质点的运动轨迹方程的运动轨迹方程6流体质点在流体质点在x 方向上的加速度分量为：方向上的加速度分量为：上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量txuddtvddytwddzxDuuu dxu dyu dzaDttx dty dtz dtyvvvvauvwtxyz所以所以xuuuuauvwtxyz同理同理zwwwwauvwtxyz7表示成矢量形式，即表示成矢量形式，即DVVaVVDtt欧拉方法中，欧拉方法中，流体质点流体质点的加速度由两项构成的加速度由两项构

7、成 当地加速度当地加速度 : 固定点上流体质点的速度随时间的变固定点上流体质点的速度随时间的变 化率，反映了流场的非定常性引起化率，反映了流场的非定常性引起 Vt(b) 迁移加速度迁移加速度 : 流体质点运动改变了空间位置而引起流体质点运动改变了空间位置而引起 的速度变化率，反映了流场的非均匀性的速度变化率，反映了流场的非均匀性 VV3-78迁移加速度当地加速度9用用欧拉法欧拉法求求流体质点流体质点任意物理量的时间变化率：任意物理量的时间变化率：()DBBVBDttDDt称为称为随体导数随体导数（质点导数）（质点导数）表示跟随流体质点的导数表示跟随流体质点的导数3-8t当地导数当地导数，局部导

8、数或时变导数，表示流体质点没有空间，局部导数或时变导数，表示流体质点没有空间 位移时，物理量对时间的变化率位移时，物理量对时间的变化率()V 迁移导数迁移导数或位变导数，表示流体处于不同位置时物理量或位变导数，表示流体处于不同位置时物理量 对时间的变化率。对时间的变化率。注：注：1. 迁移导数虽然是参数在空间的分布，但并不是参数对迁移导数虽然是参数在空间的分布，但并不是参数对坐标的导数，变量仍然是坐标的导数，变量仍然是t, 通过中间变量通过中间变量x,y,z 对时间求导。对时间求导。 2. 与拉格朗日坐标系下质点导数的比较与拉格朗日坐标系下质点导数的比较10【例】已知用欧拉法表示的流场速度分布

9、规律为,uxtvyt求：在t = 0时刻位于点（a, b）的流体质点的运动轨迹。【解】由流体质点的运动轨迹方程得 dxdyuxtvytdtdt111222eede(1)ee1eede(1)ee1ttttttttttxcttctctycttctct 积分得：由t = 0时刻,xa yb121,1cacb可得代回积分式，可得流体质点轨迹方程为(1)e1(1)e1ttxatybt 11【例例3-1】 已知用速度场u=2x，v=2y, w=0。求质点的加速度及流场中（1，1）点的加速度。【解】4xuuuuauvwxtxyz4yvvvvauvwytxyz0za 44axiyj在（1，1）点上，44aij

10、122.2.迹线迹线和和流线流线迹线迹线某一流体质点在不同时刻所占有的空间位置连接成某一流体质点在不同时刻所占有的空间位置连接成的空间曲线，或流体质点的运动轨迹。与拉格朗日法相对应的空间曲线，或流体质点的运动轨迹。与拉格朗日法相对应其数学表达式为：其数学表达式为：,dxdydzuvwdtdtdt13流线流线某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点速度方向相同的曲线。速度方向相同的曲线。其数学表达式为：其数学表达式为：),(d),(d),(dtzyxwztzyxvytzyxux1415流线的基本特性流线的基本特性(1) 在定常流动时，因为流场中各流

11、体质点的速度不随时间在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。变化，故流线和迹线不相重合。 (2) 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。（驻点或奇点除外）流线不能相交和分支。（驻点或奇点除外） (3) 流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲

12、线。 (4) 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。地方，表示该处的流速较小。16【例3-2】 有一流场，其流速分布规律为：u= -ky，v= kx，w=0，试求流线方程。【解】 由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为vyuxdd将两个分速度代入流线微分方程xyyxkdkd积分上式得到22xyC即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆17【例】已知不定常流常速度场为 u = t+1 ,v = 1，t = 0时刻流体质点A位于原点。 求： （1）质点A的迹线方程； （2）t = 0时刻过原点的流线方程；

13、（3）t = 1时刻质点A的运动方向1,1dxdytdtdt 【解】(1)由迹线方程式，2121,2xttcytc 积分可得t = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。质点A的迹线方程为 21,2xttyt消去参数 t 可得 21) 1(212122yyyx(a) 18 上式表明质点A的迹线是一条以（1/2，1）为顶点，且通过原点的抛物线（见图）。 （2）由流线微分方程式，1d1dytx积分可得cytx1在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相应的流线方程为 x = y这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。 (b)

14、(c) 19(3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的 流线方程。由迹线方程可确定，t =1时刻质点 A位于x =3/2，y =1位置， 代入流线方程 3/211 1C 可得C = 1/4t = 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为 x = 2 y1/2 上式是一条与流体质点 A的迹线相切于（3/2，1）点的斜直线，运动方向为沿该直线朝 x, y值增大方向。 讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见c和d式）。 (d) 203. 流管、流束和总流流管、流束和总流流管流管

15、：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。 流管表面上流体的速度与流管表面平行，即流管表面法向流管表面上流体的速度与流管表面平行，即流管表面法向单位向量单位向量n 与该点的速度与该点的速度V相垂直。流管方程为：相垂直。流管方程为：0n V流体质点不能穿过流管流入或流出。流体质点不能穿过流管流入或流出。流束：流束：过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。流线簇，称为流束。有效

16、截面：有效截面：在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。也称为过流也称为过流 断面。断面。21224. 流量和平均流速流量和平均流速流量流量：单位时间内通过有效截面的流体的量：单位时间内通过有效截面的流体的量体积流量体积流量 ：以：以Qv表示。单位为表示。单位为m3/s质量流量质量流量 ：以：以Qm表示。单位为表示。单位为kg/s对于在流管对于在流管有效截面有效截面上流速不等的流动，其体积流量为上流速不等的流动，其体积流量为VAQVdA当流速与截面当流速与截面A不垂直时，体积流量变为不垂直时，体积流量变为cosVAAQV n dAVdA式中式中n

17、 是截面的外法线单位矢量是截面的外法线单位矢量23平均流速平均流速：平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上：平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量各点都以相同的流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。VAVdAQVAA对于非圆截面管道引入湿周对于非圆截面管道引入湿周 、水力半径和当量直径概念、水力半径和当量直径概念湿周湿周 ：在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度水力半径水力半径Rh ：总流的

18、有效截面面积与湿周之比总流的有效截面面积与湿周之比当量直径当量直径Dh ：4倍的水力半径倍的水力半径ARh24【例】已知:粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上速度分布 呈抛物线分布21mruuR求：（1）流量Q的表达式；（2）截面上平均速度V 其中um截面速度分布的最大速度。 【解】流量计算时dA = 2rdr，抛物线分布的流量为 2312200122RRmmArrQV n dAurdrurdrRR2422020.524RmmrruuRR20.5mQVuR其平均速度为： 25【例3-3】直径为d的圆形管道，边长为a的正方形管道和高为h, 宽为3h 的矩形管道，具有相同的有效截面积A

19、0=0.0314m2，分别求出这三种充满流体的管道的湿周 、水力半径Rh 和当量直径Dh，并说明那种管道最省材料（1）直径为d 的圆管 d=0.20(m） =d=0.628(m) Rh =A0/=0.05(m) Dh=4Rh=0.2(m) =d（2）边长为a 正方形 d=0.177(m） =4a=0.708(m) Rh =A0/=0.044(m) Dh=4Rh=0.177(m) 【解】（3）高为h的长方形 h=0.102(m） =0.816(m) Rh =A0/=0.038(m) Dh=4Rh=0.153(m) 圆形截面湿周最小，过流截面积最大，最省料261. 亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度

20、分解定理 在 xy 平面流场中，M0 点的速度为在x方向上的速度为u0，则利用流体参数的连续性用泰勒展开可以得到邻近 的M 点的速度在 x 方向的分量u可表示为011()dd()d22uvuuvu uyxyyxxyx旋转速率旋转速率线变形速率线变形速率角变形速率角变形速率 M0 平移速度平移速度 M 相对相对M0的速度的速度272. 流体微团运动分析流体微团运动分析 （1）平移运动）平移运动表现为流体微团整体从ABC点运动平移运动到ABC点，微团内部任一流体质点在x,y方向上的速度均为u,v， 不存在速度梯度 。xyACB ,A u v ,C u v ,B u vx y 28（2）线变形运动）

21、线变形运动流体微团内部沿x 方向运动，但是B 点和A点流体可能存在x 方向上的速度差，C点和A点可能存在y方向上的速度差，如图。xy,uB ux vx ,A u v,vC u vyy BACux tx vy ty 29线变形速率：单位时间、单位长度的伸长（缩短）率xxux tuxx tx 同理y和z 方向上的线变形速率为yyvyzzwz面积扩张率：面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率 uvVxy 体积膨胀率：体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率uvwVxyz不可压缩流体的速度散度面积扩张率和体积膨胀率为零速度的散度30（3）旋转运动）旋转运动 因为B点和A点可能存在y方向上的速度差，而C

22、点和A点可能存在x方向上的速度差使微团旋转。如图。xy,vB u vxx ,A u v,uC uy vy vx tx ABCuy ty 31旋转角速度：两正交线元在xy 面内绕一点的旋转角速度平均值 12zvuxy规定逆时针方向旋转为正，则 AB边的旋转角速度为vx tvxx txAC边的旋转角速度为uytuyyty 表现为流体微团两条正交边的角平分线在xy 面内绕一点的旋转角速度 32涡量涡量2xyzuvw ijkV写成矢量为：xyzijk速度的旋度0流动无旋0流动有旋三维条件绕x轴和y轴的旋转角速度为：12xwvyz12yuwzx33（4）角变形运动）角变形运动仅用旋转运动并不能完全描述流

23、体微团的变形运动，如图所示，若/vxuy 则旋转角速度为零，表现为流体微团的角平分线不产生旋转，但是AB和AC间的夹角改变了。xy,vB u vxx ,A u v,uC uy vy ABCvx tx uy ty 34角变形速率：两正交线元的与角平分线夹角在 xy 平面内的局部瞬时变化速 率平均值x yy xvuxy同理：12y zz ywvyz12z xx zuwzx12x yy xvuxyAB和AC两条正交直角边在 xy 平面内的局部瞬时变化速率为35所以，对于流体微团在三维空间的运动，速度可以写为0 x xxx yyx zzyzzyuu 0y yyy zzy xxzxxzvv 0z zzz

24、 xxz yyxyyxww363. 有旋流动的描述有旋流动的描述有旋流动：流场中存在存在着旋转角速度不为零的流动窝量场：旋转角速度或者在流场中的分布涡线：线上任意点的切线方向与该点的涡量方向一致的假想曲线，涡线 组成的集束称为涡束 涡线的方程，由0d s得到：xyzd xd yd z37【例】设平面流场为u=ky, v=0 (k为大于零的常数）。 试分析该流场的运动学特征。 【解】速度分布如图所示。由流线微分方程 k y dy = 0,积分得流线方程 y = C说明流线是平行于x轴的直线族。 x, y方向的线应变率和 x y平面内的角变形率分别为0,0,xxyyyxuvvukxyxy线元既不伸

25、长也不缩短，互相正交的线元随时间增长夹角不断变化。yx0，流体自左向右流动时正交线元的夹角不断减小。38流体的旋转角速度为 122zvukxy 说明一点邻域内的流体作顺时针旋转（形成速度线形增长的基础）。 面积扩张率为 0uvxyV属不可压缩流动。图中四边形流体面在运动过程中面积保持不变，对角线与x轴的夹角不断减小，流体面不断拉长和变窄。 391.雷诺实验雷诺实验 雷诺实验装置40（1）当速度较小时，染液线为一条平滑直线；测速信号也是一条平滑直线； hf与V呈线性关系（2）当速度逐渐增大后，染液开始波动；测速信号发生间歇性脉动，说明流动开始向不稳定状态转变；hf与V关系不确定实验结果（3）当速

26、度继续增大后，染液线突然变得模糊，并弥散到整个管内；测速信号变为连续不断的随机脉； hf与V的1.752次方成正比41 过渡区湍流区422.雷诺准则雷诺准则 雷诺通过圆管定常流动系列实验发现，层流与湍流的转捩不仅仅取决于速度，而是取决于一个组合的无量纲数雷诺数 VdRe其中V 流速，d 特征长度，流体密度、 粘度圆管圆管临界雷诺数临界雷诺数cr2300Re 当Re2300时将发生湍流。 上临界雷诺数：流体流动从层流完全转变为湍流的雷诺数13800*cRe 下临界雷诺数：流体流动从湍流完全转变为层流的雷诺数2 3 2 0cR e 43【例3-4】水在内径d=0.1m 的圆管内流动，流速V=0.4m/s，水的运动黏度=110-6m2/s，试问水在管中呈何种流态？若设管中的流体是油，流速不变而运动黏度=3