高等数学：2.1 导数的概念

1、导数的概念导数的概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、左导数与右导数三、左导数与右导数四、可导性与连续性的关系四、可导性与连续性的关系五、导数的几何意义五、导数的几何意义一、引例1.变速直线运动的瞬时速度设物体沿直线作变速运动，其规律为s=f(t),其中s表示位移，t表示时间.求物体在运动过程中某时刻t=t0的瞬时速度v(t0).).()(, 00000tfttfstttttt位移的增量的时间段内到则在时取得增量在当 即为t0到 这段时间内的平均速度.容易看出，当 越小时，平均速度将越接近瞬时速度，当 无限趋近于零时，ttfttfts)()(00tt0|tt平均速度也将无限趋近瞬

2、时速度.为此，瞬时速度定义为平均速度当 时的极限，即0tttfttftstvtt)()(limlim)(00000平均速度 称为位移s在t0到 时间段内的平均变化率，而瞬时速度 则称为位移s在时间t=t0的(瞬时)变化率.tstt0tst0lim宁 德 师 专 数 学 系http:/ 2、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率.切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置宁 德 师 专 数 学 系http:/ 如图如图 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT, ,直直线线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处处的切线的切线. .oxy)(xfy CNMTx0 x

3、 极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf 设设割线割线MN的斜率为的斜率为.)()(limtan000 xxxfxfkxx 切线切线MT的斜率为的斜率为,0 xxMNC沿曲线沿曲线二、导数的定义.|dd,|dd,|)(0000 xxxxxxxfxyyxf或或或定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若 xx0),()(00 xfxxfyxyx0limxxfxxfx)()(lim000存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0 处的导数，记为.)()(limlim)( 00000 xxfxx

4、fxyxfxx即导数定义与下面的形式等价：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx若y=f(x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y=f(x)在x= x0 不可导，此时意味着 不存在.xyx0lim定义 设y=f(x)在(a,b)内每个点都可导，则称y=f(x)在(a,b)内可导.若 ，则称 xxfxxfxfx)()(lim)(0),(bax显然， ，即函数在x0的导数值等于其导函数在x0的函数值.0| )()(0 xxxfxf为y=f(x)在(a,b)内的导函数，简称导数(注意，这里求极限时，x是固定不变的).导函数也可用 ，或 ，或 来表示.yxy

5、ddxfdd).( ),1 ( ),0( ,)(02xfffxxf求设xfxffx)0()(lim)0(0解xfxffx) 1 ()1 (lim) 1 (0, 2)(2lim20 xxxxxxfxxfxfx)()(lim)(0000.2)(2lim0200 xxxxxx例1, 0)(lim20 xxxxxx1)1 (lim20 xxxxx20200)(lim).()()(xf，cxf求常数设xxfxxfxfx)()(lim)(0解例2, 0lim0 xccx. 0 c即例例3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim121

6、0 nnnhhhxnnnx1 nnx更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如, ,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x .)(1 nnnxx即即. )4(),0(),(,sin)( ffxfxxf求设xxxxx)2cos(2sin2lim0,cos)2cos(lim22sinlim00 xxxxxxx,cos)(sinxxxxfxxfxfx)()(lim)(0解例4xxxxxsin)sin(lim0.224cos| )()4(4xxff从而有, 10cos| )()0(0 xxff.sin)(cosxx不难得到).(log)(xfxxfa，求设)1 (log1l

7、im0 xxxax.ln11elog1axxaxxaxxxx)1 (log1lim0.ln11)(logaxxa所以若取a=e，则有.1)(lnxxxxxxxxfxxfxfaaxxlog)(loglim )()(lim)(00解例6三、左导数与右导数左导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx右导数:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx显然可以用下面的形式来定义左、右导数,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx定义：定理3.1 y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0 的左、右导数存在且

8、相等.由极限定理不难得到下面的结论：例7 设讨论f(x)在x=0和x=1处的可导性. ,1 , 10 , 0 ,cos1 )(32xxxxxxxfxxx2sin2lim20 xfxffx)0()(lim)0(0 xfxffx)0()(lim)0(0解xxxcos1lim0, 022sinlim2sinlim00 xxxxx, 0lim20 xxx),0()0(ff所以 y=f(x)在x=1不可导.所以 y=f(x)在x=0可导，且. 0)0( f11lim1) 1 ()(lim) 1 (211xxxfxffxx, 2) 1(lim1xx11lim1) 1 ()(lim) 1 (311xxxfx

9、ffxx. 3) 1(lim21xxx),1 () 1 (ff四、可导性与连续性的关系可见，若y=f(x)在x=x0处可导，设f(x)在x=x0可导，即).(lim00 xfxyx此时xxxfy)(0即有. 0)(limlim000 xxxfyxx. 0lim)(00 xxfxy，其中则由极限定理知则y=f(x)在x=x0 处连续.反之，y=f(x)在x=x0处 连续，则y=f(x)在x=x0处不一定可导.例8 设f(x)=|x|，讨论f(x)在点x=0处的连续性与可导性.因此f(x)=|x|在x=0连续，但因此f(x)=|x|在点x=0处不可导.解，)0(0|lim)(lim00fxxfxxxfxffx)0()(lim)0(0 xfxffx)0()(lim)0(0, 1lim|lim00 xxxxxx1lim|lim00 xxxxxx),0( f 导数 的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.)(0 xf 五、导数的几何意义设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为).)()(000 xxxfxfy的法线方程为曲线在时当000)(M，xf).()(1)(000 xxxfxfy0 xx 的法线方程为曲线在时当000)(