D全微分方程PPT学习教案

1、会计学1D全微分方程全微分方程例例4.1 求解方程求解方程. 0323323dyyyxdxyxx解：解： ,323323yyxyxQyxxyxP,322yxxQyP因此原方程为全微分方程因此原方程为全微分方程. 取取x0=0,y0=0, 利用公式得利用公式得yxdyyyxdxxyxy032303,4131414334yyxxCyyxx4334413141其中其中C为任意常数为任意常数.第1页/共14页例例4.2 求解初值问题求解初值问题 . 20, 0212ydyyxxydx解：解： ,21,2yxyxQxyyxP. xxQyP因此原方程为全微分方程因此原方程为全微分方程. 取取x0=0,y0

2、=2, 利用公式得利用公式得yxydyxydxyxy2021,4412122yyx其中其中C为任意常数为任意常数.Cyyx4412122将初值条件带入此通解，得将初值条件带入此通解，得C=0.故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为. 04412122yyx第2页/共14页判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方齐次方程程221dd2xyxxy线性方程线性方程2

3、21dd2yxyyx线性方线性方程程伯努利伯努利方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共14页解解: 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始条件得由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共14页) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu则则故有故有即即Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共14页.dd的通解求方程yxexy解法

4、解法 1 分离变量分离变量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令故有故有积分积分Cxeuu)1 (ln( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共14页的通解的通解 .解解: 注意注意 x, y 同号同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得得ex yy2dey1yy2d故方程可故方程可变形为变形为y1y1 lndCy 所求通解为所求通解为 )0(CCeyyxyCyl

5、n这是以这是以x为因变量为因变量, y为为 自变量的一阶线性方程自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共14页0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解用凑微分法求通解.将方程改写为将方程改写为0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx故原方程的通解为故原方程的通解为021d2xyx或或Cxyx221,xQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共14页思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,12x就化成上例就化成上例 的方程的方程 .但若

6、在方程两边同乘但若在方程两边同乘例2 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共14页.0d)(dyxyxy解法解法1 积分因子法积分因子法.原方程变形为原方程变形为0d)dd(yyyxxy取积分因子取积分因子故通解为故通解为此外此外, y = 0 也是方程的解也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共14页解法解法2 化为齐次方程化为齐次方程.原方程变形为原方程变形为xyyxyddxyxy1,xuy 令，则uxuyuuuxu1xxuuudd)1 (2积分得积分得Cxuulnln1将将代入代入 ,得通解得通解此外此外, y = 0 也是方程的解也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共14页解法解法3 化为线性方程化为线性方程.原方程变形为原方程变形为1,1QyPyyexd1yyCd1yCyln其通解为其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d